A matematika, amely örökké tart, de soha nem ismétlődik | Quanta Magazin

Csodáltad már, hogy a keményfa padló lécei milyen tisztán illeszkednek egymáshoz, vagy hogy a fürdőszoba szőnyege alatti hatszögek tökéletesen illeszkednek egymáshoz? Példák geometriai burkolásra, olyan formák elrendezésére, amelyek szorosan illeszkednek egymáshoz, miközben kitöltik a helyet. A kétdimenziós csempéket az egész világon csodálják, mind szépségük miatt – amint az a katedrálisok és mecsetek mozaikművészetében látható szerte a világon –, mind pedig hasznosságuk miatt a falakon és a padlókon mindenhol.

A matematikában a burkolólapokat gyakran szokásos mintáik miatt értékelik. De a matematikusok a szabálytalanságban is megtalálják a szépséget. Ez a fajta szépség, amit egy nyugdíjas nyomdatechnikus keresett, amikor ő nemrég felfedezett az első „időszakos monotile” – egyetlen lapka, amely nem ismétlődő mintázatban tölti ki a síkot. Ahhoz, hogy kezelni tudjuk ezt a nagy felfedezést, kezdjünk egy egyszerűbb problémával: hogyan csempézzünk egy vonalat.

Képzeljük el, hogy a sorkitöltő lapkáink olyan betűk, amelyek egymáshoz tapadva sorozatokat alkotnak. Ha a csempék és az elhelyezésükre elfogadott szabályok lehetővé teszik, hogy egy olyan betűsort hozzunk létre, amely mindkét irányban végtelenül folytatódik, akkor „csempézhetjük a sort”. Tegyük fel például, hogy van két csempénk, A-val és B-vel, és két szabály van ezek összerakására:

1. Az A mellett mindkét oldalon csak B-t helyezhet el.
2. A B mellett mindkét oldalon csak A-t helyezhet el.

Csempézhetjük-e a vonalat ezekkel a lapokkal és ezekkel a szabályokkal? Teljesen. Tegyük fel, hogy először egy A-t teszünk le.

A

A szabályok szerint a B-ket mindkét oldalra kell helyeznünk.

BAB

Most ezeknek a B-knek mindkét oldalára fel kell helyeznünk A-t és így tovább.

…ABABABABABABABA…

Ezekkel a lapokkal és szabályokkal mindkét irányban örökké folytathatjuk, így tudjuk csempézni a sort. Valójában ennél erősebb következtetést is levonhatunk: Lényegében csak így tudjuk a szabályokat betartani. Lássuk, mit jelent ez.

Tegyük fel, hogy ehelyett B-vel kezdjük.

B

A szabályok megkövetelik, hogy mindkét oldalra tegyünk A-t.

ABA

Aztán B-k az A-k mindkét oldalán, és így tovább.

…BABABABABABAB…

Ez úgy néz ki, mint a vonal második érvényes csempézése. De hasonlítsuk össze az elsővel.

…BABABABABABAB…

…ABABABABABABABA…

Ha bármelyik csempét átcsúsztatjuk egy lapkával, a kettő tökéletesen illeszkedik – örökre.

  …BABABABABABAB…

…ABABABABABABABA…

Más szóval, fordítás után a burkolólapok egyenértékűek. Ez azt mutatja, hogy a két csempe ugyanazt a mintát követi.

Ha közelebbről megvizsgáljuk, valami még érdekesebb is kiderül. Kezdje az eredeti burkolat két másolatával:

…ABABABABABABABA…

…ABABABABABABABA…

Most figyelje meg, mi történik, ha a felsőt két lapra csúsztatja:

     …ABABABABABABABA…

…ABABABABABABABA…

Az eredeti burkolóanyag önmagával illik. Ha egy csempe egy fordítás után önmagával egyenértékű, akkor „transzlációs szimmetriája” van. (Olyan ez, mint egy tárgynak „visszaverő szimmetriája”, ha a két tükörképes fele visszaverhető egymásra.)

