Geometri Sederhana Yang Memprediksi Mosaik Molekuler | Majalah Quanta

Pada suatu Sabtu sore di musim gugur tahun 2021, Silvio Decurtins sedang membolak-balik kertas dengan judul yang bisa diambil dari buku komik untuk remaja yang cenderung matematis: "Kubus Plato dan Geometri Alami dari Fragmentasi."

Bukan judul yang tidak biasa yang menarik perhatiannya, tetapi gambar di halaman ketiga — pola geologis di setiap skala dari permafrost yang retak hingga lempeng tektonik Bumi. Decurtins, seorang ahli kimia di Universitas Bern, teringat akan materi yang telah dipelajarinya. "Ah! Saya juga punya pola!” dia pikir. "Ini hanya masalah skala."

Pola Decurtins tidak dibentuk oleh retakan di bumi, tetapi oleh molekul: mereka adalah ubin molekul seperti mozaik dalam lembaran yang tebalnya hanya satu molekul. Bahan 2D ini dapat memiliki sifat khusus dan praktis yang bergantung pada bagaimana blok penyusun molekulnya disusun.

Misalnya, mungkin menyusun molekul menjadi pola 2D yang menggunakan elektron sebagai bit komputasi atau untuk menyimpan data. Pola dengan celah dapat berfungsi sebagai membran. Dan pola yang mengandung ion logam bisa menjadi katalis yang kuat.

Dimungkinkan untuk membangun materi 2D ini atom demi atom, tetapi melakukannya mahal, sulit, dan memakan waktu. Begitu banyak ilmuwan, termasuk Decurtins dan rekan-rekannya, ingin merancang material yang merakit sendiri. Memprediksi bagaimana molekul merakit diri menjadi lembaran 2D adalah salah satu tantangan besar ilmu material, kata Johannes Barth, fisikawan di Technical University of Munich.

Itu karena alam belum begitu terbuka dengan filosofi desain molekulernya. Peramalan self-assembly adalah pekerjaan untuk superkomputer, dan program kelas berat yang diperlukan dapat memakan waktu berhari-hari atau berminggu-minggu untuk dijalankan.

Jadi Decurtins menghubungi Gabor Domokos, penulis pertama studi tersebut, seorang ahli matematika di Universitas Teknologi dan Ekonomi Budapest. Decurtins bertanya-tanya apakah geometri yang sama yang menggambarkan bagaimana patahan planet dapat menjelaskan bagaimana molekul berkumpul.

Selama tahun berikutnya, Domokos dan rekan-rekannya menggunakan pemikiran geometris untuk mengungkap aturan perakitan mandiri molekuler — merancang cara baru untuk membatasi mozaik yang dapat dibentuk oleh molekul, hanya dengan menggunakan geometri sederhana dari tesselasi.

“Awalnya, mereka tidak percaya Anda bisa melakukannya,” kata Domokos. “Mereka melakukan kecerdasan buatan, superkomputer, dan semua musik jazz semacam ini. Dan sekarang mereka hanya melihat formula. Dan ini sangat menenangkan.”

Dari Planet ke Atom

 Setelah Decurtins menghubungi, Domokos mencoba menjual idenya Krisztina Regős, mahasiswa pascasarjananya. Decurtins telah mengirim beberapa gambar yang menggambarkan pola pada skala atom — susunan molekul yang telah dirancang dan disintesis oleh rekannya. Shi-Xia Liu - dilihat melalui mata mikroskop yang kuat. Domokos ingin melihat apakah Regős dapat menggunakan geometri yang awalnya dia kembangkan untuk mendeskripsikan rekahan geologis untuk mengkarakterisasi pola pada gambar Decurtins.

Untuk memulai, Regős memperlakukan bahan 2D sebagai teselasi poligonal sederhana — pola yang cocok satu sama lain tanpa celah dan berulang tanpa batas. Kemudian, mengikuti pendekatan Domokos, dia menghitung dua angka untuk setiap pola. Yang pertama adalah jumlah rata-rata simpul, atau sudut, per poligon. Yang kedua adalah jumlah rata-rata poligon yang mengelilingi setiap simpul.

