A Reznick-féle Positivstellensatz finomítása a kvantuminformáció-elméletben

A Reznick-féle Positivstellensatz finomítása a kvantuminformáció-elméletben

Időbélyeg: 12. május 2023. 6:41
A refinement of Reznick’s Positivstellensatz with applications to quantum information theory PlatoBlockchain Data Intelligence. Vertical Search. Ai.

Alexander Müller-Hermes1,2, Ion Nechita3és David Reeb4,5

1Matematikai Tudományok Tanszék, Koppenhágai Egyetem, 2100 Koppenhága, Dánia
2Institut Camille Jordan, Université Claude Bernard Lyon 1, 43 Boulevard du 11 Novembre 1918, 69622 Villeurbanne cedex, Franciaország
3Laboratoire de Physique Théorique, Université de Toulouse, CNRS, UPS, Franciaország
4Elméleti Fizikai Intézet, Leibniz Universität Hannover, 30167 Hannover, Németország
5Bosch Mesterséges Intelligencia Központ, Robert-Bosch-Campus 1, 71272 Renningen, Németország

Érdekesnek találja ezt a cikket, vagy szeretne megvitatni? Scite vagy hagyjon megjegyzést a SciRate-en.

Absztrakt

Hilbert 17. feladatának megoldásában Artin megmutatta, hogy bármely pozitív határozott polinom több változóban felírható két négyzetösszeg hányadosaként. Később Reznick megmutatta, hogy az Artin-féle eredményben a nevezőt mindig meg lehet választani a változók négyzetes normájának $N$-edik hatványaként, és kifejezett korlátokat adott $N$-ra. A kvantuminformáció-elmélet fogalmainak felhasználásával (például részleges nyomok, optimális klónozási térképek és a Chiribella által okozott azonosság) egyszerűbb bizonyításokat és kisebb javításokat adunk ennek az eredménynek mind a valós, mind az összetett változataiban. Ezen túlmenően megvitatjuk a Hilbert-azonosságok Gauss-integrálok segítségével történő konstrukcióit, és áttekintünk egy elemi módszert összetett gömbtervek megalkotására. Végül az eredményeinket arra alkalmazzuk, hogy javított korlátokat adjunk exponenciális kvantum de Finetti tételekhez valós és komplex környezetben.

► BibTeX adatok

► Referenciák

[1] Emil Artin. Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate. In Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 5. kötet, 100–115. oldal. Springer, 1927.

[2] Jacek Bochnak, Michel Coste és Marie-Françoise Roy. Valós algebrai geometria, 36. kötet Springer Science & Business Media, 2013.

[3] Rajendra Bhatia. Mátrixelemzés, 169. kötet Springer Science & Business Media, 1997.

[4] Giulio Chiribella. A kvantumbecslésről, a kvantumklónozásról és a véges kvantum de finetti tételekről. In Conference on Quantum Computation, Communication és Cryptography, 9–25. oldal. Springer, 2010.

[5] Philippe Delsarte, Jean-Marie Goethals és Johan Jacob Seidel. Szférikus kódok és tervek. In Geometry and Combinatorics, 68–93. oldal. Elsevier, 1991.

[6] Andrew C Doherty és Stephanie Wehner. Az sdp hierarchiák konvergenciája a polinomiális optimalizáláshoz a hiperszférán. arXiv preprint arXiv:1210.5048, 2012.
arXiv: 1210.5048

[7] William J Ellison. Waring problémája. The American Mathematical Monthly, 78(1):10–36, 1971.

[8] Leonyid Fajbusovics. Homogén polinomok globális optimalizálása szimplexen és gömbön. A Globális optimalizálás határai, 109–121. oldal. Springer, 2004.

[9] Kun Fang és Hamza Fawzi. A négyzetösszeg hierarchiája a szférán és alkalmazásai a kvantuminformációelméletben. Matematikai programozás, 1–30. oldal, 2020.

