Hogyan mozgatja az egyszerű matematika a tűt | Quanta Magazin

Képzelje el, hogy egy vezető nélküli autóval legurul az utcán, amikor problémát lát maga előtt. Az Amazon szállító sofőrje félúton kapott egy duplán parkoló UPS teherautó mellett, mielőtt rájött, hogy nem tudnak átjutni. Most elakadtak. És te is.

Az utca túl keskeny ahhoz, hogy lehúzza az U-ey-t, ezért az AI-val továbbfejlesztett autója hárompontos kanyart kezdeményez. Először az autó kanyargós úton halad egy járda felé. Amint odaért, a másik irányba kormányoz, és tolat a szemközti járdaszegélyhez. Ezután visszafordítja a kormányt az első kanyargós út irányába, előrehajtva az akadálytól.

Ez az egyszerű geometriai algoritmus a közbenső kanyarokban segít elkerülni a nehéz helyzeteket. (Ha már parkoltál párhuzamosan, akkor tudod, hogy ez az össze-vissza hadonászó mit jelenthet neked.)

Van itt egy szórakoztató matematikai feladat, amely arról szól, hogy mennyi helyre van szüksége az autó megfordításához, és a matematikusok több mint 100 éve dolgoznak az ideális változaton. 1917-ben kezdődött, amikor a japán matematikus, Sōichi Kakeya feltett egy problémát, amely kicsit úgy hangzik, mint a mi forgalmi dugónk. Tegyük fel, hogy van egy végtelenül vékony tűje, amelynek hossza 1. Mekkora területe annak a legkisebb tartománynak, amelyben a tűt 180 fokkal elfordíthatja, és visszaállíthatja eredeti helyzetébe? Ezt Kakeya tűproblémájaként ismerik, és a matematikusok még mindig tanulmányozzák ennek változatait. Vessünk egy pillantást arra az egyszerű geometriára, amely annyira érdekessé és meglepővé teszi Kakeya tűproblémáját.

Mint sok matematikai feladat, ez is tartalmaz néhány egyszerűsítő feltevést, amely kevésbé reális, de jobban kezelhetővé teszi. Például egy autó hossza és szélessége számít vezetés közben, de feltételezzük, hogy a tűnk hossza 1, szélessége pedig nulla. (Ez azt jelenti, hogy magának a tűnek nulla a területe, ami fontos szerepet játszik a probléma megoldásában.) Azt is feltételezzük, hogy a tű, az autóval ellentétben, el tud forogni az elülső, a hátsó vége körül. , vagy bármely pont között.

A cél az, hogy megtaláljuk a legkisebb régiót, amely lehetővé teszi a tű 180 fokos elfordulását. A legkisebb dolog megtalálása, amely megfelel egy bizonyos feltételrendszernek, kihívást jelenthet, de a kezdésnek jó módja annak, hogy keressen bármit, ami megfelel ezeknek a feltételeknek, és meglátja, mit tanulhat az út során. Például egy egyszerű válasz az, ha elforgatja a tűt 180 fokkal a végpontja körül, majd csúsztassa vissza. Ez visszaállítja a tűt az eredeti helyzetébe, de most az ellenkező irányba mutat, ahogy Kakeya tűproblémája megköveteli.

A forduláshoz szükséges tartomány egy 1 sugarú félkör, amelynek területe $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. Tehát találtunk egy működő régiót.

Jobban tehetünk, ha kihasználjuk a varázslatos matematikai tű azon képességét, hogy bármely pont körül forogjon. Ahelyett, hogy a végpontja körül forgatnánk, forgassuk el a felezőpontja körül.

Ezt nevezhetjük Kakeya iránytűjének: a tűnk észak felé mutat, de forgás után ugyanott van, de délre mutat. Ez a terület egy $latex frac{1}{2}$ sugarú kör, ezért területe $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. Ez az első régiónk területének fele, így haladunk előre.

Merre tovább? Meríthetnénk ihletet a vezető nélküli autók dilemmájából, és fontolóra vehetnénk valami hárompontos fordulatot a tűhöz. Ez valójában elég jól működik.

