नकली सिक्का पहेलियों में गणितीय सत्य की तलाश

हमारे पहेलियों का हालिया सुइट इसमें विनम्र डबल-पैन बैलेंस स्केल दिखाया गया है, जो ऐतिहासिक रूप से वाणिज्य और सरकार, कला और विज्ञान का प्रतीक है। मनोरंजक गणित में संतुलन पैमाने भी लोकप्रिय हैं। संतुलन पहेलियों के लिए स्पष्ट, तार्किक तर्क की आवश्यकता होती है और ये गणितीय सामान्यीकरण के लिए उपयुक्त होती हैं। आइए देखें कैसे क्वांटा पाठकों ने नीचे दी गई पहेलियों में इन गुणों को संतुलित किया है।

1 पहेली

आपके पास आठ समान दिखने वाले सिक्के हैं। एक नकली है और दूसरों की तुलना में हल्का है, जिनका वजन समान है। खराब सिक्के को दो तोलों में खोजें। सिक्कों की अधिकतम संख्या के लिए सामान्य सूत्र ढूंढें जिसमें आप नकली सिक्के का पता लगा सकते हैं x तौल।

किसी समस्या के सरल संस्करण से निपटने से अक्सर समाधान की कुंजी का पता चलता है। इस मामले में, कल्पना करें कि आपके पास केवल तीन सिक्के हैं, जिनमें से एक अन्य दो की तुलना में हल्का है। यदि आप उनमें से किसी एक को अन्य दो में से किसी एक के मुकाबले तौलेंगे, तो या तो वे संतुलित होंगे या नहीं। यदि वे नहीं करते हैं, तो आप जानते हैं कि कौन सा हल्का है। यदि वे संतुलन बनाते हैं, तो तीसरा प्रकाश वाला होता है। आपको केवल एक ही वजन की आवश्यकता है।

तो इस पहेली में, यदि आप पहले वजन में हल्के सिक्के वाले तीन (या उससे कम) के समूह को अलग कर सकते हैं, तो आपको बस एक और वजन की आवश्यकता होगी। आप किन्हीं तीन को अन्य तीन के विरुद्ध संतुलित करके ऐसा कर सकते हैं। यदि दो समूह असंतुलित हैं, तो आपको हल्का वाला समूह मिल गया है और आप दूसरे वजन के लिए ऊपर बताए अनुसार आगे बढ़ सकते हैं। यदि वे संतुलित हैं, तो बस शेष दो सिक्कों को एक-दूसरे के सामने तौलें, और आपको हल्का सिक्का मिल जाएगा।

ध्यान दें कि यह तब भी काम करता है जब बिना तौले समूह में तीन सिक्के हों, इसलिए हम नौ सिक्कों से शुरुआत कर सकते थे। इस तर्क का पालन करते हुए, और तीन सिक्कों से शुरू करके, प्रत्येक अतिरिक्त वजन के लिए हम हल्के सिक्के को हमारे पास पहले से मौजूद सिक्कों की तीन गुना संख्या में पा सकते हैं। सूत्र हमें सिक्कों की अधिकतम संख्या दे रहा है n in w तोल तो है n = 3^w.

2 पहेली

आपके पास 12 समान दिखने वाले सिक्के हैं। एक या तो दूसरों की तुलना में भारी या हल्का होता है, जिनका वजन समान होता है।

1. ख़राब सिक्के को तीन तोलों में ढूँढ़ें।

2. सिक्कों की अधिकतम संख्या क्या है जिसके लिए आप चार बार तोलने पर ख़राब सिक्के का पता लगा सकते हैं? बताएं कि आपको नकली सिक्का कैसे मिलेगा।

इस पहेली का हल अच्छे से बताया गया टेड, जिन्होंने यह भी दिखाया कि आप वास्तव में तीन तौल में 13 सिक्कों के बीच खराब सिक्के का पता लगा सकते हैं। यहां टेड का समाधान है (प्रत्येक मामले में तीन वजनों को अलग करने के लिए इंडेंटेशन के साथ):

4 सिक्कों बनाम 4 सिक्कों के वजन से शुरुआत करें।

केस 1: यदि असंतुलित है, तो दूसरे वजन के लिए तराजू के दोनों किनारों पर 2-1 भारी पक्ष के साथ-साथ हल्के पक्ष का XNUMX-XNUMX टुकड़ा रखें।

