Isaac Newton nem volt ismert nagylelkűségéről, és riválisai iránti megvetése legendás volt. De az egyik levelében versenytársának, Gottfried Leibniznek, akit ma már a Epistola Posterior, Newton nosztalgikusnak és szinte barátságosnak tűnik. Ebben mesél egy történetet diákkorából, amikor még csak elkezdte tanulni a matematikát. Elmeséli, hogyan tett egy nagy felfedezést, amikor a görbék alatti területeket végtelen összegekkel egyenlővé tette egy találgatás és ellenőrzés során. A levélben szereplő érvelése annyira elbűvölő és elérhető, hogy eszembe jutnak a mintatalálós játékok, amelyeket a kisgyerekek szeretnek játszani.
Az egész akkor kezdődött, amikor a fiatal Newton elolvasta John Wallis Arithmetica Infinitorum, a 17. századi matematika alapműve. Wallis egy újszerű és induktív módszert alkalmazott a pi értékének meghatározására, Newton pedig valami hasonlót akart kitalálni. Azzal a problémával kezdte, hogy megtalálja egy állítható szélességű „kör alakú szegmens” területét $latex x$. Ez az egységkör alatti terület, amelyet $latex y=sqrt{1-x^2}$ határoz meg, és amely a vízszintes tengely 0 és XNUMX közötti része felett helyezkedik el. $latex x$. Itt $latex x$ tetszőleges szám lehet 0 és 1 között, és 1 a kör sugara. Egy egységkör területe pi, ahogy Newton jól tudta, tehát mikor $latex x=1$, a görbe alatti terület az egységkör $latexfrac{π}{4}$ negyede. De más értékekre $latex x$, semmit sem lehetett tudni.
Ha Newton megtalálná a módját a görbe alatti terület meghatározásának minden lehetséges értékére $latex x$, példátlan eszközt adhat a pi közelítésére. Eredetileg ez volt a nagy terve. Útközben azonban talált valami még jobbat: egy módszert, amellyel bonyolult görbéket helyettesíthet végtelen összegű egyszerűbb építőelemekkel $latex x$.
Newton első lépése az volt, hogy analógiával érveljen. Ahelyett, hogy közvetlenül a körszakasz területére célzott volna, a következő görbék által határolt analóg szakaszok területeit vizsgálta:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton tudta, hogy a listában a görbék alatti területek egész szám hatványaival (pl. $latex frac{0}{2}=0$ és $latex frac{2}{2} = 1$) könnyen kiszámíthatók, mert algebrailag egyszerűsítenek. Például,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
Hasonlóképpen,
De nem áll rendelkezésre ilyen egyszerűsítés a kör egyenletére — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$ — vagy a többi, félhatékonyságú görbére. Akkoriban senki sem tudta, hogyan lehet megtalálni az egyik alatti területet.
Szerencsére az egész szám hatványával rendelkező görbék alatti területek egyértelműek voltak. Vegyük a $latex y_4=1-2x^2+x^4$ görbét. Egy akkoriban jól ismert szabály az ilyen függvényekre lehetővé tette Newtonnak (és bárki másnak), hogy gyorsan megtalálja a területet: Bármely $latex nge 0$ egészszámú hatvány esetén a görbe alatti terület $latex y=x^n$ felette az intervallum tól $latex 0$ nak nek $latex x$ $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$ adja. (Wallis kitalálta ezt a szabályt az induktív módszerével, és Pierre de Fermat határozottan bebizonyította.) Ezzel a szabállyal felvértezve Newton tudta, hogy a $latex y_4$ görbe alatti terület $latex x-frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$.
