Introduzione
Il segreto per correggere un difetto fatale nel cuore della teoria quantistica potrebbe risiedere in tre oscuri libri di testo degli anni '1980. Ma i fisici possono essere perdonati per aver trascurato le idee potenzialmente trasformative all'interno, poiché i volumi appaiono allo stesso tempo amatoriali e intimidatori.
Le poche copie fisiche che esistono dell'opus magnum di Jean Écalle sembrano poco più che fotocopie glorificate. Simboli matematici sovradimensionati scarabocchiati con inchiostro nero spesso interrompono le frasi ben digitate. Il testo è scritto anche in francese, un inconveniente per i ricercatori nel mondo anglofono.
La stessa matematica pone un'altra barriera. Le 1,110 pagine della trilogia sono piene di oggetti matematici originali e monete bizzarre. Abbondano termini dal suono strano come “trans-serie”, “germi analizzabili”, “derivazioni aliene” e “accelero-sommatoria”.
"Se dai un'occhiata a questo per la prima volta e non lo leggi molto attentamente, potresti pensare che sia un pazzo a scrivere cose folli", ha detto Marco Marino, un fisico matematico dell'Università di Ginevra che tiene quelli che chiama i "documenti storici" nella sua libreria e utilizza quotidianamente gli strumenti sviluppati da Écalle. “Certo che non lo è. È uno di questi matematici visionari.
La sua matematica visionaria potrebbe essere proprio ciò che serve per superare un profondo imbarazzo concettuale, che i fisici hanno più o meno ignorato negli ultimi 70 anni. In quel periodo, i fisici hanno imparato a fare previsioni incredibilmente accurate sul mondo subatomico. Ma queste previsioni, per quanto precise possano essere, sono approssimazioni. Se si cerca la precisione assoluta, la teoria quantistica dei libri di testo fallisce e fornisce infinite risposte: risultati senza senso che molti fisici considerano spazzatura matematica.
Studiando i libri di testo vintage di Écalle, i fisici stanno arrivando a sospettare che queste risposte infinite contengano innumerevoli tesori e che, con uno sforzo sufficiente, gli strumenti matematici da lui sviluppati dovrebbero consentire loro di prendere qualsiasi infinito e di trovare una risposta finita e impeccabile a qualsiasi domanda quantistica.
"In effetti, funziona molto bene" in molti casi, ha detto Marco Serone, un fisico che studia questa strategia, che va sotto il nome di "rinascita". "Ad un certo punto questo processo finisce e ciò che hai davanti agli occhi è la soluzione esatta al tuo problema originale."
La comunità di rinascita è piccola ma ha compiuto progressi costanti nel corso degli anni. Una proto-versione della tecnica ha ottenuto risultati esatti nella meccanica quantistica, che si limita al comportamento delle particelle. E incarnazioni più sofisticate hanno permesso ad alcuni fisici di avventurarsi ulteriormente nelle acque torbide della teoria quantistica dei campi e, recentemente, della teoria delle stringhe. Ma questo è solo l'inizio dei grandi sogni nutriti dai praticanti della rinascita. Mirano niente di meno che a un nuovo modo di pensare agli infiniti nelle teorie fisiche, uno che si adatti meglio al nostro mondo finito in teoria e, forse, anche in pratica.
Possibilità che esplodono
La teoria quantistica dei campi - l'idea che le particelle come gli elettroni siano in realtà increspature sostenute in un campo quantistico sottostante - costrinse i fisici del dopoguerra ad affrontare l'infinito a testa alta.
Questi campi quantistici sono bestie inimmaginabilmente complicate, con increspature transitorie e onde coerenti che agitano lo spazio apparentemente vuoto. Queste increspature passeggere possono, in linea di principio, apparire in qualsiasi momento, in qualsiasi numero e con qualsiasi energia, sfidando i fisici a spiegare una serie infinita di mescolanze subatomiche per comprendere il risultato preciso anche di semplici esperimenti.