[10] Ronald L Graham, Donald E Knuth és Oren Patashnik. Konkrét matematika, 2. kiadás. Massachusetts: Addison-Wesley, 1994.

[11] Aram W Harrow. A szimmetrikus altér temploma. arXiv preprint arXiv:1308.6595, 2013.
arXiv: 1308.6595

[12] Felix Hausdorff. Zur Hilbertschen Lösung des Waringschen Problems. Mathematische Annalen, 67(3):301–305, 1909.

[13] David Hilbert. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem). Mathematische Annalen, 67(3):281–300, 1909.

[14] Ernest W Hobson. A gömb- és ellipszoid harmonikusok elmélete. CUP Archívum, 1931.

[15] Kôdi Husimi. A sűrűségmátrix néhány formális tulajdonsága. Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan. 3. sorozat, 22(4):264–314, 1940.

[16] Leon Isserlis. A szorzat-nyomaték együttható képletén tetszőleges számú változó normál frekvenciaeloszlása ​​tetszőleges sorrendjében. Biometrika, 12(1/2):134–139, 1918.

[17] Robert König és Graeme Mitchison. A legösszetettebb és legegyszerűbb kvantum de finetti tétel. Journal of Mathematical Physics, 50(1):012105, 2009.

[18] Jean-Louis Krivine. Anneaux préordonnés. Journal d'analyse mathématique, 12(1):307–326, 1964.

[19] Michael Keyl és Reinhard F Werner. Tiszta állapotok optimális klónozása, egyedi klónok tesztelése. Journal of Mathematical Physics, 40(7):3283–3299, 1999.

[20] Murray Marshall. Pozitív polinomok és négyzetösszegek. 146. szám. American Mathematical Soc., 2008.

[21] Mok Hoi Nam. Pozitív félig határozott valós és komplex polinomok effektív szempontjai. Mesterdolgozat, Matematika Tanszék, Szingapúri Nemzeti Egyetem, 2008.

[22] Yu V Neszterenko. Waring problémájáról (elemi módszerek). Journal of Mathematical Sciences, 137(2):4699–4715, 2006.

[23] Mihai Putinar. Pozitív polinomok kompakt félalgebrai halmazokon. Indiana University Mathematics Journal, 42(3):969–984, 1993.

[24] Daniel G Quillen. A hermitikus formák négyzetösszegként való ábrázolásáról. Inventiones mathematicae, 5(4):237–242, 1968.

[25] Renato Renner. A nagy fizikai rendszerek szimmetriája magában foglalja az alrendszerek függetlenségét. Természetfizika, 3(9):645, 2007.

[26] Bruce Reznick. Egységes nevezők Hilbert tizenhetedik problémájában. Math. Z., 220(1):75–97, 1995.

[27] Konrad Schmüdgen. A K-moment probléma kompakt félalgebrai halmazokhoz. Mathematische Annalen, 289(1):203–206, 1991.

[28] Andrew J Scott. Szoros, információsan teljes kvantummérések. Journal of Physics A: Mathematical and General, 39(43):13507, 2006.

[29] Gilbert Stengle. Egy Nullstellensatz és egy Positivstellensatz a félgebrai geometriában. Mathematische Annalen, 207(2):87–97, 1974.

[30] Szegö Gábor. Ortogonális polinomok, 23. kötet. American Mathematical Soc., 1939.

[31] Wing-Keung To és Sai-Kee Yeung. Hatékony izometrikus beágyazások bizonyos hermitiánus holomorf vonalkötegekhez. Journal of the London Mathematical Society, 73(3):607–624, 2006.

[32] Mark M Wilde. Kvantum információelmélet. Cambridge University Press, 2017.

Idézi

Ez a tanulmány a Quantumban jelent meg Creative Commons Nevezd meg 4.0 International (CC BY 4.0) engedély. A szerzői jog az eredeti szerzői jog tulajdonosainál marad, például a szerzőknél vagy intézményeiknél.

Időbélyeg:

Még több Quantum Journal