Ugyanez a szabály lehetővé tette számára, hogy megtalálja a többi görbe alatti területet egész szám hatványokkal a fenti listában. Írjunk $latex A_n$ értéket a $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$ görbe alatti területre, ahol $latex n= 0, 1, 2, …$ . A szabály alkalmazása hozamokat eredményez
$latex A_0=x$
$latex A_1 = hspace{.295em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = hspace{.295em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frak{1}{5}x^5$
$latex A_5 =hspace{.295em}? $
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frak{3}{5}x^5 – frak{1}{7}x^7$
stb. Newton ravasz ötlete az volt, hogy pótolja a hiányosságokat, remélve, hogy a többi sorozatban látottak alapján kitalálja a $latexA_1$-t (a körkörös szegmens ismeretlen területére vonatkozó sorozat). Egy dolog azonnal világossá vált: minden $latexA_n$ egyszerűen a $latex x$-dal kezdődött. Ez a képletek módosítását javasolta a következőképpen:
$latex A_0=x$
$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frak{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
Ezután a következő kérdőjelek helyettesítésére Newton megvizsgálta a $latex x^3$ kifejezéseket. Kis licensz birtokában láthatjuk, hogy még a $latexA_0$-ban is volt egy ilyen kockatag, mivel átírhatjuk $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$-ra. Ahogy Newton elmagyarázta Leibniznek, megfigyelte, „hogy a második kifejezések $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ stb., aritmetikai sorrendben voltak” (a számlálókban a 0, 1, 2, 3-ra utalt). Newton arra gyanakodott, hogy ez az aritmetikai progresszió a hézagokra is kiterjedhet, ezért úgy vélte, hogy a számlálók teljes sorozatának, az ismert és az ismeretlen, számoknak kell lenniük, amelyeket $latex frac{1}{2} választ el (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ „és ezért a sorozat első két tagja” érdekelte – a még ismeretlen $latex A_1$ , $latex A_3$ és $latex A_5$ – „$latex x- frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac) {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$ stb.”
Így ebben a szakaszban a minták azt javasolták Newtonnak, hogy a $latex A_1$ így kezdődjön
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.
Ez jó kezdet volt, de többre volt szüksége. Miközben más minták után kutatott, Newton észrevette, hogy az egyenletekben a nevezők mindig páratlan számokat tartalmaznak növekvő sorrendben. Például nézze meg a $latex A_6$-t, amelynek nevezője 1, 3, 5 és 7. Ugyanez a minta működött a $latex A_4$ és a $latex A_2$ esetében. Elég egyszerű. Ez a minta láthatóan megmaradt az összes egyenlet összes nevezőjében.
Maradt az, hogy megtaláljuk a mintát a számlálókban. Newton ismét megvizsgálta a $latex A_2$, a $latex A_4$ és a $latex A_6$, és észrevett valamit. A $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$-ban egy 1-et látott, amely megszorozza a $latex x$-t és egy másik 1-et a $latexfrac {1}{3}x^3$ kifejezésben (figyelmen kívül hagyta egyelőre negatív előjel). A $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$-ban 1, 2, 1 számlálóit látta. A $latexben pedig A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , 1, 3, 3, 1 számlálót látott. Ezeket a számokat mindenkinek ismernie kell aki valaha is tanulmányozta a Pascal-háromszöget, a számok háromszög alakú elrendezését, amely a legegyszerűbb esetben úgy jön létre, hogy összeadja a fölötte lévő számokat, 1-gyel kezdve a tetején.
Ahelyett, hogy Pascalra hivatkozott volna, Newton ezeket a számlálókat „a 11-es szám hatványaként” emlegette. Például a 112 = 121, ami a háromszög második sora, és 113 = 1331, ami a harmadik. Manapság ezeket a számokat binomiális együtthatóknak is nevezik. Akkor jönnek létre, amikor kibővítjük egy binomiális hatványait, például ($latex a +b$), mint például a $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$ esetén. Ezzel a mintával Newtonnak most egyszerű módja volt kiírnia $latex A_2, A_4, A_6$ és az összes többi páros számot. A„S.
Ezután, hogy eredményeit félhatványokra és páratlan alsó indexekre extrapolálja (és végül elérje a kívánt sorozatot, $latex A_1$), Newtonnak ki kellett terjesztenie Pascal háromszögét egy fantasztikus új rezsimre: félúton a sorok között. Az extrapoláció elvégzéséhez általános képletet állított le a binomiális együtthatókra a Pascal-háromszög bármely adott sorában – $latex m$ sorban –, majd merészen bedugta a $latex m= frac{1}{2}$ konnektorba. És elképesztő módon működött. Ez megadta neki a számlálókat abban a sorozatban, amelyet keresett egy egységkörhöz, $latexA_1$.