Negli anni '1940, Shin'ichirō Tomonaga, Julian Schwinger e Richard Feynman hanno tutti elaborato modi equivalenti per ottenere risposte finite dall'infinita complessità del campo elettromagnetico quantistico. Meglio conosciuto oggi nella presentazione di Feynman, il calcolo ha assunto la forma di una stringa infinita di "Diagrammi di Feynman” che rappresenta una sfilata di possibilità quantistiche sempre più bizantine. Si inizia con il diagramma dell'evento più semplice possibile - un elettrone che si muove nello spazio, diciamo - e si calcolano alcune proprietà misurabili, come la quantità di oscillazioni dell'elettrone in un campo magnetico. Quindi aggiungi il risultato di uno scenario più complicato, come l'elettrone che espelle brevemente e poi riassorbe un fotone al volo. Quindi aggiungi un dramma subatomico che coinvolge due increspature transitorie, poi tre e così via, in una tecnica matematica ampiamente utilizzata nota come teoria della perturbazione.
Introduzione
Sulla carta, il calcolo di questa proprietà crea una “serie di potenze” infinita: un'equazione che implica un certo valore critico, che chiameremo x, poi x quadrato, x al cubo, e poteri sempre più alti di x, tutti moltiplicati per diversi coefficienti:
F(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + a1,000,000x1,000,000 +….
Per il campo elettromagnetico, il valore di x è un costante cardine della natura, alfa, che è vicino a 1/137. È un numero piccolo che si addice alla relativa debolezza della forza, e l'aumento di questo piccolo numero a potenze maggiori fa restringere rapidamente i termini.
I diagrammi di Feynman danno ai fisici i coefficienti per ciascun termine: il a's - quali sono le parti difficili da calcolare. Prendi il calcolo del "fattore g" dell'elettrone, un numero correlato al modo in cui la particella oscilla in un campo magnetico. Il diagramma di Feynman più semplice ti dà a0, che è esattamente uguale a 2. Ma se consideri un diagramma di Feynman leggermente più complicato, quello in cui compare la prima increspatura temporanea, devi calcolare il a1 termine, ed è qui che l'infinito alza la testa. Tomonaga, Schwinger e Feynman hanno escogitato un modo per rendere finito questo termine. Il loro calcolo di circa 2.002 per il fattore g dell'elettrone corrispondeva alle misurazioni sperimentali di quella generazione, dimostrò che la teoria quantistica dei campi poteva avere un senso e valse a loro tre il Premio Nobel per la fisica nel 1965.
Il loro approccio ha anche lanciato una nuova era, quella in cui i fisici dovevano scalare montagne sempre più alte dei diagrammi di Feynman per calcolare più a'S. Quelle montagne diventano ripide e veloci. Nel 2017, un fisico ha concluso un ventennio lavoro d'amore, un calcolo preciso del fattore g dell'elettrone che richiedeva il calcolo di equazioni pelose da 891 diagrammi di Feynman. Il risultato ha rivelato solo il quinto termine della serie.
I diagrammi di Feynman rimangono di fondamentale importanza nella fisica moderna. Una raccolta di calcoli simili ma ancora più complicati per il muone, il corpulento cugino dell'elettrone, fatto notizia nel 2021. Un esperimento ha rivelato una discrepanza di un ottavo decimale rispetto alle previsioni teoriche. La modesta anomalia rappresenta una delle migliori speranze per vedere cosa c'è oltre l'imponente edificio che è cresciuto dal lavoro di Feynman e dei suoi colleghi.
Ma questa serie di vittorie sperimentali ha nascosto il fatto che, in fondo, questo modo di affrontare la teoria quantistica dei campi non funziona affatto.
La caduta dei diagrammi di Feynman
Freeman Dyson, un altro pioniere del dopoguerra, fu il primo fisico a comprendere che la teoria quantistica perturbativa era probabilmente condannata. L'anno era il 1952 e mentre altri celebravano il fatto che i primi due termini della serie di potere di Feynman potessero essere ridotti e finiti, Dyson era preoccupato per il resto della serie.