1ए: यदि असंतुलित है, तो खराब सिक्का या तो 2 सिक्के अभी भी भारी तरफ हैं या एक सिक्का अभी भी हल्के तरफ है।

2 संभावित भारी सिक्कों को तौलें, यदि वे संतुलित हैं तो खराब सिक्का या तो दोनों में से भारी है, या एकल हल्का सिक्का है।

1बी: यदि दूसरा वजन संतुलित है, तो खराब सिक्का पहले वजन के हल्के पक्ष से अप्रयुक्त 2 सिक्कों में से एक है।

उन्हें एक-दूसरे के सामने तौलें, हल्का वाला खराब है।

केस 2: यदि संतुलित किया जाए, तो ख़राब सिक्का शेष 5 में से एक है। उनमें से 3 को पहले से तौले गए किन्हीं 3 (जो अच्छे [होने के लिए] जाने जाते हैं) के मुकाबले तौलें।

केस 2ए: यदि असंतुलित है, तो आप जानते हैं कि खराब सिक्का उन 3 में से एक है और चाहे वह हल्का हो या भारी।

तीसरा वजन एक-दूसरे के खिलाफ उनमें से किसी भी 2 का है - यदि असंतुलित है, तो यह खराब सिक्के की पहचान करता है, यदि संतुलित है तो यह तीनों में से अंतिम है।

केस 2 बी: यदि दूसरा वजन संतुलित है, तो खराब सिक्का शेष 2 में से एक है।

उनमें से किसी एक को किसी ज्ञात अच्छे सिक्के से तौलें। यदि यह परिणाम असंतुलित है, तो यह नया सिक्का खराब है और आप जानते हैं कि यह भारी है या हल्का। यदि यह परिणाम संतुलित है, तो 13वां सिक्का खराब है, लेकिन यह अज्ञात है कि यह भारी है या हल्का (जिसे हमें जानने की आवश्यकता नहीं है, इसलिए हमारा काम हो गया)।

टेड यह भी दिखाया गया कि चार वजनों के लिए सिक्कों की अधिकतम संख्या 40 है। इस पहेली का सूत्र है: n = (3^w − 1)/2.

शेष पहेलियों के लिए, सामान्यीकृत सूत्र अभी भी पेशेवर गणितज्ञों द्वारा जांच के अधीन हैं और प्रकाशित पत्रों का विषय हैं, जिनमें से कुछ का हवाला दिया गया है वसंत ऋतु में वर्षा. मैं खुद को पहेलियों में विचार किए गए सिक्कों की छोटी संख्या के समाधान तक ही सीमित रखूंगा और केवल उन सामान्यीकरणों का उल्लेख करूंगा जो इन मामलों में उपयोग की जाने वाली विधियों से स्वाभाविक रूप से अनुसरण करते हैं।

3 पहेली

यह पहेली 1 का एक रूप है। आपके पास फिर से आठ समान दिखने वाले सिक्के हैं, जिनमें से एक अन्य की तुलना में हल्का है। हालाँकि, अब आपके पास तीन पैमाने हैं। दो पैमाने काम करते हैं, लेकिन तीसरा टूटा हुआ है और यादृच्छिक परिणाम देता है (यह कभी सही और कभी गलत होता है)। तुम्हें पता नहीं कौन सा पैमाना टूटा है. हल्का सिक्का ढूंढने में कितना वजन लगेगा?

जैसा कि हमने समस्या 1 में देखा, इसमें अच्छे संतुलन के साथ केवल दो वज़न की आवश्यकता होती है। हम यह भी जानते हैं कि दो अच्छे तराजू हमेशा सहमत होंगे, इसलिए यदि हम तीनों तराजू पर प्रत्येक वजन को दोहराते हैं, तो हमारे पास पाठक के सुझाव के अनुसार छह वजनों में उत्तर होगा। यदि हम इसे कम संख्या में तोलकर करने का प्रयास करते हैं, तो यह थोड़ा मुश्किल हो जाता है। एक ही सिक्के को दो तराजू पर तोलने से हम एक अच्छे पैमाने की पहचान नहीं कर सकते, क्योंकि अगर वे सहमत भी हो जाएं, तो भी दोनों में से कोई भी एक खराब तराजू हो सकता है। (इससे यह भी पता चलता है कि गलत सूचना या यादृच्छिक जानकारी कितनी आसानी से सच्चाई को अस्पष्ट कर सकती है।)