Íme, Newton saját szavaival, összefoglalója Leibniznek azokról a mintákról, amelyeket induktív módon vett észre az érvelés e szakaszáig:
Elkezdtem gondolkodni azon, hogy az 1, 3, 5, 7 stb. nevezők aritmetikai progresszióban vannak, így csak a számlálók numerikus együtthatói még vizsgálatra szorulnak. De a felváltva megadott területeken ezek a 11-es szám hatványai voltak… vagyis az első „1”; majd '1, 1'; harmadszor: „1, 2, 1”; negyedikként „1, 3, 3, 1”; ötödször '1, 4, 6, 4, 1' stb., és ezért elkezdtem érdeklődni, hogyan származtathatóak a sorozat fennmaradó figurái az első két megadott figurából, és azt tapasztaltam, hogy amikor $latex m$-t teszünk a másodikra ábra, a többi a sorozat tagjainak folyamatos szorzásával jönne létre,
$latex frac{m-0}{1} alkalommal frac{m-1}{2} alkalommal frac {m-2}{3} alkalommal frac{m-3}{4} alkalommal frac {m-4}{5 }$ stb.
… Ennek megfelelően ezt a szabályt alkalmaztam a sorozatok sorozatok közötti közbeiktatására, és mivel a kör második tagja a $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$ volt, ezért $latexet tettem m=frac{1}{2}$, és a felmerülő feltételek a következők voltak
$latex frac {1}{2}-szor frac{frac{1}{2}-1}{2}$ vagy $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8}-szor frac{frac{1}{2}-2}{3}$ vagy $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16}-szor frac{frac{1}{2}-3}{4}$ vagy $latex – frac {5}{128}$,tehát a végtelenségig. Innen értettem meg, hogy a kör alakú szegmensnek az a területe, amelyet akartam
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Végül a $latex x=1$ csatlakoztatásával Newton végtelen összeget kaphat $latexfrac{π}{4}$-ért. Fontos megállapítás volt, de kiderült, hogy vannak jobb módszerek is a pi közelítésére egy végtelen összeggel, ahogyan ezt Newton is hamarosan felfedezte az ilyen végtelen összegek, ma hatványsoroknak nevezett kezdeti behatolás után. Végül kiszámolta a pi első 15 számjegyét.
Visszatérve a körszakasz problémájához, Newton rájött, hogy magának a körnek az egyenlete (nem csupán az alatta lévő terület) hatványsorral is ábrázolható. Csak annyit kellett tennie, hogy kihagyta a nevezőket, és 1-gyel csökkentette $latex x$ hatványait a fent látható hatványsorokban. Így arra késztetett, hogy kitalálja
Annak tesztelésére, hogy ennek az eredménynek van-e értelme, Newton megszorozta önmagával: „$latex 1-x^2$ lett, a maradék kifejezések eltűntek a sorozat végtelenségig való folytatásával.”
Kicsit visszalépve a részletektől, számos leckét látunk itt a problémamegoldásról. Ha egy probléma túl nehéz, változtassa meg. Ha túl konkrétnak tűnik, általánosítson. Newton mindkettőt megtette, és fontosabb és erősebb eredményeket ért el, mint amit eredetileg keresett.
Newton nem fixírozott makacsul egy negyed kört. Sokkal általánosabb formát nézett, bármely $latex x$ szélességű kör alakú szegmenst. Ahelyett, hogy ragaszkodott volna a $latex x=1$-hoz, megengedte, hogy a $latex x$ szabadon futhasson 0-tól 1-ig. Ez feltárta a sorozatában szereplő együtthatók binomiális jellegét – a számok váratlan megjelenését a Pascal-háromszögben és általánosításaikat –, ami hadd lássa Newton azokat a mintákat, amelyeket Wallis és mások figyelmen kívül hagytak. Ezeknek a mintáknak a láttán aztán Newton olyan betekintést nyert, amelyre szüksége volt a hatványsorok elméletének sokkal szélesebb körű és általánosabb kidolgozásához.
Későbbi munkájában Newton hatalmi sorozata egy svájci kést adott neki a számításhoz. Segítségükkel integrálókat tudott készíteni, algebrai egyenletek gyökereit megtalálni, szinuszokat, koszinuszokat és logaritmusokat számolni. Ahogy ő fogalmazott: „Az ő segítségükkel az elemzés – mondhatnám – minden problémához eljut.”
Az erkölcs: A probléma megváltoztatása nem csalás. Ez kreatív. És lehet, hogy ez a kulcs valami nagyobbhoz.
