Miért bizonyítják újra a matematikusok, amit már tudnak?

Az első bizonyíték arra, hogy sokan tanulnak, már a középiskola elején, az ókori görög matematikus, Eukleidész bizonyítéka, hogy végtelenül sok prímszám létezik. Csak néhány sorból áll, és nem használ olyan bonyolultabb fogalmakat, mint az egész számok és a szorzás.

Bizonyítása azon a tényen alapul, hogy ha véges számú prím lenne, akkor mindegyiket összeszorozva és 1-et összeadva egy másik prímszám létezését vonná maga után. Ez az ellentmondás azt jelenti, hogy a prímszámoknak végtelennek kell lenniük.

A matematikusoknak van egy különös népszerűségnek örvendő időtöltésük: újra és újra bizonyítani.

Miért kell ezzel foglalkozni? Egyrészt szórakoztató. Ennél is fontosabb: „Úgy gondolom, hogy nagyon vékony a határ a szabadidős matematika és a komoly matematika között” – mondta William Gasarch, a Marylandi Egyetem számítástechnika professzora és szerzője új bizonyíték az év elején megjelent az interneten.

Gasarch bizonyítéka csak a legújabb az újszerű bizonyítékok hosszú sorában. 2018-ban Romeo Meštrović A Montenegrói Egyetem közel 200 bizonyítását állította össze Euklidész tételére egy átfogó történeti áttekintés. Valójában az analitikus számelmélet egész területe, amely folyamatosan változó mennyiségeket használ az egész számok tanulmányozására, vitathatatlanul keletkezett 1737-ben, amikor Leonhard Euler matematikai óriás azt a tényt használta, hogy az 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … végtelen sorozat divergál (ami azt jelenti, hogy nem összegez véges számot), ismét bebizonyítani, hogy végtelen számú prímszám van.

Christian Elsholtz, matematikus a Grazi Műszaki Egyetemen Ausztriában és szerzője újabb bizonyíték, azt mondta, hogy ahelyett, hogy sok kisebb eredményből kemény eredményeket bizonyítana – amit a matematikusok tesznek, amikor szisztematikusan állítják össze a lemmákat tételekké –, az ellenkezőjét tette. „Fermat utolsó tételét használom, ami valójában nem triviális eredmény. És akkor egy nagyon egyszerű eredményre jutok.” Az ilyen visszafelé munkavégzés rejtett kapcsolatokat tárhat fel a matematika különböző területei között – mondta.

„Van egy kis verseny azért, hogy az emberek a legnehezebb bizonyítást nyerjék” – mondta Andrew Granville, a Montreali Egyetem matematikusa és szerzője kettőből egyéb bizonyítékok. „Mókásnak kell lennie. Nem az a lényeg, hogy valami technikailag szörnyűt csináljunk. Csak úgy akarsz valami nehéz dolgot csinálni, hogy az mulatságos."

Granville azt mondta, hogy ennek a baráti összefogásnak komoly értelme van. A kutatók nem csak olyan kérdéseket táplálnak, amelyeket megpróbálnak megoldani. „A matematikában az alkotási folyamat nem arról szól, hogy csak beállítunk egy feladatot egy gépre, és a gép megoldja. Arról van szó, hogy valaki felveszi azt, amit a múltban csinált, és ezzel technikát hoz létre, és módot teremt az ötletek kidolgozására.”

Ahogy Gasarch mondja: „Az összes papír egy aranyos új bizonyítékból származik, amely szerint a prímszámok végtelenek a komoly matematikában. Egyik nap csak a prímszámokat nézed, másnap pedig a négyzetsűrűségeket.”