I fisici speravano ingenuamente che la trattazione del campo elettromagnetico con il diagramma di Feynman si sarebbe rivelata ciò che i matematici chiamano "convergente". In una serie convergente, ogni termine successivo è molto più piccolo del termine precedente, e più termini ci sono, più la somma converge ad un unico numero finito. Al contrario, una serie può anche essere "divergente": i termini successivi sono più grandi dei termini precedenti e la serie cresce senza limiti. La somma "diverge", non dando una risposta ovvia e significativa.
I primi termini della somma di Feynman si sono effettivamente ridotti - una conseguenza del minuscolo valore di alfa - e lo stesso Dyson in un primo momento concluso che l'elettromagnetismo quantistico perturbativo dovrebbe essere complessivamente convergente.
Ma poi Dyson ha mescolato ragionamenti matematici e fisici per fare un'ipotesi più sofisticata sul destino della serie. Pensando matematicamente, Dyson sapeva che una serie di potenze convergenti converge più velocemente quando x diventa più piccolo, perché i termini superiori (che implicano potenze di x) si restringono più rapidamente.
Ma quando ha permesso x per passare attraverso lo zero, tutto è andato in pezzi.
Il motivo ha a che fare con il nostro vuoto, che produce costantemente coppie transitorie di increspature con cariche positive e negative. Quelle increspature normalmente si attraggono e svaniscono. Ma se l'alfa diventasse negativo, quelle increspature si separerebbero l'una dall'altra e diventerebbero particelle reali. La continua eruzione di particelle dal nulla innescherebbe una fusione cosmica, una "disintegrazione esplosiva del vuoto", come disse Dyson.
Fisicamente, qualsiasi alfa negativo è un problema. Eppure matematicamente, il segno di x è irrilevante: se una serie diverge per un piccolo negativo x allora dovrebbe anche divergere per un piccolo positivo x. Pertanto, per un piccolo alfa positivo (ovvero 1/137), anche la serie dovrebbe divergere. La catastrofica situazione fisica di Dyson implicito che il celebre modo di trattare l'elettromagnetismo quantistico di Feynman predisse, alla fine, l'infinito.
Oggi i fisici si aspettano che l'elettrodinamica quantistica (come viene chiamata la teoria quantistica dei campi dell'elettromagnetismo) inizi a divergere da qualche parte intorno al 137° termine. Cioè, forse, a138x138 potrebbe essere più grande di a137x137, e includendolo nella somma renderà la previsione meno, piuttosto che più, precisa.
Il problema è che termini più alti portano a una crescita esplosiva - crescita fattoriale - nel numero di diagrammi di Feynman. Questo significa calcolare a9 richiederà circa 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 (circa 362,880) diagrammi e a10 richiederà circa 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 (3,628,800) diagrammi. Questa crescita fattoriale nei diagrammi contribuisce al a's finirà per sconfiggere il restringimento dei poteri dell'alfa, e la somma crescerà selvaggia verso l'infinito.
Per la maggior parte dei fisici, l'inevitabile divergenza anche della più semplice teoria quantistica dei campi rimane un problema astratto, come la morte del nostro sole in circa un miliardo di anni. In un momento in cui il calcolo - tanto meno il test - anche il decimo termine della serie sembra fantascienza, perché preoccuparsi dei pericoli in agguato ben oltre il centesimo?
Ma per pochi eletti, il fatto che la teoria meglio compresa nella fisica moderna fornisca tecnicamente infinite risposte a qualsiasi domanda tu possa voler porre rimane profondamente inquietante. "Non sappiamo come simulare il mondo, nemmeno in linea di principio, anche con risorse computazionali illimitate", ha affermato Emanuele Katz, un fisico della Boston University che studia nuovi metodi per andare oltre i diagrammi di Feynman.
La divergenza del diavolo
I matematici, nel frattempo, si erano scervellati su serie divergenti per più di un secolo prima che Dyson iniziasse a preoccuparsi della teoria quantistica.