वास्तव में, इस समस्या को बहुत ही चतुराई से, केवल चार तौल में हल किया जा सकता है! वसंत ऋतु में वर्षा एक नवीन संकेतन का उपयोग करके समाधान पोस्ट किया जो इस पहेली के लिए बनाया गया प्रतीत होता है। लेकिन इससे पहले कि आप वहां जाएं, मैं चाहता हूं कि आप एक ऐसे परिदृश्य की कल्पना करें जिससे मुझे आशा है कि चीजें अधिक सहज हो जाएंगी।

कल्पना कीजिए कि आप एक जासूस हैं जो एक छोटे से देश में एक हिट-एंड-रन की जांच कर रहे हैं, जिनकी कारों में केवल 0, 1 और 2 अंकों का उपयोग करके दो अंकों की लाइसेंस प्लेट हैं। तीन लोगों, ए, बी और सी ने इस घटना को देखा है। उनमें से दो हमेशा तीन-विकल्प वाले प्रश्न का सही उत्तर देते हैं, और एक पूरी तरह से यादृच्छिक उत्तर देता है। आप नहीं जानते कि यादृच्छिक उत्तर देने वाला कौन है। आपको उनमें से प्रत्येक से एक तीन-विकल्पीय प्रश्न पूछना होगा और फिर अधिक जानकारी प्राप्त करने के लिए उसे चुनना होगा जो निश्चित रूप से सच बोल रहा हो।

यहां बताया गया है कि आप इसे कैसे करते हैं. A से पूछें कि क्या पहला अंक 0, 1 या 2 है। मान लें कि A कहता है 2। B से पूछें कि क्या दूसरा अंक 0, 1 या 2 है। मान लें कि B कहता है 1. फिर C से इन तीन कथनों के बीच चयन करने के लिए कहें:

• केवल A सच बोल रहा है.
• केवल B सच कह रहा है.
• दोनों सच कह रहे हैं.

आप उस पर विश्वास कर सकते हैं जो C आपको बताता है और उस व्यक्ति से दूसरे अंक के बारे में प्रश्न कर सकते हैं। इसका कारण जानने के लिए, विचार करें कि यदि A झूठ बोल रहा है, तो C विश्वसनीय है और कहेगा कि B सच बोल रहा है। दूसरा अंक वास्तव में 1 होगा और फिर आप पहले अंक के बारे में बी से प्रश्न कर सकते हैं। इसी तरह, यदि बी झूठ बोल रहा है, तो सी फिर से विश्वसनीय है और कहेगा कि ए सच बोल रहा है। तब पहला अंक वास्तव में 2 है और आप दूसरे अंक के बारे में A से प्रश्न कर सकते हैं। अंत में, यदि C झूठ बोल रहा है, तो A और B दोनों विश्वसनीय हैं, इसलिए आप अभी भी विश्वास कर सकते हैं और जिसे C कह रहा है उसे चुन सकते हैं। (और यदि सी कहता है कि ए और बी दोनों सच बोल रहे हैं, तो वे दोनों सच बोल रहे होंगे।) यहां मुख्य बात यह है कि प्रश्नों की आपकी पसंद सी को इस तरह से झूठ बोलने की अनुमति नहीं देती है कि ए और बी दोनों पर संदेह हो। चूँकि A और B में से कम से कम एक विश्वसनीय होना चाहिए, आप हमेशा वह चुन सकते हैं जिससे C सहमत हो, भले ही वह केवल एक यादृच्छिक उत्तर हो। यदि वे तीनों सहमत हैं, तो आपके पास पहले से ही लाइसेंस प्लेट के दोनों अंक हैं।

इस कहानी को हमारी पहेली में वापस अनुवाद करने का तरीका यहां बताया गया है। तराजू ए, बी और सी हैं। आप लाइसेंस प्लेट के दो अंकों को सिक्कों में इस प्रकार अनुवादित कर सकते हैं: 01 सिक्का 1 है, 02 सिक्का 2 है, 10 सिक्का 3 है, 11 सिक्का 4 है, 12 सिक्का 5 है, 20 सिक्का 6 है, 21 सिक्का 7 है और 22 सिक्का 8 है। चतुर पाठक पहचान लेंगे कि यह आधार 3 (या टर्नरी) संख्या प्रणाली है। यह भी ध्यान दें कि एक अतिरिक्त संभावित संख्या 00 है, जिसका उपयोग आप नौवें सिक्के के लिए कर सकते हैं जिसके लिए यह तकनीक भी काम करेगी, जैसा कि पहेली 1 में है।