Bersama-sama, kedua nilai rata-rata itu seperti pola koordinat GPS. Mereka memberikan lokasinya dalam lanskap dari semua kemungkinan tesselasi.

Pemandangan ini disebut bidang simbolik. Ini adalah kisi 2D sederhana dengan jumlah rata-rata bentuk per simpul di x-sumbu dan jumlah rata-rata simpul per bentuk pada y-sumbu. Setiap teselasi harus diplot tepat ke satu titik di dalam bidang. Sebuah pola sarang lebah yang sempurna, misalnya, adalah sebuah teselasi dari segi enam berujung enam yang bertemu dalam trio di setiap simpul — sebuah titik di (3, 6) dalam bidang simbolik.

Tetapi sebagian besar mozaik alami, mulai dari retakan batu hingga molekul monolayer, bukanlah teselasi periodik yang sempurna.

Misalnya, sel-sel sarang lebah lilin asli tidak semuanya berbentuk segi enam sempurna. Lebah membuat kesalahan. Tapi meskipun berantakan, sarang lebah tetap saja, rata-rata, sarang lebah. Dan rata-rata masih memplot ke titik di (3, 6) di bidang simbolik. Alih-alih penyederhanaan yang berlebihan, metode penghitungan rata-rata Domokos sangat berwawasan luas, kata ahli matematika itu Marjorie Senechal dari Smith College, yang mengulas studi baru. Dengan membuang kesalahan dan memperlakukan pola sebagai rata-rata, ini mengungkapkan semacam realitas ideal yang biasanya terkubur di bawah tumpukan kebetulan.

Tapi ketika Regős mencoba menerapkan metode ini pada gambar molekuler Decurtins, dia segera mendapat masalah. “Saya mulai menempatkannya di bidang simbolis,” katanya, “dan kemudian saya menyadari bahwa saya tidak bisa.”

Masalahnya adalah skala. Berbeda dengan pola geologis yang pernah dikerjakan Domokos sebelumnya, mozaik molekuler sebenarnya adalah pola di dalam pola. Dilihat pada perbesaran yang berbeda, mereka memiliki geometri yang berbeda. Regős tidak dapat mendeskripsikan mozaik molekuler dengan sepasang nilai tunggal karena pola tersebut memplot titik yang berbeda pada bidang simbolis, bergantung pada perbesaran gambar. Ini seperti memperbesar ubin heksagonal dan menemukan bahwa blok bangunan dasarnya benar-benar segitiga.

“Jadi Kriszti berkata: Oke, ini berantakan,” kata Domokos.

Kemudian dia menemukan cara merapikan mozaik. Alih-alih memaksakan pola bersarang materi menjadi sepasang rata-rata, dia memecahnya menjadi tiga tingkat organisasi, masing-masing diwakili oleh titiknya sendiri pada bidang simbolik.

Pada tingkat terendah, atom-atom dalam setiap molekul bergabung membentuk poligon. Molekul-molekul itu kemudian terhubung satu sama lain melalui ikatan hidrogen, menciptakan tesselasi poligon. Akhirnya, pada tingkat yang paling diperbesar, molekul individual menyusut menjadi titik-titik, dan titik-titik itu terhubung untuk membentuk sebuah mozaik.

Dalam kerangka kerja baru Regős, setiap level direpresentasikan sebagai titik dan garis sederhana — sebuah grafik.

Menggunakan teori grafik untuk menggambarkan pola molekuler “sangat kuat,” kata Carlos-Andres Palma, seorang fisikawan kimia di Chinese Academy of Sciences dan Humboldt University of Berlin. Secara tradisional, para ilmuwan mengklasifikasikan pola berdasarkan simetrinya. Tapi itu tidak mencerminkan kekacauan realitas - nanomaterial nyata jarang periodik atau simetris sempurna, kata Palma. Jadi, mengurangi pola molekuler menjadi grafik yang sederhana dan fleksibel "memungkinkan kita untuk berkomunikasi dengan alam, menurut pendapat saya, jauh lebih baik," katanya.