"Le serie divergenti sono un'invenzione del diavolo, ed è vergognoso basare qualsiasi dimostrazione su di esse", scherzato Niels Henrik Abel nel 1828. “Per lo più i risultati sono validi, è vero, ma è una cosa curiosa. Sto cercando il motivo.
Abel morì l'anno successivo, all'età di 26 anni. Ma verso la fine del secolo Henri Poincaré fece un passo significativo verso la comprensione di ciò che rendeva le serie divergenti così sfuggenti: non erano sataniche, solo incomplete.
Poincaré stava rispondendo a una domanda secolare: come potrebbero tre corpi celesti orbitare l'uno intorno all'altro? Decise di affrontare il problema usando la teoria delle perturbazioni, proprio come avrebbero fatto Feynman e Dyson quando avrebbero incontrato i campi quantistici un secolo dopo. Poincaré ha cercato di costruire la funzione misteriosa e presumibilmente complicata che descrive le traiettorie dei tre corpi utilizzando una somma infinitamente lunga di unità più semplici, un processo simile alla costruzione di un'auto con semplici pezzi di Lego. La speranza era che la serie convergesse verso una risposta finita, segno che la serie era una perfetta rappresentazione di una funzione unica.
Inizialmente, pensava di esserci riuscito. Nel 1890, re Oscar II di Svezia e Norvegia ha assegnato a Poincaré un premio per i suoi progressi sul famoso problema. Ma poco prima che la sua soluzione venisse pubblicata, chiese al re di fermare la stampa. La serie era divergente. Ulteriori analisi (che avrebbero gettato le basi per la teoria del caos) hanno rivelato che corrispondeva non a una ma a due funzioni distinte. Era una complicazione che i fisici ora conoscono fin troppo bene.
Introduzione
"Sarebbe un completo miracolo se il tuo problema di fisica che ti interessa fosse effettivamente associato a una serie convergente", ha detto Carlo Bender, un eminente fisico matematico della Washington University di St. Louis. (Oggi i fisici sanno che tre corpi celesti possono interagire in un numero infinito di modi molto diversi, e nessuna semplice equazione può contenere tutte le possibilità.)
Bender paragona il tipo di serie divergente che Poincaré ha incontrato a una visione sfocata di una funzione. La sfocatura si adatta a molte possibili funzioni, proprio come la sagoma a blocchi di un veicolo Lego potrebbe corrispondere a qualsiasi numero di auto sportive. Quando espandi una funzione complicata in una serie così "asintotica", "hai perso informazioni", ha detto Bender.
Sin dai tempi di Poincaré, matematici e fisici hanno imparato ad apprezzare che esistono altri tipi di termini, quelli che sono "al di là di tutti gli ordini", che sono anche più piccoli del più piccolo termine di potenza. Questi termini "esponenzialmente piccoli" possono presentarsi sotto forma di e(-1/x), ad esempio, e forniscono le informazioni perse. Se li includi nella tua serie e selezioni un'appropriata procedura di "riassunto" per rendere la serie finita, puoi eliminare parte, se non tutta, della sfocatura. Sono i mattoncini nano-Lego necessari per distinguere una Ferrari da una Lamborghini.
I fisici chiamano questi termini extra "non perturbativi", perché sono al di là della portata della teoria delle perturbazioni. Puoi passare trilioni di anni a disegnare diagrammi di Feynman e a fare calcoli a's, e non imparerai mai certi eventi fisici codificati in questi termini non perturbativi. Mentre gli effetti descritti da questi minuscoli termini possono essere rari o sottili, possono fare una differenza drammatica nel mondo reale.
Prendiamo ad esempio l'equazione di Schrödinger della meccanica quantistica, che descrive il comportamento ondulatorio delle particelle. È un'equazione complicata che i fisici spesso approssimano usando la teoria delle perturbazioni. Sebbene la serie infinita risultante preveda magnificamente molti esperimenti, manca completamente un evento estremamente improbabile (ma non impossibile) noto come tunneling, in cui la particella si teletrasporta essenzialmente attraverso una barriera.