Az ezzel a technikával a tű által kisöpört régiót deltoidnak nevezik, és ez is megfelel Kakeya követelményeinek. Területének kiszámítása többet igényel, mint az itt tárgyalt elemi geometria (a parametrikus görbék ismerete segít), de kiderül, hogy ennek a deltoidnak a területe – amelyet egy 1 hosszúságú vonalszakasz söpört ki – pontosan $latex frac{pi}{8}$. Most van egy még kisebb régiónk, ahol megfordíthatjuk Kakeya tűjét, és megbocsátható, ha azt gondolja, hogy ez a legjobb, amit tehetünk. Kakeya maga gondolta, hogy lehet.

Ám ez a tűprobléma nagy fordulatot vett, amikor az orosz matematikus, Abram Besicovitch felfedezte, hogy Ön végtelenül jobbat csinálhat. Kidolgozott egy eljárást, amellyel elpusztította a régió szükségtelen darabjait, amíg olyan kicsi nem lesz, amennyire csak akarta.

A folyamat technikai és bonyolult, de a Besicovitch ötletén alapuló stratégia két egyszerű ötletre támaszkodik. Először tekintsük az alábbi derékszögű háromszöget, amelynek magassága 1 és alapja 2.

Pillanatnyilag elfelejtjük a tű teljes megfordítását, és csak egy egyszerű tényre koncentrálunk: Ha egy 1 hosszúságú tűt helyezünk a felső csúcsra, akkor a háromszög elég nagy ahhoz, hogy a tű el tudja forgatni a teljes 90-et. fokkal egyik oldalról a másikra.

Mivel a háromszög területe $latex A=frac{1}{2}bh$, ennek a háromszögnek a területe $latex A=frac{1}{2}-szor 2-szer 1 = 1$.

Íme, az első fontos ötlet: Csökkenthetjük a régió területét a 90 fokos elfordulás megőrzése mellett. A stratégia egyszerű: a háromszöget levágjuk a közepén, majd összenyomjuk a két felét.

Az új ábra területének kisebbnek kell lennie az eredetinél, mert a háromszög egyes részei átfedik egymást. Valójában könnyen kiszámítható az ábra területe: ez csak a háromnegyede az 1. oldal négyzetének, tehát a terület $latex A = frac{3}{4}$, ami kisebb, mint az ábra területe. háromszöggel kezdtük.

A tűt továbbra is ugyanabba az irányba irányíthatjuk, mint korábban. Csak egy probléma van: az eredeti szöget két részre osztották, így ezek az irányok most két külön régióra vannak osztva.

Ha a tű az új régió bal oldalán van, akkor 45 fokkal elforgathatjuk dél és délkelet között, ha pedig jobb oldalon, akkor 45 fokkal elforgathatjuk dél és délnyugat között, de mivel a két rész el van választva. , nem úgy tűnik, hogy el tudjuk forgatni a teljes 90 fokkal, mint korábban.

Itt jön be a második fontos ötlet. Van egy alattomos módja annak, hogy a tűt egyik oldalról a másikra vigye, ami nem igényel nagy területet. A sakkban tudhatod, hogy a lovag L alakban mozog. Nos, a tűnk N alakban fog mozogni.

Íme, hogyan történik. Először a tű felcsúszik az N egyik oldalán. Ezután elfordul, hogy az átló mentén mutasson, és lecsúszik. Ezután ismét megfordul, és az É-i út másik oldalán felcsúsztatva fejezi be az utazást.

Ez az N-alakú mozdulat elsőre talán nem tűnik soknak, de valami nagyon hasznosat tesz. Lehetővé teszi, hogy a tű „ugorjon” egyik párhuzamos vonalról a másikra, ami segít nekünk eljuttatni tűnket egyik régióból a másikba. Ennél is fontosabb, hogy ezt anélkül teszi, hogy nagy területet igényelne. Valójában olyan kis területet igényelhet, amennyit csak akar. Íme, miért.