Memprediksi Pola

Regős dan Domokos sekarang memiliki cara untuk menggambarkan mosaik molekuler Decurtins, sebuah langkah kunci untuk memprediksi bagaimana molekul dapat menyusun diri.

"Kami benar-benar sangat buruk dalam memprediksi," kata Ulrich Aschauer, seorang ahli fisika komputasi di University of Salzburg yang mengerjakan perakitan sendiri.

Secara tradisional, para ilmuwan menggunakan berbagai metode untuk memprediksi bagaimana molekul akan menyusun diri. Aschauer mensimulasikan bagaimana molekul berinteraksi di permukaan. Kemudian dia mengidentifikasi pola yang membutuhkan energi paling sedikit untuk terbentuk, yang seharusnya paling mungkin muncul. Ilmuwan lain menyaring sejumlah besar pola yang dibuat secara acak, atau mereka melatih algoritme pembelajaran mesin untuk memperkirakan perakitan mandiri. Semua metode ini mahal secara komputasi - Palma ingat bagaimana seorang kolega pernah mensimulasikan molekul air selama bertahun-tahun, hanya untuk membuat satu prediksi tentang bagaimana air berkumpul sendiri. Algoritme pembelajaran mesin juga memiliki kelemahan; mereka hanya mempelajari apa yang Anda berikan kepada mereka, kata Aschauer. Dan tidak mungkin memeriksa setiap pola yang mungkin, sehingga para ilmuwan sering kali harus menebak mana yang layak dipertimbangkan terlebih dahulu.

“Tebakan awal kami menentukan hal terakhir yang kami temukan,” jelas Aschauer. "Dan itu masalah besar karena jika saya tidak memiliki intuisi yang tepat sejak awal, saya akan berakhir dengan kesalahan."

Tetapi geometri Regős dan Domokos bersifat agnostik. Itu hanya memperlakukan molekul sebagai titik dan ikatan sebagai garis. Itu tidak membutuhkan tebakan awal.

Setelah bertemu langsung dengan Aschauer dan Decurtins di Swiss, para matematikawan itu akhirnya beralih ke bisnis yang berantakan untuk mencoba memprediksi pola daripada sekadar mendeskripsikannya.

Gömböcs dan Jembatan

Seperti yang ada, sistem Regős dapat membatasi organisasi tingkat menengah suatu pola, di mana molekul adalah poligon dan ikatan hidrogen adalah garis. Tapi dia tidak bisa bekerja ke atas dari ubin molekul untuk memprediksi mosaik skala besar. Tanpa sesuatu yang menghubungkan ketiga level secara matematis, modelnya seperti tangga dengan anak tangga yang hilang.

Domokos memutuskan untuk memeriksanya Kostya Novoselov — seorang fisikawan di National University of Singapore yang berbagi hadiah Nobel untuk mensintesis graphene, mungkin bahan 2D paling terkenal dari semuanya. Keduanya bertemu secara tidak sengaja awal tahun itu, setelah Novoselov memesan sejumlah besar Gömböcs, bentuk geometris baru yang ditemukan Domokos, dari sebuah toko di Budapest.

Dengan masukan Novoselov, Domokos dan Regős menyempurnakan model geometris mereka. Sampai saat itu, mereka hanya menggunakan tiga tingkat organisasi: molekul, pola skala menengah, dan pola skala besar. Novoselov menyarankan untuk menambahkan tingkat keempat — jembatan antara tingkat menengah dan besar. Persamaan yang menggambarkan jembatan ini menghubungkan geometri tingkat terkecil dan menengah dengan tingkat terbesar, mozaik molekuler.

Dengan jembatan terpasang, tim sekarang dapat mengambil ubin molekuler dan bekerja ke atas untuk membatasi potensi pola berskala besar menggunakan sistem sederhana dari lima persamaan dan ketidaksetaraan aljabar yang dapat ditampung di bagian belakang amplop. Dalam pernyataan matematis ini, variabelnya adalah koordinat pola pada bidang simbolik, ditambah beberapa istilah yang menggambarkan struktur molekul. Secara keseluruhan, sistem menghubungkan setiap tingkat organisasi satu sama lain, dan dengan koordinat pola pada bidang simbolik.