पहले वजन के लिए, आप सिक्कों को उनके पहले (आधार 3) अंक से विभाजित करते हैं, इसलिए आपके तीन समूह सिक्के होंगे [1, 2], [3, 4, 5] और [6, 7, 8]। स्केल ए पर [3, 4, 5] के मुकाबले [6, 7, 8] का वजन करें। यदि ए अच्छा काम कर रहा है, तो आपके पास पहेली 1 के अनुसार सही पहला अंक समूह होगा। इसी तरह, स्केल बी पर दूसरे वजन के लिए आपके समूह वही दूसरे अंक वाले होंगे: [1, 4, 7], [2, 5, 8] और [3, 6]। यदि बी अच्छा काम कर रहा है, तो आपके पास सही दूसरा अंक होगा। तीसरे वजन के लिए, स्केल सी पर, आप उस समूह का वजन करते हैं जिसे ए ने उस समूह के खिलाफ पहचाना था जिसे बी ने पहचाना था। हमारे उदाहरण के बाद, 21 के लिए, समूह [6, 7, 8] और [1, 4, 7] होंगे। सिक्का 7 को एक ही समय में दोनों तरफ नहीं रखा जा सकता है, इसलिए हम इसे छोड़ देते हैं और [6, 8] और [1, 4] को एक दूसरे के सामने तौलते हैं। ध्यान दें कि यदि ए और बी दोनों विश्वसनीय हैं, तो 7 वास्तव में सही उत्तर है, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सी पर कौन सा पक्ष हल्का आता है। यदि संयोग से सी पर वजन संतुलित है, तो सभी तीन पैमाने सहमत हैं, और आपके पास अपना उत्तर (सिक्का 7) केवल तीन तौल में है। यदि A विश्वसनीय है और B नहीं है, तो हल्का सिक्का [6, 8] में है, कौन सा स्केल C पुष्टि करेगा, और यदि B विश्वसनीय है और A नहीं है, तो हल्का सिक्का [1, 4] में है, कौन सा स्केल C पुष्टि करेगा पुष्टि भी करेंगे.

इसलिए तीन तौल में हमने या तो हल्के सिक्के की पहचान कर ली है या इसे दो के समूह तक सीमित कर दिया है, और हमने एक कामकाजी पैमाने की भी पहचान कर ली है। स्केल ए या स्केल बी (जो भी एक स्केल सी से सहमत हो) पर चौथा वजन बाकी काम करेगा।

यह समाधान मुझे आश्चर्यजनक रूप से सुंदर लगता है!

इस विधि को 3 के बीच हल्के सिक्के खोजने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है^2x 3 में सिक्केx + दिए गए तराजू के सेट के साथ 1 वजन। इस प्रकार, आपको 81 सिक्कों के लिए सात तोलों की आवश्यकता होगी। बड़ी संख्या में सिक्कों (>~1,000) के लिए, एक और भी मजबूत समाधान मौजूद.

4 पहेली

आपके पास 16 सिक्के हैं, जिनमें से आठ भारी और समान वजन के हैं। अन्य आठ हल्के और समान वजन के हैं। आपको नहीं पता कि कौन से सिक्के भारी हैं या हल्के। विशेष चिह्न वाले सिक्के को छोड़कर सभी सिक्के एक जैसे दिखते हैं। क्या आप एक अच्छे पैमाने से यह पता लगा सकते हैं कि विशेष सिक्का तीन तौल में हल्का है या भारी? आप अधिकतम कितने सिक्कों से शुरुआत कर सकते हैं और चार तोलों में इस समस्या को सफलतापूर्वक हल कर सकते हैं?