Emlékezzünk vissza, hogy a tűnk szélessége nulla. Tehát minden vonal, amelyen a tű halad előre vagy hátra, nulla területű lesz. Ez azt jelenti, hogy a tű felfelé, lefelé vagy átlósan az N alakzat mentén történő mozgatásához szükséges terület nulla területű darabokból áll.

Ez csak az N alakzat sarkainál hagyja a forgásokat.

Ezek a lépések területet igényelnek. Minden sarkon egy kör kis szektora látható. De itt van a rejtett rész: ezeket a régiókat kisebbre teheti az É-i szakasz meghosszabbításával.

A kör szektorának területének képlete $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$, ahol $latex theta$ a szektor szögének mértéke fokban. Nem számít, milyen magas az N, a szektor sugara mindig 1 lesz: Ez a tű hossza. De ahogy az N magasabb lesz, a szög csökken, ami csökkenti a szektor területét. Így a további területet olyan kicsivé alakíthatja, amennyire csak akarja, ha az É-t annyira kinyújtja, amennyire szüksége van.

Ne feledje, hogy csökkenteni tudtuk a háromszög alakú régiónk területét úgy, hogy kettéosztottuk, és átfedtük a darabokat. A probléma az volt, hogy ez a 90 fokos szöget két különálló részre osztotta, megakadályozva, hogy a tűt teljes 90 fokkal elfordítsuk. Most megoldhatjuk ezt a problémát egy megfelelő N alakzat felragasztásával, hogy biztosítsuk, hogy a tűnek van útvonala egyik oldalról a másikra.

Ebben a frissített régióban a tű továbbra is el tud forgatni a teljes 90 fokkal, mint korábban, ez most két lépcsőben történik. Először a tű 45 fokkal elfordul, és egy vonalba kerül a bal oldali függőleges éllel. Ezután az N alakzat mentén mozog, hogy átjusson a másik oldalra. Ha megvan, szabadon elfordíthatja a másik 45 fokkal.

Ez 90 fokkal elmozdítja a tűt, és ahhoz, hogy továbbra is forogjon, csak elforgatott másolatokat kell hozzáadnia a területről.

A megfelelő N alakzat hozzáadásával a tű egyik háromszög alakú félszigetről a másikra tud ugrani, és apránként forgatja magát, amíg teljesen meg nem fordul, akárcsak egy hárompontos kanyart végrehajtó autó.

Van még ördögi matematika a részletekben, de ez a két ötlet – hogy folyamatosan csökkenthetjük az eredeti régió területét úgy, hogy feldaraboljuk és eltoljuk, miközben biztosítjuk, hogy a tetszőlegesen kicsi N alakzatok segítségével darabról darabra juthassunk – segít nekünk. mozgassa a tűt egy folyamatosan zsugorodó területen, amely végül olyan kicsi lehet, amennyit csak akar.

Az ilyen típusú régiók felépítésének szokásosabb megközelítése egyenlő oldalú háromszögekkel kezdődik, és „Perron fákat” használ, amelyek okos módszerek a háromszögek felszeletelésére, valamint a darabok nyújtására és visszacsúsztatására. Az eredmény egészen lenyűgöző.

Mostanában a matematikusok haladást ért el ennek a régi problémának az új változatairól, amelyek magasabb dimenziókban és különböző méretfogalmakban szerepelnek. Valószínűleg soha nem fogunk látni mesterséges intelligenciával hajtott autót Kakeya tűhegyes kanyarban, de még mindig értékeljük a szinte semmi szépségét és egyszerűségét.

Ünnepély

1. Mekkora területe a legkisebb egyenlő oldalú háromszög, amely Kakeya tűkészletként működik?

2. Kicsit jobban teljesíthetsz, mint az egyenlő oldalú háromszög az 1. gyakorlatban, ha egy „Reuleaux-háromszöget” használsz, amely három egymást átfedő körszektor alkotja. Mekkora a legkisebb működő Reuleaux-háromszög területe?