Az elsőéves diplomás paradox számkészletet talált | Quanta Magazin

A matematikusok örülnek, ha bebizonyítják, hogy látszólag lehetetlen dolgok léteznek. Ilyen például a új bizonyíték márciusban tette közzé az interneten Cédric Pilatte, elsőéves végzős hallgató az Oxfordi Egyetemen.

Pilatte bebizonyította, hogy lehetséges olyan halmazt – számgyűjteményt – létrehozni, amely kielégíti két látszólag összeférhetetlen tulajdonságot. Az első az, hogy a halmazban nincs két számpár összege ugyanannyi. Például adjon össze tetszőleges két számot az {1, 3, 5, 11} mezőben, és mindig egyedi számot kap. Könnyű ilyen kis „Sidon” készleteket összeállítani, de ahogy nő az elemek száma, úgy nő az összegek egybeesésének valószínűsége is, ami tönkreteszi a halmaz szidoniságát.

A második követelmény az, hogy a készletnek nagyon nagynak kell lennie. Végtelennek kell lennie, és a halmazban legfeljebb három szám összeadásával bármilyen kellően nagy szám generálható. Ez a tulajdonság, amely a halmazt „aszimptotikus 3-as rendű bázissá teszi”, nagy, sűrű számkészletet igényel. – Ellentétes irányba húznak – mondta Pilatte. „A szidonhalmazok kicsinek, az aszimptotikus bázis pedig nagynak kell lennie. Nem volt nyilvánvaló, hogy ez működhet.”

A kérdés, hogy létezik-e ilyen halmaz, évtizedek óta, azóta is fennáll pózolták Erdős Pál termékeny magyar matematikus és két munkatársa 1993-ban. Erdős Sidon halmazok iránti rajongása egy 1932-ben folytatott beszélgetésre vezethető vissza feltalálójukkal, Simon Sidonnal, aki akkoriban e halmazok növekedési ütemének megértése iránt érdeklődött. (Erdős később „őrültebbnek, mint az átlagos matematikus” jellemezte Sidont, amit szinte biztosan bóknak szánt.)

A szidonhalmazok számos matematikai kontextusban merülnek fel, beleértve a számelméletet, a kombinatorikát, a harmonikus elemzést és a kriptográfiát, de az az egyszerű kérdés, hogy mekkora lehet, egy maradandó rejtély, amelyen Erdős pályafutása nagy részében töprengett. Erdős korán felismerte, hogy a Sidon díszletek rendkívül nehezen méretezhetők. 1941-ben ő és egy másik matematikus bizonyított hogy a lehető legnagyobb Sidon halmaz, amelynek valamennyi tagja kisebb valamilyen egész számnál N kisebbnek kell lennie, mint a négyzetgyök N plusz egy kifejezés, amely arányosan nő a negyedik gyökével N. (1969-re Bernt Lindström kimutatta, hogy ez kisebb, mint $latex sqrt{N}+sqrt[4]{N}+1$, 2021-ben pedig a matematikusok egy másik csoportja megfeszítette a kötést $latex sqrt-hez

Régóta ismert, hogy a Sidon halmaz nem lehet aszimptotikus bázis a 2-es sorrendben, ahol bármely egész szám legfeljebb két szám összegeként fejezhető ki. (A páratlan számok például a 2. sorrend alapját képezik.) Ahogy Pilatte elmagyarázta, ezt olyan egyszerűen meg lehet mutatni, hogy a matematikusok nem vették a fáradságot, hogy leírják: „Azt, hogy a 2. sorrend lehetetlen, valószínűleg sokkal korábban ismerték, mint ahogy azt a szakirodalom kifejezetten leírja.” Kifejtette, ennek az az oka, hogy „a szidon szekvenciák nem léphetnek túl egy bizonyos sűrűséget, míg a 2. rendű aszimptotikus bázisok mindig sűrűbbek ennél a küszöbnél, így a két tulajdonság nem érvényesülhet egyszerre”.

Általában azt hitték, hogy a 3. rendű aszimptotikus alapot fel lehet építeni egy Sidon halmazból, de ennek bizonyítása más kérdés. „Az emberek azt hitték, hogy ennek igaznak kell lennie” – mondta Pilatte tanácsadója James Maynard. "De volt egy nehézség az általunk használt technikákkal."

Némi előrelépés történt, mielőtt Pilatte vállalta a kihívást. 2010-ben Kiss Sándor magyar matematikus kimutatta, hogy egy Sidon halmaz az 5-ös rendű aszimptotikus bázis lehet – vagyis bármely kellően nagy egész szám felírható a halmaz legfeljebb öt elemének összegeként – és 2013-ban Kiss és két kollégája bizonyított az aszimptotikus sorrendi alap sejtése 4. Két évvel később Javier Cilleruelo spanyol matematikus vette ezeket az eredményeket egy lépéssel tovább bizonyítva, hogy lehetséges olyan Sidon halmaz megalkotása, amely 3+ rendű aszimptotikus bázis e, vagyis bármely kellően nagy egész szám N felírható a Sidon halmaz négy tagjának összegeként, amelyek közül az egyik kisebb, mint N^e tetszőleges kis pozitívra e.