A transzlációs szimmetria megmutatja, hogy a csempézés valójában csak egyetlen minta, amelyet újra és újra megismételnek. Ebben az esetben az …ABABABABABABA… sor csempézése az AB kétlapos minta végtelen sok lefordított másolataként fogható fel.

AB

ABAB

ABABAB

Ez egy egyszerű példa a transzlációs szimmetriával rendelkező vonal csempézésére. Két dimenzióban sok ismerős példa van a sík burkolására, amelyek szintén rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal.

Minden fenti esetben lehetséges a teljes burkolólap lefordítása bizonyos összeggel, hogy az pontosan egyezzen az eredetivel.

A vonal csempézéséhez hasonlóan ezek a transzlációs szimmetriával rendelkező kétdimenziós burkolások egyetlen mintának tekinthetők, amely újra és újra ismétlődik. Például az egyetlen hatszög minden irányba kiterjed.

Ha látni szeretné ezt az egyenlő oldalú háromszög burkolásban, képzelje el, hogy a háromszögek hatszögeket alkotnak, és ezek a hatszögek újra és újra ismétlődnek fordítással.

A sík háromszög-, hatszög- és négyzetlapjai mind „egyéderek”, mivel mindegyik egyetlen lapka végtelen sok másolatából áll. Számos módja van a sík burkolásának több csempével is, amint az alább látható (és sok fürdőszobapadlón).

De térjünk vissza a sor cseréjéhez. Van egy fontos különbségtétel, amit meg kell tennünk.

Vegye figyelembe a következő új szabályokat az A és B csempékre vonatkozóan.

1. Az A mellett mindkét oldalon elhelyezhet egy A-t vagy B-t.
2. A B mellett mindkét oldalon csak A-t helyezhet el.

Továbbra is betarthatjuk a vonalat ezekkel a szabályokkal? Egy egyszerű módja annak, hogy megbizonyosodjon arról, hogy a válasz igen, ha észreveszi, hogy a korábbi csempézés is megfelel az új szabálykészletnek.

…ABABABABABABABA…

Az új szabályok azonban nagyobb rugalmasságot tesznek lehetővé, és ez a vonal több csempézéséhez vezet.

Például ez mindkettő érvényes konfiguráció az új szabályok szerint:

AAABABA

ABABAAABAAB

És ezek a végtelenségig kiterjeszthetők mindkét irányba, végtelenül sokféleképpen.

Amellett, hogy rengeteg új csempézést biztosítunk a vonalon, az új szabályok lehetővé teszik számunkra, hogy olyan csempéket állítsunk elő, amelyek az első példával ellentétben nem ismétlődnek. Vegyük például a következő csempézést:

…ABAABAAABAAAAB…

Mi itt a minta? Kezdje egy A-val, majd helyezzen egy B-t jobbra, majd két A-t a jobb oldalra, majd egy B-t, majd három A-t, majd egy B-t, majd négy A-t és így tovább. A bal oldalon csak folytassa az A-k hozzáadását:

…ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁB…

Tedd meg ezt, és olyan csempét kapsz, amelyet nem lehet önmagára fordítani, hogy minden egyezzen.

Ezt egyszerűen úgy láthatja, ha megfigyeli, hogy ebben a burkolólapban van egy egyedi bal szélső B, tehát hová kerül a fordítás után? Ha balra fordítasz, akkor nincs B betű, amivel illene. De ha jobbra fordítasz, akkor balról nem jön B, hogy megfeleljen.

Az új szabályok ezért lehetővé teszik mind a transzlációs szimmetriával rendelkező burkolólapokat, mind a nem megfelelő burkolásokat. Vannak a sík burkolatai is, amelyek így működnek.

Például láttunk már olyan négyzetes burkolólapokat, amelyeknek transzlációs szimmetriája van, de használhatjuk a négyzetet olyan burkolólapok készítésére is, amelyek nem rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal.

