Matematika Misterius Meja Biliar | Majalah Kuanta

Dalam film Disney tahun 1959 Donald di Negeri Ajaib Matematika, Donald Duck, terinspirasi oleh deskripsi narator tentang geometri biliar, dengan penuh semangat memukul bola isyarat, mengirimkannya memantul ke sekeliling meja sebelum akhirnya mengenai bola yang dituju. Donald bertanya, “Bagaimana Anda menyukainya untuk matematika?”

Karena meja biliar persegi panjang memiliki empat dinding yang bertemu pada sudut kanan, lintasan biliar seperti Donald dapat diprediksi dan dipahami dengan baik — meskipun sulit untuk diterapkan dalam praktik. Namun, para ahli matematika riset masih belum bisa menjawab pertanyaan dasar tentang kemungkinan lintasan bola bilyar di atas meja berbentuk poligon lain (bentuk dengan sisi datar). Bahkan segitiga, poligon paling sederhana, masih menyimpan misteri.

Apakah selalu mungkin untuk memukul bola sehingga kembali ke titik awalnya dan bergerak ke arah yang sama, sehingga menciptakan apa yang disebut orbit periodik? Tidak ada yang tahu. Untuk bentuk lain yang lebih rumit, tidak diketahui apakah mungkin untuk memukul bola dari titik mana pun di meja ke titik lain di meja.

Meskipun pertanyaan-pertanyaan ini tampaknya cocok dengan batasan geometri seperti yang diajarkan di sekolah menengah, upaya untuk menyelesaikannya memerlukan beberapa ahli matematika terkemuka di dunia untuk membawa ide-ide dari berbagai bidang termasuk sistem dinamik, topologi, dan geometri diferensial. Seperti halnya soal-soal matematika besar lainnya, mengerjakan soal-soal ini telah menciptakan matematika baru dan memberi masukan serta pengetahuan lanjutan di bidang-bidang lainnya. Namun terlepas dari semua upaya ini, dan wawasan yang telah dihasilkan oleh komputer modern, masalah-masalah yang tampaknya sederhana ini tetap saja menolak untuk diselesaikan.

Inilah yang dipelajari para matematikawan tentang biliar sejak pukulan Donald Duck yang sangat rumit.

Mereka biasanya berasumsi bahwa bola bilyar mereka adalah sebuah titik yang sangat kecil, tak berdimensi, dan memantul ke dinding dengan simetri sempurna, bergerak dengan sudut yang sama saat tiba, seperti terlihat di bawah.

Tanpa gesekan, bola bergerak tanpa batas waktu kecuali mencapai sudut, yang menghentikan bola seperti kantong. Alasan mengapa permainan biliar sangat sulit untuk dianalisis secara matematis adalah karena dua pukulan yang hampir identik yang mendarat di kedua sisi sudut dapat memiliki lintasan yang sangat berbeda.

Metode utama untuk menganalisis biliar poligonal bukanlah dengan membayangkan bola memantul dari tepi meja, melainkan membayangkan bahwa setiap kali bola membentur dinding, bola tersebut terus bergerak menuju salinan meja baru yang dibalik. tepi, menghasilkan gambar cermin. Proses ini (lihat di bawah), yang disebut pembukaan jalur bilyar, memungkinkan bola terus bergerak dalam lintasan garis lurus. Dengan melipat meja yang dibayangkan kembali ke meja tetangganya, Anda dapat memulihkan lintasan bola yang sebenarnya. Trik matematis ini memungkinkan untuk membuktikan hal-hal tentang lintasan yang mungkin sulit dilihat.

Misalnya, tabel ini dapat digunakan untuk menunjukkan mengapa tabel persegi panjang sederhana memiliki banyak lintasan periodik yang tak terhingga banyaknya melalui setiap titik. Argumen serupa berlaku untuk persegi panjang apa pun, tetapi agar lebih konkrit, bayangkan sebuah meja yang lebarnya dua kali panjangnya.

Misalkan Anda ingin mencari orbit periodik yang melintasi tabel n kali dalam arah panjang dan m kali dalam arah pendek. Karena setiap bayangan cermin persegi panjang berhubungan dengan bola yang memantul dari dinding, agar bola kembali ke titik awalnya dan bergerak ke arah yang sama, lintasannya harus melintasi meja beberapa kali di kedua arah. Jadi m dan n harus genap. Buatlah kisi-kisi persegi panjang yang identik, masing-masing dipandang sebagai bayangan cermin dari tetangganya. Gambarlah ruas garis dari suatu titik pada tabel asli ke titik yang sama pada salinan n meja menjauh ke arah yang panjang dan m meja menjauh ke arah yang pendek. Sesuaikan sedikit titik awal jika jalur melewati sudut. Berikut ini contohnya n = 2 dan m = 6. Jika dilipat kembali, jalur tersebut menghasilkan lintasan periodik, seperti yang ditunjukkan pada persegi panjang hijau.