Diplot pada bidang simbolis, kemungkinan pengaturan skala besar molekul jatuh pada potongan kecil kurva yang menentukan semua kemungkinan pola molekuler 2D yang mengisi ruang. Para peneliti sekarang dapat menggunakan molekul awal untuk membatasi irisan itu.

Tapi mereka belum yakin bahwa "irisan" kemungkinan pola mereka cukup kecil. Jika terlalu lebar, itu tidak akan menjadi kendala yang sangat berguna. Ketika Liu memplot struktur es air 2D pada bidang simbolis, dia menemukan bahwa mereka jatuh dengan sempurna di ujung ekstrim dari kisaran prediksi metode tersebut. Batas tidak dapat ditingkatkan.

“Ini adalah bahasa alam di sini,” kata Domokos. "Itu adalah kejutan besar bagi saya."

Pertumbuhan dan Bentuk

Menjelang akhir proyek, pada Mei 2022, orang Hongaria kembali melakukan perjalanan ke Swiss. Kali ini, rekan-rekan mereka mengejutkan mereka dengan kunjungan ke mikroskop yang telah menghasilkan gambar yang telah mereka kerjakan — dan saat itulah Regős dan Domokos akhirnya menyadari apa yang telah mereka lakukan: Dengan secara matematis menghubungkan mosaik berskala besar dengan ikatan molekuler. pada skala yang jauh lebih kecil, mereka telah menangkap sesuatu dari jalinan interaksi tak kasat mata yang pada akhirnya menentukan bagaimana pola molekuler terbentuk. Geometri mereka dapat "melihat" hal-hal yang tidak dapat dilakukan oleh mesin.

“Itu tidak bisa dipercaya,” kata Regős. "Kami pergi ke ruang bawah tanah dan melihat bahwa mereka berada di batas sains kami."

Menggunakan mikroskop untuk memahami pola rakitan sendiri, kata Novoselov, seperti mencoba memahami rumput dengan memotretnya dari atas. Foto-foto itu bercerita banyak tentang rumput, “tapi jelas bukan segalanya,” katanya. Mereka mengungkapkan sedikit tentang akar rumput atau bagaimana ia tumbuh. Kerangka kerja Domokos dan Regős tidak dapat melihat akar dengan sempurna, tetapi ia menawarkan cara yang sama sekali baru untuk membuat sketsanya, dengan menghubungkan blok penyusun molekul pola ke mozaik akhirnya.

“Mereka melanjutkan tradisi lama yang luar biasa dalam mempelajari hubungan antara pertumbuhan dan bentuk,” kata Senechal, “yang sangat penting untuk memahami apa pun di dunia sekitar kita.”

Self-assembly molekul sering dimulai dengan sepetak kecil material yang tumbuh menjadi pola yang lebih besar. Namun, kerangka matematis baru mengasumsikan pola tak terbatas, bukan tambalan terbatas. Mengadaptasi pekerjaan untuk menggambarkan bagaimana tambalan yang terbatas tumbuh menjadi pola yang lebih besar bisa menjadi langkah menuju prediksi yang sebenarnya, kata Palma. Aschauer mengatakan dia berencana untuk menggunakan geometri sebagai panduan untuk jalan buntu dan sudut yang menjanjikan tetapi belum dijelajahi dalam lanskap pola yang mungkin. Dan menggunakan bahasa matematika dari bidang simbolik untuk melatih model pembelajaran mesin bisa jadi mengasyikkan, tambahnya.

“Saya sangat tertarik dengan keindahannya,” kata Novoselov. “Dengan sangat sedikit — hanya pendekatan matematika dasar, yang benar-benar geometri murni, hanya grafik dalam 2D ​​— Anda dapat memprediksi begitu banyak hal.”

Perhitungannya sederhana, kata Senechal. Tapi "untuk melihat kesederhanaan," tambahnya, "membutuhkan banyak kecanggihan."