A teoretikus, aki látja a matematikát a művészetben, a zenében és az írásban | Quanta Magazin

Sarah Hart mindig is figyelt arra, hogy a matematika milyen rejtett módon hat át más területekre. Gyerekként megdöbbentette a 3-as szám mindenütt jelenléte meséiben. Hart matematikatanár édesanyja ösztönözte a mintakeresésre, matematikai rejtvényeket adott neki, hogy elmúljon az idő.

Hart 2000-ben doktorált csoportelméletből, majd a Londoni Egyetem Birkbeck professzora lett. Hart kutatásai a Coxeter-csoportok szerkezetét vizsgálták, a struktúrák általánosabb változatait, amelyek a sokszögek és prizmák szimmetriáját katalogizálják. 2023-ban publikált Once Upon a Prime, egy könyv arról, hogyan jelenik meg a matematika a szépirodalomban és a költészetben. „Mivel mi, emberek részei vagyunk az univerzumnak, teljesen természetes, hogy kreatív kifejezésmódjaink, köztük az irodalom is megnyilvánul a minták és a struktúra iránti hajlam” – írta Hart. „A matematika tehát a kulcs az irodalom egy teljesen más perspektívájához.”

2020 óta Hart a londoni Gresham College geometria professzora. Greshamnek nincsenek hagyományos tanfolyamai; ehelyett professzorai évente több nyilvános előadást tartanak. Hart az első nő, aki valaha is betöltötte azt a 428 éves pozíciót, amelyet a 17. században Isaac Barrow foglalt el, aki egy másik Isaac (Newton) tanításáról híres. Nemrég Roger Penrose matematikus tartotta, aki 2020-ban elnyerte a fizikai Nobel-díjat. Hart beszélt vele Quanta arról, hogy a matematika és a művészet hogyan befolyásolja egymást. Az interjút az egyértelműség kedvéért sűrítettük és szerkesztettük.

Miért döntött úgy, hogy a matematika és az irodalom kapcsolatáról ír könyvet?

Ezek a kapcsolatok kevésbé feltártak és kevésbé ismertek, mint a matematika és mondjuk a zene közötti kapcsolatok. A matematika és a zene kapcsolatát legalább a pitagoreusok óta ünnepelték. Mindazonáltal, bár születtek írások és tudományos kutatások bizonyos könyvekről, szerzőkről vagy műfajokról, nem láttam olyan könyvet, amely általános közönségnek szólna a matematika és az irodalom tágabb összefüggéseiről.

Hogyan gondolkodjanak a művészetekkel foglalkozó emberek a matematikáról?

Nagyon sok közös pont van a matematika és, hogy mondjam, a többi művészet között. Az irodalomban, akárcsak a zenében és a művészetben, soha nem kezd a semmivel. Ha költő vagy, akkor a következőt választod: Lesz-e haikum a nagyon precíz numerikus megszorításokkal, vagy olyan szonettet írok, aminek van egy bizonyos sorszáma, egy bizonyos rímséma, egy bizonyos méter? Még annak is, aminek nincs rímrendszere, lesznek sortörései, ritmusa. Lesznek olyan korlátok, amelyek kreativitásra ösztönöznek, és segítenek összpontosítani.

A matematikában ugyanez a helyzet. Van néhány alapszabályunk. Ezen belül felfedezhetünk, játszhatunk, tételeket bizonyíthatunk. A matematika a művészetért segíthet új struktúrák megtalálásában, megmutatja, milyen lehetőségek rejlenek. Hogyan nézne ki egy olyan zenemű, amelyen nincs kulcsjel? A 12 hangot és azok elrendezését másként is meggondolhatjuk, és itt van az összes módja ennek. Itt vannak különböző színsémák, amelyeket kitalálhat, itt vannak a költői mérő különböző formái.

Mi az egyik példa arra, hogy az irodalom milyen hatással volt a matematikára?

Indiában több ezer évvel ezelőtt a költők a lehetséges mérőórákon próbáltak gondolkodni. A szanszkrit költészetben hosszú és rövid szótagok vannak. A hosszú kétszer olyan hosszú, mint a rövid. Ha azt szeretné kiszámolni, hogy hány olyan van, amelyik háromszoros időtartamot vesz igénybe, választhat rövid, rövid, rövid vagy hosszú, rövid vagy rövid, hosszú. Háromféleképpen lehet hármat elkészíteni. Ötféleképpen lehet négy hosszúságú kifejezést készíteni. És nyolcféleképpen lehet öt hosszúságú kifejezést készíteni. Ez a sorozat olyan, ahol minden tag az előző kettő összege. Pontosan reprodukálja azt, amit manapság Fibonacci-szekvenciának hívunk. De ez évszázadokkal Fibonacci előtt volt.

Mit szólsz a matematikának az irodalomra gyakorolt ​​​​hatásához?

Egy egészen egyszerű sorozat, de nagyon-nagyon erőteljesen működik, ez Eleanor Catton könyve A világítótestek, amely 2013-ban jelent meg. 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16 sorozatot használt. A könyv minden fejezete fele akkora, mint az előző. Ezt az igazán lenyűgöző hatást hozza létre, mert a tempó felgyorsul, és a karakterek választási lehetőségei egyre korlátozottabbak. Minden siet a végkifejlet felé. A végére a fejezetek rendkívül rövidek.