Il tunneling è uno dei tanti fenomeni non perturbativi della fisica quantistica, ma gli effetti non perturbativi sono ovunque: crescita ramificata dei fiocchi di neve, il flusso di un liquido attraverso un tubo forato, le orbite dei pianeti in un sistema solare, l'increspatura delle onde intrappolato tra isole rotonde, e innumerevoli altri fenomeni fisici non sono perturbativi.
“Ci sono e sono cruciali”, ha detto Daniele Dorigoni, un fisico della Durham University. "La teoria delle perturbazioni da sola non è sufficiente."
A causa della sua natura universale, orde di matematici e fisici hanno lavorato su vari aspetti del meta-problema di come calcolare i termini non perturbativi. E verso la fine del 20° secolo, un assortimento di ricercatori ha iniziato a trovare accenni allettanti che le serie perturbative sembravano sapere più di quanto avrebbero dovuto.
Tra questi ricercatori, un gruppo del Saclay Nuclear Research Center in Francia negli anni '1980 ha contribuito a sviluppare un modo per combinare termini di potenza perturbativi con termini esponenziali non perturbativi per ottenere risultati esatti per il tunneling nella meccanica quantistica. La loro tecnica ha funzionato nella misura in cui potevano fare affidamento su una tecnologia matematica cruciale dell'inizio del secolo nota come riassunto di Borel. La sommatoria di Borel era lo strumento più potente dell'epoca per ricavare numeri finiti da serie divergenti, ma aveva i suoi limiti. Occasionalmente forniva risultati errati o contrastanti, frustrando i fisici che speravano che una serie potesse prevedere correttamente l'esito di un esperimento.
"Quando i fisici trovavano una serie che non era sommabile secondo Borel, essenzialmente si arrendevano", ha detto Mariño.
A loro insaputa, un eccentrico matematico che lavorava in isolamento a pochi chilometri dal gruppo di Saclay aveva già organizzato un'esplorazione senza precedenti delle vette infinitamente alte delle serie asintotiche.
I diagrammi di Feynman contrattaccano
Jean Écalle si è sentito affascinato dalla matematica dell'infinito sin da quando era un adolescente. Ricorda di essersi rilassato sulle rive di un ruscello di montagna un'estate al liceo e di essersi chiesto se potesse esistere una versione più generale dell'operazione di derivata, un esercizio sugli infinitesimi che gli studenti imparano per la prima volta nel calcolo elementare.
Mentre continuava la sua formazione, Écalle ha sviluppato un gusto per il lavoro da solo. Ha anche cercato di evitare di leggere il lavoro dei suoi colleghi matematici, per paura che il loro pensiero lo trascinasse in solchi consolidati.
"Sono caratterialmente contrario a perdermi nella letteratura matematica", ha detto Écalle. "Potrei anche osservare, più e più volte, come un'immersione troppo profonda nella letteratura matematica tendesse a soffocare la creatività".
Introduzione
All'inizio degli anni '1970, la curiosità di Écalle lo spinse a seguire le orme di Poincaré. Iniziò ad analizzare oggetti matematici ancora più astratti sorti nello studio dei corpi celesti. Le serie asintotiche sono emerse lungo la strada, così come la derivata più generale su cui aveva ipotizzato ai tempi del liceo. Écalle alla fine avrebbe sviluppato quella che ha descritto come "una struttura precisa e dai contorni netti - calcolo alieno - spontaneamente derivante da quello che sembrerebbe essere il contesto più poco promettente e amorfo: la divergenza".
Il calcolo alieno di Écalle è astratto e sfaccettato. Ma il messaggio che conteneva per i fisici che alla fine l'avrebbero incontrato era chiaro. Una serie perturbativa, anche se diverge, nasconde una libreria completa di informazioni non perturbative. La serie contiene tutto ciò che è necessario per aggiornarla in modo da rimuovere la sfocatura, ripristinando un'immagine nitida di un'unica funzione corrispondente. I mattoncini Lego squadrati, forse, dopo tutto sono sufficienti.