Ezeket az eredményeket az Erdős által úttörő valószínűségi módszer variációival kaptuk, amely magában foglalja az egész számok véletlenszerű halmazának létrehozását, és annak enyhe módosítását, hogy olyan halmazt hozzunk létre, amely mindkét tulajdonságot kielégíti.

Pilatte rájött, hogy a valószínűségi módszert a lehető legmesszebbre tolták. „Valószínűségi módszerekkel megkaphatja a 4-es sorrend alapját, de a 3-as sorrend alapját nem” – mondta. – Egyszerűen nem sikerül.

Pilatte tehát egy másik módszert választott, ehelyett egy olyan eljáráshoz fordult, amely a prímszámok logaritmusát használja a Sidon halmazok építőköveiként. A magyar számelmélet kidolgozója Ruzsa Imre és a Cilleruelo, ez a megközelítés nagyobb, sűrűbb szidonhalmazokat eredményez, mint a valószínűségi módszer, amelyre Pilatte-nak szüksége volt egy alacsony rendű alap létrehozásához, amely szintén engedelmeskedett a Sidon tulajdonságnak. A módszerhez azonban olyan prímszámokkal rendelkező létesítményre volt szükség, amely még a világ legkiválóbb szakértőiből is hiányzott. „A prímszámok megértésére van szükségünk, amelyek túlmutatnak mindenünkön” – mondta Pilatte. – Szóval ez nem volt jó.

A megoldás keresése váratlan irányba vitte Pilatte-ot, az additív számelmélettől az algebrai geometria világába, a matematika azon ágába, amely a geometriai alakzatok, például görbék és felületek, valamint az ezeket meghatározó egyenletek közötti kapcsolatokat vizsgálja. Cilleruelo ötletét felhasználva Pilatte a számokat polinomokra cserélte, ami azonnal kezelhetőbbé tette a problémát.

A polinom egy algebrai kifejezés, amely olyan tagok összegéből áll, amelyek mindegyike egy állandó együttható és egy vagy több nemnegatív egész hatványra emelt változó szorzata. A kifejezések összeadás, kivonás és szorzás segítségével kombinálhatók. Például 3x² + 22x A + 35 egy háromtagú polinom. Egy polinom faktorálása azt jelenti, hogy fel kell bontani más, egyszerűbb polinomok szorzatára. Ebben a példában a 3x² + 22x + 35 = (x + 5)(3x + 7). Az irreducibilis polinom – amely nem faktorálható – a prímszám analógja.

Az egész számok felcserélése változókra és együtthatókra furcsán hangozhat, de több a közös bennük, mint gondolnád. „Kiderült, hogy a polinomok nagyon hasonlóan viselkednek az egész számokhoz” – mondta Pilatte oxfordi kollégája. Thomas Bloom. – Összeadhatom, kivonhatom, szorozhatom, oszthatom. És bizonyos szempontból a matematikusok sokkal jobban megértik a polinomokat, mint a számokat. „Mindezek a dolgok, amelyek a prímszámokkal sci-fiként hangzanak számunkra, ismertek a polinomiális világban” – mondta Maynard.

Egy legújabb eredmény a Columbia Egyetem matematikusa Will Sawin Az irreducibilis polinomok aritmetikai progressziókban való eloszlásával kapcsolatban Pilatte egy olyan halmazt tudott megszerkeszteni, amely éppen a megfelelő mértékű véletlenszerűséggel és éppen megfelelő számsűrűséggel rendelkezik ahhoz, hogy eleget tegyen Erdős korlátainak.

„Rendkívül boldog voltam” – mondta Pilatte. „Csatlakozom ahhoz a csoporthoz, akik egy Erdős-problémát oldottak meg, és ez szórakoztató.”

De ami a legjobban örömet okoz, az az, ahogy meglepő módon eljutott a megoldásig. "Jó, hogy az algebrai geometriából származó nagyon mély technikákat fel lehet használni a számhalmazokkal kapcsolatos egyszerű és konkrét kérdésre is" - mondta.

Az Erdős-problémák elképesztő képességgel bírnak a matematika állítólagosan nem kapcsolódó ágai közötti kapcsolatok feltárására, és a matematikusok felfedezései, miközben megpróbálják megválaszolni őket, gyakran jelentőségteljesebbek, mint maguk a válaszok. „Megtévesztőek a mélységükben, és Cédric megoldása remek példa erre” – mondta Bloom. – Biztos vagyok benne, hogy Erdős izgatott lett volna.

Javítás: Június 5, 2023
Ez a cikk eredetileg egy olyan Sidon-készletre adott példát, amely valójában nem Sidon-készlet. Ezt a példát eltávolították.