Egy kicsit bonyolultabb matematikai szerkezet másik példája az úgynevezett merőleges latin négyzet. A latin négyzet olyan, mint egy sudoku rács. Ebben az esetben ez egy 10x10-es rács lenne. Minden szám pontosan egyszer jelenik meg minden sorban és minden oszlopban. Az ortogonális latin négyzetek úgy jönnek létre, hogy két latin négyzetet egymásra helyeznek, így minden mezőben van egy számpár. Az egyes párok első számából alkotott rács egy latin négyzet, és az egyes párok második számából alkotott rács is. Továbbá a párok rácsában egyetlen pár sem jelenik meg többször.

Ezek nagyon hasznosak mindenféle szempontból. Hibajavító kódokat készíthetünk belőlük, amelyek hasznosak a zajos csatornákon történő üzenetküldéshez. De az egyik nagyszerű dolog ezekben a 10-es méretekben az, hogy minden idők egyik legnagyobb matematikusa, Leonhard Euler úgy gondolta, hogy nem létezhetnek. Ez azon kevés alkalmak egyike volt, amikor hibázott; ezért volt olyan izgalmas. Jóval azután, hogy feltette ezt a sejtést, miszerint ezek a dolgok bizonyos méreteknél nem létezhetnek, megcáfolták, és ekkora négyzeteket találtak 1959-ben. terjed of Scientific American az az év.

Évekkel ezután egy francia író, Georges Perec olyan szerkezetet keresett, amelyet a könyvéhez használhat Élet: Felhasználói kézikönyv. Ezek közül az ortogonális latin négyzetek közül választott egyet. Könyvét egy párizsi bérházba helyezte, amelyben 100 szoba volt, 10x10 négyzetméteres. Minden fejezet más szobában volt, és minden fejezetnek megvolt a maga egyedi íze. Volt egy listája 10 dologról – különféle anyagok, színek, ilyesmi. Minden fejezet egyedi kombinációt használ. Ez egy igazán lenyűgöző módja a könyv felépítésének.

Egyértelműen értékeled a jó írást. Mi a véleményed a matematikai kutatások írásának minőségéről?

Nagyon változó! Tudom, hogy nagyra értékeljük a rövidséget, de azt hiszem, ez néha túl messzire megy. Túl sok olyan lap van, amelyre nincs hasznos példa.

Amit tulajdonképpen nagyra értékelünk, az egy zseniális érvelés, amely – mivel olyan ügyesen lefedi az összes esetet egyszerre – rövid és elegáns is. Ez nem ugyanaz, mint a hosszú vitát a szükségesnél kisebb helyre összepréselni oly módon, hogy az oldalt rejtett jelekkel borítja be, amelyeket a jelölések rövidebbé tétele érdekében hozott létre, de amelyeket nemcsak az olvasónak, hanem valószínűleg Önnek is fáradságos munkával kell kicsomagolnia. ismét, hogy érthető legyen, mi történik.

Nem foglalkozunk kellőképpen a hasznos jelölésekkel, amelyek emlékeztetik az olvasót, hogy mire gondol. A megfelelő jelöléssel teljesen átalakítható a matematika egy darabja, és teret adhat az általánosításoknak is. Gondoljunk csak arra a történelmi átmenetre, hogy egy ismeretlent írunk, négyzetét és kockáját három különböző betűvel, és mennyivel valószínűbb, sőt lehetséges is, hogy  mikor kezdünk el gondolkodni, mikor kezdünk el írni  és ehelyett.

Látsz evolúciót a matematika és a művészet közötti kapcsolatokban?

Mindig vannak új dolgok. A 1990-es években mindenhol ott voltak a fraktálok. Minden diákszoba falán ott volt a Mandelbrot-készlet képe vagy valami ehhez hasonló. Mindenki azt mondta: "Ó, ez izgalmas, fraktálok." Kapsz például zenészeket, zeneszerzőket, akik fraktálszekvenciákat használnak kompozícióikban.

16 éves koromban megjelentek ezek az új dolgok, az úgynevezett grafikus számológépek. Nagyon izgalmas. És anyám egyik barátja adta nekem ezt a programot, amivel egy Mandelbrot-készletet rajzolhatok az egyik ilyen kis grafikus számológépre. Körülbelül 200 pixeles volt, nem tudom. Beprogramozod ezt a dolgot, aztán 12 órára ott kellett hagynom. Ezt a 200 pontot ábrázolná a végén. Így a '80-as évek végén és a '90-es évek elején még az egyszerű iskolások is foglalkozhattak ezzel, és elkészíthették maguknak ezeket a képeket.

Már iskolás korában is nagyon érdekelt a kemény matematika, úgy hangzik.

 Azt hiszem, már azelőtt is érdekelt, hogy egyáltalán tudtam, hogy ez azt jelenti, hogy matematikus vagyok. Például mindig mintákat készítettem pici, pici gyerek koromból.