Nonostante le sue profonde conseguenze, il lavoro di Écalle all'inizio languì. Era troppo oscuro e troppo astratto per i fisici (anche quelli di lingua francese). E non era abbastanza rigoroso da attirare l'attenzione dei matematici.
“È uno di quei geni che pensa che le prove dettagliate, con tutti i casi, non siano importanti. Ciò che è veramente importante è la vista grandiosa", ha detto Mariño.
Écalle ha abbozzato per la prima volta i concetti fondamentali della rinascita in tre articoli nel 1976, e tra il 1981 e il 1985 ha scritto i suoi tre libri di testo, in cui ha esposto a fondo il calcolo alieno della rinascita. Non sono mai apparsi su una rivista di matematica. Invece, ha pubblicato la trilogia attraverso il dipartimento di matematica della sua università, compilando le equazioni a mano.
Se i fisici fossero riusciti a scavare subito nei suoi libri, la loro esperienza non sarebbe stata dissimile dal contatto con una civiltà extraterrestre intelligente. Avrebbero incontrato macchinari matematici anni luce avanti rispetto a quelli a cui erano abituati.
"La rinascita è molto elegante", ha detto Bender. Ma, per dirla nel modo più semplice possibile, consente ai professionisti di scavare nei termini distanti di una serie asintotica (calcolata utilizzando i diagrammi di Feynman, ad esempio) e scoprire i pezzi mancanti necessari per specificare una funzione unica (quella che descrive il tunneling, per esempio) . In breve, rivela un ponte che collega gli eventi fisici descritti dalla teoria perturbativa con quelli descritti dai termini non perturbativi. "È una relazione molto complicata", ha detto Bender, prima di rifiutare educatamente di tentare di spiegarlo.
Quando Écalle, che ora ha 73 anni, è stato contattato da Quanta Magazine con domande sulla storia del risorgimento, ha risposto componendo a Trattato di 24 pagine sull'argomento in sei giorni: una delizia per i ricercatori affamati di maggiori informazioni sulla rinascita e il suo sviluppo. "È un tesoro", ha detto David Sauzin, un matematico dell'Istituto di Meccanica Celeste di Parigi e rinomato decodificatore Écalle.
Ecco una versione cartoon estremamente approssimativa dell'approccio:
Innanzitutto, scrivi la tipica serie perturbativa. All'inizio i termini si restringono, ma alla fine crescono rapidamente man mano che il asta diventando davvero grande. Tracciare la crescita del a's, e vedrai che salgono verso l'alto con una velocità che quasi, ma non esattamente, corrisponde alla crescita fattoriale. Studia la differenza tra la linea tracciata dal ae una curva che cresce fattorialmente per apprendere il primo termine non perturbativo, il più grande dei mattoncini nano-Lego.
Ma questo è solo l'inizio. Applicare il primo passo di una sommatoria di Borel. Ciò elimina la crescita fattoriale, consentendo di vedere più in dettaglio il comportamento dei termini perturbativi. La trama risultante di Modified adovrebbe crescere in modo esponenziale. Ma studialo attentamente e vedrai che i dati perturbativi sono un po' sbagliati. Questa deviazione deriva da una serie asintotica completamente nuova, che moltiplichi per il primo termine non perturbativo.
La procedura continua. Rimuovi la crescita esponenziale dai dati perturbativi e, se hai un occhio attento, potresti individuare ulteriori deviazioni che rivelano un secondo termine non perturbativo. Guarda più da vicino e scoprirai che questo termine non perturbativo arriva con un'altra serie asintotica.
Alla fine della giornata, potrebbe esserci un numero qualsiasi di termini non perturbativi con serie asintotiche allegate. Trova tanti di questi per quanti ne hai lo stomaco e avrai tra le mani un oggetto chiamato trans-serie. La trans-serie inizia con la familiare serie perturbativa. Poi arriva un termine non perturbativo (con una serie), e poi un altro e un altro ancora.