Ez nagyon eltér a szabályos hatszöget használó monoéder burkolólapoktól. Ezekben a burkolásokban elkerülhetetlen az ismétlődő szerkezet. Maguk a lapok geometriája kényszeríti a burkolás transzlációs szimmetriáját. Az ilyen burkolásokat „időszakosnak” nevezzük.

Ezzel szemben a négyzet lehetővé teszi az ismétlődő és a nem ismétlődő mintákat. Ez egy természetes, ellenállhatatlan kérdéshez vezet a matematikusok számára: Ha a síkon vannak olyan csempézések, amelyek erre az ismétlődő szerkezetre kényszerülnek, vannak-e olyan burkolások, amelyek kénytelenek elkerülni? Ezzel az 1960-as években megfogalmazott kérdéssel az „időszakos burkolások” vadászata indult.

A kereséshez még egy utat teszünk vissza a vonalba. Az egydimenziós tér végső burkolásához szokatlan megjelenésű csempekészletet használunk:

A-lapkák: A, AA, AAA, AAAA, …

B-lapok: B, BB, BBB, BBBB, …

Figyeljük meg, hogy ez a csempekészlet végtelen. Ha ez csalásnak tűnik, akkor úgy gondolkodik, mint egy matematikus. Erre később még visszatérünk, de egyelőre itt van a két szabály a végtelenül sok csempénk összerakásához:

1. Egy hosszúságú A-lapka mellett n, csak hosszúságú B-lapkát rakhatsz n barmelyik oldalon.
2. Egy hosszúságú B-lapka mellett n, csak hosszúságú A-lapkát rakhatsz n + 1 mindkét oldalon.

Mint mindig, most is a kérdésünk a következő: Meg tudjuk-e csempészni a sort ezekkel a lapokkal és szabályokkal? Nos, tegyük fel, hogy egy 1 hosszúságú A-lapkával kezdjük.

A

A szabályok azt írják elő, hogy mindkét oldalra csak 1 hosszúságú B-lapkát helyezhetünk.

BAB

Most minden B mellé 2 hosszúságú A-lapkát kell tenni.

AABABAA

Ezután 2-es hosszúságú B-lapkákat adunk hozzá.

BBAABABAABB

Stb. Könnyen belátható, hogy mindkét irányban örökké folytathatjuk, ami azt jelenti, hogy ezekkel az új csempékkel és szabályokkal valóban ki tudjuk zárni a sort. És a keresésünk szempontjából releváns, ennek a csempézésnek nincs transzlációs szimmetriája. Figyeljük meg, hogy az A-t, amelyet az elején helyeztünk el, azonnal B-k veszik körül mindkét oldalon, és a kapott minta – BAB – soha többé nem jelenik meg. A csempézésünket jelképező végtelen hosszúságú karakterláncban minden más megjelenő A legalább egy másik A mellett lesz. Ez azt jelenti, hogy a BAB karakterláncnak nincs hova mennie, így nincs mód arra, hogy ezt a burkolatot önmagára fordítsuk.

Ez attól függetlenül igaz lesz, hogy melyik lapkával kezdjük. Ha B, akkor a szabályok azonnal a karakterlánchoz vezetnek

…BBAABAABB…

És mint korábban, az ABA minta soha nem fog megismétlődni. Még ha olyasmivel kezdesz is, mint az AAA, ugyanaz fog történni.

…AAAABBBAAABBBAAAAA…

Bármit is kezd, mindig a kezdeti csempe lesz az egyetlen adott hosszúságú A- vagy B-lapka, ami megakadályozza a transzlációs szimmetria kialakulását. Történetesen pontosan ezt kerestük: egy sor csempe és szabály, amely lehetővé teszi a vonal csempézését, de soha nem teszi lehetővé a transzlációs szimmetriát.