Ketimpangan Segitiga

Biliar dalam segitiga, yang tidak memiliki geometri persegi panjang yang bagus, lebih rumit. Seperti yang mungkin Anda ingat dari geometri sekolah menengah, ada beberapa jenis segitiga: segitiga lancip, yang ketiga sudut dalamnya kurang dari 90 derajat; segitiga siku-siku yang sudutnya 90 derajat; dan segitiga tumpul yang salah satu sudutnya lebih dari 90 derajat.

Meja billiard yang berbentuk segitiga lancip dan siku-siku memiliki lintasan yang periodik. Namun tidak ada yang tahu apakah hal yang sama juga berlaku untuk segitiga tumpul.

Untuk mencari lintasan periodik pada segitiga lancip, tarik garis tegak lurus dari setiap titik sudut ke sisi yang berlawanan, seperti terlihat di kiri bawah. Gabungkan titik-titik yang membentuk sudut siku-siku sehingga membentuk segitiga, seperti terlihat di sebelah kanan.

Segitiga bertulis ini merupakan lintasan bilyar periodik yang disebut orbit Fagnano, dinamai menurut Giovanni Fagnano, yang pada tahun 1775 menunjukkan bahwa segitiga ini mempunyai keliling terkecil dari semua segitiga bertulis.

Pada awal 1990-an, Fred Holt di Universitas Washington dan Gregory Galperin dan kolaboratornya di Universitas Negeri Moskow secara mandiri menunjukkan bahwa setiap segitiga siku-siku mempunyai orbit periodik. Salah satu cara sederhana untuk menunjukkan hal ini adalah dengan merefleksikan segitiga pada satu kaki dan kaki lainnya, seperti yang ditunjukkan di bawah ini.

Mulailah dengan lintasan yang tegak lurus terhadap sisi miring (sisi panjang segitiga). Sisi miring dan pantulan keduanya sejajar, sehingga ruas garis tegak lurus yang menghubungkan keduanya sesuai dengan lintasan yang akan memantul maju mundur selamanya: Bola meninggalkan sisi miring pada sudut siku-siku, memantul pada kedua kaki, dan kembali ke sisi miring di kanan sudut, dan kemudian menelusuri kembali rutenya.

Namun segitiga tumpul tetap menjadi misteri. Dalam makalah mereka tahun 1992, Galperin dan kolaboratornya menemukan berbagai metode untuk merefleksikan segitiga tumpul sedemikian rupa sehingga Anda dapat membuat orbit periodik, namun metode tersebut hanya berfungsi untuk beberapa kasus khusus. Kemudian, pada tahun 2008, Richard Schwartz di Brown University menunjukkan bahwa semua segitiga tumpul dengan sudut 100 derajat atau kurang mengandung lintasan periodik. Pendekatannya melibatkan pemecahan masalah menjadi beberapa kasus dan memverifikasi setiap kasus menggunakan matematika tradisional dan bantuan komputer. Pada tahun 2018, Jacob Garber, Boyan Marinov, Kenneth Moore dan George Tokarsky di Universitas Alberta memperpanjang ambang batas ini hingga 112.3 derajat. (Tokarsky dan Marinov telah menghabiskan lebih dari satu dekade mengejar tujuan ini.)

Pergantian Topologi

Pendekatan lain telah digunakan untuk menunjukkan bahwa jika semua sudutnya rasional — yaitu, dapat dinyatakan sebagai pecahan — segitiga tumpul dengan sudut yang lebih besar harus mempunyai lintasan periodik. Daripada hanya menyalin poligon pada bidang datar, pendekatan ini memetakan salinan poligon ke permukaan topologi, berbentuk donat dengan satu atau lebih lubang di dalamnya.

Jika Anda merefleksikan sebuah persegi panjang pada sisi pendeknya, lalu merefleksikan kedua persegi panjang tersebut pada sisi terpanjangnya, membuat empat versi persegi panjang aslinya, lalu merekatkan bagian atas dan bawah serta kiri dan kanan menjadi satu, Anda akan membuat donat, atau torus, seperti gambar di bawah ini. Lintasan biliar di atas meja sesuai dengan lintasan di torus, dan sebaliknya.

Dalam sebuah artikel penting tahun 1986, Howard Masur menggunakan teknik ini untuk menunjukkan bahwa semua tabel poligonal dengan sudut rasional memiliki orbit periodik. Pendekatannya berhasil tidak hanya untuk segitiga tumpul, namun juga untuk bentuk yang jauh lebih rumit: tabel bersisi 100 tak beraturan, misalnya, atau poligon yang dindingnya zig dan zag membentuk sudut dan celah, memiliki orbit periodik, asalkan sudutnya rasional.