Gasarch bizonyítása azzal kezdődik, hogy ha az egész számokat véges számú színnel színezed, mindig lesz egy azonos színű számpár, amelynek összege egyben az a szín, amely 1916-ban bebizonyosodott írta: Isai Schur. Gasarch Schur tételét használta annak bemutatására, hogy ha véges számú prím lenne, akkor létezne egy tökéletes kocka (egy egész szám, például 125, amely egyenlő egy másik egész számmal, háromszorosával), amely kettő összege. egyéb tökéletes kockák. De 1770-ben Euler bebizonyította, hogy nem létezik ilyen kocka – a n = 3 esete Fermat utolsó tételének, amely azt feltételezi, hogy nincs egész számú megoldása aⁿ + bⁿ = cⁿ mert n 2-nél nagyobb. Ezen ellentmondás alapján Gasarch úgy érvelt, hogy végtelen számú prímszámnak kell lennie.

Granville egyik 2017-es bizonyítása Fermat egy másik tételét használta. Granville főként a 1927 tétel Bartel Leendert van der Waerden, amely megmutatta, hogy ha az egész számokat véges számú színnel színezi, mindig léteznek tetszőlegesen hosszú, egyenletesen elhelyezkedő, azonos színű egész számok láncai. Gasarchhoz hasonlóan Granville is abból a feltevésből indult ki, hogy a prímszámok végesek. Ezután van der Waerden tételét használta négy egyenlő távolságra elhelyezkedő, azonos színű tökéletes négyzet sorozatának megtalálására. De Fermat bebizonyította, hogy nem létezhet ilyen sorozat. Ellentmondás! Mivel egy ilyen sorozat létezhetne, ha véges számú prím lenne, de nem létezhet, végtelen számú prímnek kell lennie. Granville bizonyítása volt a közelmúlt második legfontosabb bizonyítéka, amely Van der Waerden tételére támaszkodott – Levent Alpöge, most posztdoktori a Harvard Egyetemen, szintén felhasználta az eredményt a 2015 papír, még főiskolás korában megjelent.

Granville különösen kedveli Elsholtz írását, amely alkalmazza Fermat utolsó tételét és azt az ellentétes feltételezést is, hogy csak véges sok prímszám van. Gasarchhoz hasonlóan Elsholtz is beépítette Schur tételét, bár némileg eltérő módon. Elsholtz egy második bizonyítást is adott a segítségével Klaus Roth 1953-as tétele, amely azt mondja, hogy egy bizonyos méretű egész számhalmaznak három egyenlő távolságra elhelyezkedő számból álló csoportokat kell tartalmaznia.

Néhány mélyebb – sőt gyakorlati – matematikai kérdésre is választ kaphatunk, ha erre a munkára építünk. Például a nyilvános kulcsú titkosítást, amely a nagy számok faktorálásának nehézségén alapul, nagyon könnyen megtörhetnénk, ha véges sok prímszámmal rendelkező világban élnénk. Elsholtz azon töpreng, vajon lehet-e valami összefüggés a végtelen sok prímszám bizonyítása és annak bizonyítása között, hogy milyen nehéz feltörni az ilyen titkosítási sémákat. Van némi gyenge kapcsolat Eukleidész tételével” – mondta Elsholtz. "Érdekes lenne látni a mélyebb összefüggéseket."

Granville szerint a legjobb matematika a különböző területek és tantárgyak furcsa kombinációiból nőhet ki, és gyakran azután jön létre, hogy a matematikusok éveket töltöttek azzal, hogy alacsonyabb szintű, de mulatságos problémákon tésztanak. Lenyűgözi az a tény, hogy látszólag távoli tárgyakat lehetne alkalmazni a számelméletben. Egy közelmúltbeli felmérésben Granville dicsérte a „ritka eleganciát” a Hillel Furstenberg 1955-ös bizonyítéka, amely ponthalmaz topológiát használt. Alpögéhez hasonlóan Furstenberg is még főiskolás volt, amikor a bizonyítékot közzétették. Továbbmenne egy jeles karriert egy sokféle matematikai tudományág.

Granville retorikusan azt kérdezte, hogy Eukleidész régi eredményének új bizonyítékai „csak kíváncsiság vagy valami, aminek hosszú távú jelentősége van”. Saját kérdésére válaszolva azt mondta: "Nem mondhatom el."