Lehet, hogy elégedetlen egy időszakos burkolással, amely végtelenül sok csempét igényel, és nem lennél egyedül. Amikor a matematikusok komolyan elkezdték keresni a sík időszakos csempézéseit, olyan véges csempekészletet akartak találni, amely képes burkolni a síkot, de nem rendelkezhet transzlációs szimmetriával. Egy korai megoldás 20,426 XNUMX csempét használt, de néhány éven belül a matematikusok ezt a számot hatra csökkentették.

Az áttörés az 1970-es években következett be, amikor Roger Penrose, a brit matematikus és fizikus felfedezte a híres kétlapos készletet, amely ma az ő nevét viseli. A Penrose lapok egy pár egyszerű négyszög, amelyek gondos szabályok betartásával a transzlációs szimmetria megengedése nélkül burkolják a síkot.

Csak egy módja van annak, hogy javítsunk a kétlapos időszakos burkoláson, ezért a matematikusok, amatőrök és a művészek elkezdtek keresni egy időszakos „monotilit”, amely önmagában is elvégezné a munkát.

Tavaly novemberben David Smith talált rá. Ez a „kalap”, az első ismert aperiodikus monotilis.

Smith, egy szabadidős matematikus, művész és csempézés-rajongó, úgy fedezte fel a kalapot, ahogyan sok matematikát felfedeznek: úgy, hogy eljátszott és megnézte, mi történt. Smith később kapcsolatba lépett Craig Kaplannal, Chaim Goodman-Strauss-szal és Joseph Samuel Myers-szel, akik együtt igazolták, hogy ez valóban a régóta keresett aperiodikus monotilis.

Nem könnyű feladat annak bizonyítása, hogy a síkot csempézheti, de nem lehet transzlációs szimmetriája, de néhány technikára utalunk egyszerű példáinkból. Például az egyik módja annak, hogy megmutassuk, hogy az egyenlő oldalú háromszögek csempézhetik a síkot, ha észrevesszük, hogy összeérnek és nagyobb struktúrákat alkotnak, ebben az esetben hatszögeket, amelyekről ismert, hogy a síkot csempézik. A kalaplapkából összeállnak nagyobb, szabályos szerkezetek is, amelyek segítségével megérthetjük, hogyan burkolja a síkot.

Bár előfordulhat, hogy nincs ismétlődő minta a vonal időszakos csempézésében, van egy minta, amely kitágul, ahogy jobbra mozog. Először az AB-t, majd az AABB-t, majd az AAABBB-t, majd az AAAABBBB-t és így tovább. Ez egyfajta önhasonlóság – egy minta, amely a léptékváltáskor ismétlődik –, amelyet néha arra lehet használni, hogy megmutassuk, hogy egy adott csempe nem tud önmagára fordítani, mert ez torzítaná a hosszt.

A csoport közös munkával bebizonyította, hogy csak a kalaplapkával és annak tükörképével lehet lapozni a síkot, de nem transzlációs szimmetriával. És ellentétben más, különböző csempekészletekkel végzett kísérletekkel, ez nem igényel különleges szabályokat. A csempe maga kényszerítette ki az aperioditást. Ahogy egyre jobban belemerültek a geometriába, még több megoldást fedeztek fel. A kalap valójában az időszakos csempe végtelen családjába tartozik!

Úgy tűnik, az időszakos monotilis keresése véget ért. Vagy van? Amikor a síkot időszakosan csempézi a kalappal, szüksége van annak tükrözésére is (amit akkor kap, ha felfordítja a lapkát). Talán van egy még fel nem fedezett időszakos monotilis, amihez nincs szükség a tükörképére. Találd meg és híres leszel. Az ihlet közvetlenül a lábad alatt lehet.

Javítás: 23. május 2023

Ezt az oszlopot felülvizsgálták, hogy tükrözze azt a tényt, hogy az ismétlődő struktúra elkerülhető egyenlő oldalú háromszögek egyéderes burkolólapjainál.