Yang cukup mengherankan, keberadaan satu orbit periodik dalam sebuah poligon menyiratkan keberadaan orbit yang jumlahnya tak terhingga; menggeser lintasannya sedikit saja akan menghasilkan rangkaian lintasan periodik yang terkait.

Masalah Penerangan

Bentuk dengan sudut dan celah menimbulkan pertanyaan terkait. Daripada menanyakan tentang lintasan yang kembali ke titik awalnya, permasalahan ini menanyakan apakah lintasan dapat mengunjungi setiap titik pada tabel tertentu. Hal ini disebut masalah iluminasi karena kita dapat memikirkannya dengan membayangkan sinar laser dipantulkan dari cermin dinding yang mengelilingi meja biliar. Kami bertanya apakah, dengan adanya dua titik pada tabel tertentu, Anda selalu dapat menyinari laser (diidealkan sebagai sinar cahaya yang sangat tipis) dari satu titik ke titik lainnya. Dengan kata lain, jika kita meletakkan bola lampu, yang bersinar ke segala arah sekaligus, pada suatu titik di atas meja, apakah bola lampu tersebut akan menerangi seluruh ruangan?

Ada dua jalur utama penelitian terhadap masalah ini: menemukan bentuk-bentuk yang tidak dapat disinari dan membuktikan bahwa sejumlah besar bentuk dapat diterangi. Meskipun menemukan bentuk-bentuk aneh yang tidak dapat diterangi dapat dilakukan melalui penerapan matematika sederhana yang cerdas, pembuktian bahwa banyak bentuk dapat diterangi hanya dapat dilakukan melalui penggunaan mesin matematika yang berat.

Dalam 1958, Roger Penrose, seorang ahli matematika yang kemudian memenangkan Hadiah Nobel 2020 dalam Fisika, menemukan sebuah meja melengkung yang titik mana pun di satu wilayah tidak dapat menerangi titik mana pun di wilayah lain. Selama berpuluh-puluh tahun, tak seorang pun mampu menemukan poligon yang memiliki properti yang sama. Namun pada tahun 1995, Tokarsky menggunakan fakta sederhana tentang segitiga untuk membuat poligon bersisi 26 kotak dengan dua titik yang tidak dapat diakses satu sama lain, seperti yang ditunjukkan di bawah ini. Artinya, sinar laser yang ditembakkan dari satu titik, apapun arahnya, tidak dapat mengenai titik lainnya.

Ide utama yang digunakan Tokarsky saat membuat tabel khususnya adalah jika sinar laser dimulai pada salah satu sudut lancip dalam segitiga 45°-45°-90°, maka sinar tersebut tidak akan pernah kembali ke sudut tersebut.

Meja bergeriginya terbuat dari 29 segitiga, disusun untuk memanfaatkan fakta ini dengan cerdik. Pada tahun 2019 Amit Wolecki, yang saat itu menjadi mahasiswa pascasarjana di Universitas Tel Aviv, menerapkan teknik yang sama menghasilkan suatu bentuk dengan 22 sisi (ditunjukkan di bawah), yang ia buktikan merupakan jumlah sisi terkecil yang mungkin untuk sebuah bangun datar yang mempunyai dua titik dalam yang tidak saling menerangi.

Membuktikan hasil ke arah lain jauh lebih sulit. Pada tahun 2014, Maryam Mirzakhani, seorang ahli matematika di Universitas Stanford, menjadi wanita pertama yang memenangkan medali Fields, penghargaan matematika paling bergengsi, atas karyanya pada ruang moduli permukaan Riemann — semacam generalisasi donat yang digunakan Masur untuk menunjukkan bahwa semua tabel poligonal dengan sudut rasional memiliki orbit periodik. Pada tahun 2016, Samuel Lelievre dari Universitas Paris-Saclay, Thierry Monteil dari Pusat Penelitian Ilmiah Nasional Perancis dan Barak Weiss Universitas Tel Aviv menerapkan sejumlah hasil Mirzakhani memperlihatkan bahwa setiap titik dalam poligon rasional menerangi semua titik kecuali banyak titik. Mungkin terdapat bintik-bintik gelap yang terisolasi (seperti pada contoh Tokarsky dan Wolecki) namun tidak ada daerah gelap seperti pada contoh Penrose, yang memiliki dinding melengkung dan bukan dinding lurus. Di dalam Artikel Wolecki tahun 2019, ia memperkuat hasil ini dengan membuktikan bahwa hanya terdapat banyak pasangan titik yang tidak dapat diterangi.

Sayangnya, Mirzakhani meninggal pada tahun 2017 pada usia 40 tahun, setelah berjuang melawan kanker. Karyanya nampaknya jauh dari tembakan tipuan di ruang biliar. Namun menganalisis lintasan biliar menunjukkan bagaimana matematika paling abstrak sekalipun dapat terhubung dengan dunia tempat kita tinggal.