Egészen kicsi koromban a kedvenc játékom néhány nagyon egyszerű, fából készült festett csempe volt. Mindenféle színben érkeztek. Mintákat csináltam belőlük, aztán egy-egy napig büszkén nézegettem, aztán csináltam egy másikat.

Amikor egy kicsit idősebb lettem, játszottam a számokkal és néztem mintákat. Anya lenne az, akihez odamennék, és azt mondanám: „Unatkozom”. Aztán azt mondta: "Nos, ki tudod számítani, hogy hány pontból kell egy háromszöget készíteni?" vagy mi volt az. Azt akarta, hogy fedezzem fel újra a háromszög alakú számokat, és nagyon izgatott lennék.

Szegény édesanyám, mennyi csodálatos találmány, amivel anyámhoz mennék. "Egy teljesen új módszert fejlesztettem ki valamire!" És azt mondta: „Rendben, ez nagyon szép. De tudod, Descartes évszázadokkal ezelőtt gondolt erre. És akkor elmennék; Néhány nappal később egy másik csodálatos ötletem támadt. „Ez szép, drágám. De az ókori görögöknél volt ilyen."

Emlékszel valami különösen kielégítő pillanatra matematikai kutatói pályafutásodból?

Azok a pillanatok, amikor végre megérted, mi az a minta, amit látsz, mindig kielégítőek, csakúgy, mint amikor kidolgozod, hogyan fejezhetsz be egy bizonyítást, amivel küzdöttél. A legerősebb emlékeim ezekről az öröm érzéseiről, valószínűleg azért, mert először éreztem őket, kutatói pályafutásom kezdetétől származnak. De még mindig kedves érzés azt az „aha”-t kapni, amikor végre megérted, mi történik.

Nagyon korán próbáltam bizonyítani valamit a végtelen Coxeter-csoportokról. Néhány esetet megoldottam, és a többit megvizsgálva olyan technikát találtam ki, amely akkor működne, ha egy adott kritérium teljesül. Ezeket az összefüggéseket fel lehet írni egy gráfba, ezért elkezdtem összeállítani a grafikonok gyűjteményét, amelyekre az én technikám alkalmazható. Ez egy év karácsonyán volt.

Egy idő után a képkészletem úgy nézett ki, mint egy bizonyos grafikonkészlet, amely az irodámban található Coxeter-csoportokról szóló könyvben volt felsorolva, és kezdtem abban reménykedni, hogy ez a grafikonok pontos halmaza. Ha igen, akkor ez kitöltené a lyukat a bizonyításomban, és a tételem befejeződött. De nem tudtam biztosan ellenőrizni, amíg karácsony után vissza nem mentem az egyetemre – ez még azelőtt történt, hogy mindent a Google-on lehetett volna keresni. Azt hiszem, a várakozás, hogy várnom kell, amíg meg nem erősíti megérzésemet, még jobbá tette, amikor a könyvhöz értem, és összehasonlítottam a kézzel írott diagramkészletemet a könyvben szereplőkkel, és ezek valóban megegyeztek.

Mi a véleményed arról a kérdésről, hogy a matematika létrejött vagy felfedezett? Szinte senki sem vitatná, hogy bármelyik regényíró, akiről a könyvében ír, „felfedezte” regényeit. Ez alapvető különbség a matematika és az irodalom között, vagy sem?

Valószínűleg így van, bár még mindig vannak rezonanciák.

A matematika felfedezésnek tűnik. Ha mi találnánk fel a matematikát, biztosan nem lenne olyan nehéz bizonyítani! Néha kétségbeesetten szeretnénk, hogy valami igaz legyen, pedig nem az. Azt hiszem, nem kerülhetjük el a logika következményeit.

Mindez felfedezésnek tűnik, amikor csinálod. Egyes választási lehetőségek azt tükrözik, amit a valós világban tapasztalunk, mint például a geometria axiómái, amelyekkel dolgozunk, amelyeket azért választunk, mert úgy tűnik, hogy nagyjából ilyen a valóság – bár még ott sem létezik olyan, hogy „pont” vagy „ vonal” (mert nem tudunk olyat rajzolni, ami nem foglal helyet, és a geometriában a vonalnak nincs szélessége, és végtelenül messze van).

Bizonyos mértékig az irodalomban is vannak párhuzamok ezzel a kontinuummal. Miután meghatározta a szonett szabályait, nehéz lesz olyan szonettet írni, amelynek első sora „narancs”-ra vagy „kéményre” végződik.

De nem tudok ellenállni, hogy megosszam valamit J.R.R. Tolkien azt mondta az írásról The Hobbit: „Az egész akkor kezdődött, amikor vizsgadolgozatokat olvastam, hogy egy kis plusz pénzt keressek. … Nos, egy nap egy vizsgakönyv üres oldalához értem, és ráfirkantottam. „Egy lyukban a földben élt egy hobbit.” Ennél többet nem tudtam a lényekről, és évek teltek el, mire a története tovább fejlődött. Nem tudom, honnan jött ez a szó."

Hobbitok – ő teremtette vagy fedezte fel őket?