पहली नज़र में, इस पहेली को तीन बार तोलने में पूरा करना लगभग असंभव लगता है, जैसा कि हमारे एक पाठक ने निष्कर्ष निकाला। फिर भी, थोड़ी चतुराई से यह किया जा सकता है, और दोनों टेड और वसंत ऋतु में वर्षा सही समाधान प्रदान किया। टेड ने कुछ अमूल्य सामान्य सिद्धांत प्रदान किये जो ध्यान देने योग्य हैं।

सबसे पहले, जब तक आपको तौल से असंतुलित परिणाम नहीं मिलता, तब तक आपके पास यह निर्धारित करने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं होगी कि विशेष सिक्का भारी है या हल्का। इसलिए आपको असंतुलित परिणाम लाने का प्रयास करना होगा।

दूसरा, यदि आपको एक संतुलित परिणाम मिलता है (मान लीजिए कि विशेष सिक्का ए सिक्का बी को संतुलित करता है), तो आप उन सिक्कों को जोड़ सकते हैं जो संतुलित हैं और उन्हें दो और सिक्कों, सी और डी के खिलाफ तौल सकते हैं। यदि वे असंतुलित हैं, तो आपके पास उत्तर है; अन्यथा, अब आपने समान सिक्कों की संख्या दोगुनी कर दी है, जिससे आपको अगले वजन में असंतुलित उत्तर प्राप्त करने में मदद मिल सकती है। यदि आपके पास प्रारंभिक असंतुलित परिणाम है जैसा कि निम्नलिखित समाधान में देखा गया है, तो आप इस प्रक्रिया को दो (4, 8, आदि) की शक्तियों वाले सिक्कों की संख्या के साथ उलटा भी कर सकते हैं।

नीचे पूरी प्रक्रिया दी गई है जो सभी मामलों में तीन वजनों में विशेष सिक्के ए के प्रकार की पहचान कर सकती है। (बी, सी और डी तीन सिक्के हैं जो वजन 1 (डब्ल्यू1) में ए के समान तरफ रखे गए हैं; एक्स और वाई दो सिक्के हैं जिनका वजन 1 (डब्ल्यूXNUMX) में उपयोग नहीं किया गया है।)

इस पहेली का आविष्कार रूसी गणितज्ञ ने किया था कॉन्स्टेंटिन नोप, सिक्का-वजन पहेलियाँ पर एक विश्व प्राधिकरण। उनके कई पेपर रूसी में हैं, लेकिन आप कई सिक्का पहेलियाँ (अन्य दिलचस्प पहेलियों के बीच) पा सकते हैं ब्लॉग उनकी सहयोगी तान्या खोवानोवा की।

जहां तक ​​सामान्यीकरण की बात है, मैं यह देखना आप पर छोड़ता हूं कि क्या यही विधि 32 सिक्कों के बीच एक विशेष सिक्के के प्रकार को खोजने के लिए काम करती है, जिनमें से 16 भारी और 16 हल्के हैं।

5 पहेली

तुम हो n समान दिखने वाले सिक्के, जिनमें से कुछ नकली और दूसरों की तुलना में हल्के हैं। आप बस इतना जानते हैं कि कम से कम एक नकली सिक्का होता है और नकली सिक्कों की तुलना में अधिक सामान्य सिक्के होते हैं। आपका काम सभी नकली सिक्कों का पता लगाना है।

तथ्य यह है कि कम से कम एक हल्का सिक्का है और हल्के सिक्कों की तुलना में अधिक सामान्य सिक्के हैं, यह पहेली कम से कम छोटी संख्याओं के लिए पहली नज़र में कम जटिल बनाती है। आइए एक से आठ तक के सिक्कों के वजन की संख्या पर नजर डालें।

एक और दो सिक्कों के लिए, दूसरी शर्त के अनुसार कोई हल्के सिक्के नहीं हो सकते हैं, इसलिए किसी वजन की आवश्यकता नहीं है।

तीन सिक्के: केवल एक हल्का सिक्का। प्रति पहेली 1 वजन आवश्यक है।

चार सिक्के: केवल एक हल्का सिक्का। एक अतिरिक्त वजन की आवश्यकता है, इसलिए w = 2.

पाँच सिक्के: एक से दो हल्के सिक्के। यह पहला दिलचस्प मामला है. सवाल यह है: क्या हमें एक सिक्के को एक के मुकाबले या दो सिक्कों को दो के मुकाबले तौलना चाहिए?

यदि हम एक को एक के विरुद्ध तौलें, तो हमें यह मिल सकता है:

1. दो असंतुलित तौल: दो सिक्के मिले; हमने कर लिया।
2. दो में से एक संतुलित वजन: संतुलित सिक्के सामान्य होने चाहिए, इसलिए आखिरी सिक्के को दूसरे वजन की जरूरत होती है, w = 3.
3. दो संतुलित वजन: तीसरे वजन में, प्रत्येक पिछले वजन से एक सिक्के को दूसरे वजन के मुकाबले तौलें। यदि वे संतुलित हैं, तो चारों सामान्य हैं, और सिक्का 5 हल्का है। हमने कर लिया; w = 3 पुनः. यदि वे असंतुलित हैं, तो हमें दो हल्के सिक्के मिले हैं, और हम तीन तौल में काम कर चुके हैं।

यदि इसके बजाय हम दो के मुकाबले दो तौलते हैं, तब भी हमें तीन तौल की आवश्यकता होती है, क्योंकि हमें उन संभावनाओं के बीच अंतर करना होगा कि सिक्के दोनों तरफ भिन्न या समान हो सकते हैं। एक साथ समूहित छोटी संख्या में सिक्कों का उपयोग करके वजन करने से एकल सिक्कों के साथ वजन करने की तुलना में कोई लाभ नहीं होता है।

यह इसके लिए वहन किया गया है:

छह सिक्के: एक से दो हल्के सिक्के; w = 4.

सात सिक्के: एक से तीन हल्के सिक्के; w = 5.

आठ सिक्के: एक से तीन हल्के सिक्के; w = 6. इस समाधान की एक सरल संरचना है:

• सबसे पहले एक सिक्के को दूसरे सिक्के के मुकाबले चार बार तोलें। सभी सिक्कों का उपयोग किया जाता है.
• सबसे खराब स्थिति: सभी चार तौल संतुलित हैं (दो हल्के सिक्के हैं जो एक दूसरे को संतुलित करते हैं)।
• अगले दो तौल: 1 तौल वाले सिक्के को 2 तौल वाले सिक्के के मुकाबले तोलें; इसी तरह, 3 वजन वाले सिक्के को 4 वजन वाले सिक्के के मुकाबले तोलें।
• इनमें से एक वजन असंतुलित होगा, जिससे दो हल्के सिक्कों की पहचान होगी। हमारा काम छह वजनों में पूरा हो गया है।

क्षमा करें, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 का हमारा अनुक्रम निश्चित रूप से इतना दिलचस्प नहीं है कि इसे प्रस्तुत किया जा सके। पूर्णांक अनुक्रमों का ऑनलाइन विश्वकोश!

As जोनास टॉगर्सन केजेलस्टैडली बताया गया, समाधान प्रतीत होता है w = n - छोटी संख्याओं के लिए 2, लेकिन हमने यह साबित नहीं किया है कि बड़ी संख्याओं के लिए यह नहीं बदलेगा। कुछ n, एकाधिक सिक्के तौल का उपयोग करने से बेहतर, या उससे अधिक वजन होना शुरू हो सकता है n − 2 की आवश्यकता हो सकती है. हम आसानी से आठ सिक्कों के समाधान को 2 की सभी घातों तक सामान्यीकृत कर सकते हैं n - 2, 2 की सभी शक्तियों के लिए वज़न की संख्या की ऊपरी सीमा के रूप में।

मार्क पियर्सन ने त्रुटि-सुधार कोड के साथ इस समस्या की समानता पर चर्चा की और संभावित परिणामों की संख्या के आधार पर एक सूचना सिद्धांत दृष्टिकोण का उपयोग करने का सुझाव दिया। इस प्रकार का दृष्टिकोण अपनाकर, माइक रॉबर्ट्स अधिक सामान्य मामले के लिए निचली सीमा पोस्ट की गई, जो वसंत ऋतु में वर्षा के लिए एक अनुमान निकाला। रेनर ने भी एक पोस्ट किया ऊपरी सीमा एक प्रकाशित पेपर से लेकिन ध्यान दिया गया कि सीमाएँ निम्न के लिए तीव्र नहीं हैं n और इसलिए उन छोटी संख्याओं के लिए उपयोगी नहीं है जिन पर हमने ऊपर विचार किया है। इस प्रकार, सात सिक्कों के लिए, उद्धृत सीमाएँ 4 से 16 की सीमा देती हैं, जिसके बीच हमारा उत्तर, 5, आता है। जे. पेयेट सभी पहेलियों के लिए अतिरिक्त गणितीय संदर्भ और सीमाएं देता है।

जिन्होंने भाग लिया उन सबका धन्यवाद। इस महीने का इनसाइट्स पुरस्कार संयुक्त रूप से स्प्रिंग के लिए टेड और रेनर को दिया जाता है। बधाई हो!

नई बात के लिए अगली बार मिलेंगे इनसाइट्स.