La trans-serie di Écalle ha superato le difficoltà con la ripresa di Borel che in precedenza avevano messo in difficoltà i fisici. Se conosci la serie trans che descrive alcune misurazioni, come il fattore g dell'elettrone, la sommatoria di Borel ti darà un'unica risposta corretta. Inoltre, la rinascita afferma che le sottili deviazioni nella familiare serie perturbativa all'inizio della trans-serie ti dicono tutto ciò che devi sapere sulla parata potenzialmente infinita che segue.
Questo quadro matematico ha due notevoli conseguenze per i fisici. In primo luogo, suggerisce che potrebbero esistere risultati esatti, non semplici approssimazioni, per campi quantistici e altri sistemi complicati. In tal caso, stabilirebbe la teoria quantistica come finita e sensata.
"Stabilire che nella teoria quantistica dei campi le cose sono davvero soggette a risorgere sarebbe un grande progresso", ha detto Serone.
In secondo luogo, suggerisce che l'assortimento potenzialmente infinito di pezzi non perturbativi può essere dedotto interamente dalla serie perturbativa la cui divergenza turbava Dyson. Quelli che per decenni sono sembrati regni indipendenti della fisica sono in realtà intimamente correlati.
"Invece di pensare alla serie perturbativa come qualcosa che divergerà e ti darà un sacco di problemi", ha detto Mariño, "è solo l'ingresso in un mondo molto complesso e affascinante".
In effetti, è da lì che viene il nome rinascita, ha detto Gökçe Basar, un fisico dell'Università della Carolina del Nord, Chapel Hill: "Il comportamento degli ultimi termini nella serie perturbativa 'rinasce' in quei termini non perturbativi." È contorto, ha detto, ma "è piuttosto bello".
Impulso nella fisica
La consapevolezza della scoperta di Écalle - che la conoscenza non perturbativa poteva essere segretamente accessibile attraverso la teoria delle perturbazioni - è lentamente penetrata nel mondo della fisica matematica. Lì, i fisici l'hanno già utilizzato per identificare nuovi pezzi nascosti in due delle teorie più intensamente studiate del 21° secolo: la teoria della forza forte e la teoria delle stringhe.
Mithat Ünsal, un fisico della North Carolina State University, ha dedicato gran parte della sua carriera a cercare di comprendere la forza forte, che tiene insieme i quark per formare protoni e altre particelle. Nel 2008, dopo aver letto della rinascita in a 1993 articolo sulle serie divergenti, ha cercato una panoramica del lavoro di Écalle. "Il mio francese è molto arrugginito, ma c'era una prefazione inglese con una terminologia suggerita", ha ricordato Ünsal. "L'ho imparato e ho cercato di capirlo."
Successivamente ha incontrato Gerald Dunne dell'Università del Connecticut a una conferenza, e mentre chiacchieravano davanti a un caffè scoprirono che lo stesso articolo li aveva ispirati entrambi a iniziare a insegnare a se stessi la rinascita. Hanno deciso di unire le forze.
Entrambi i fisici erano motivati dal fatto che stavano cercando di capire qualcosa di ancora più complicato di quello che Dyson e Feynman avevano di fronte. Quei fisici sono stati fortunati con il campo elettromagnetico. È estremamente debole, con l'alfa di appena 1/137. Un'altra forza fondamentale, l'interazione debole, si è dimostrata altrettanto facile da domare, con la sua versione di alfa ancora 10,000 volte più piccola. La teoria delle perturbazioni sembra funzionare per queste due forze perché sono così deboli che è quasi come se non esistessero affatto.
Introduzione
Ma quella fortuna è finita quando i fisici hanno cercato di affrontare la forza forte. La forza forte è circa 100 volte più forte della forza elettromagnetica, con un analogo alfa di circa 1, e rifiuta di essere ignorata. La quadratura o la cubatura 1 non crea alcun effetto di restringimento, quindi la serie perturbativa va dritta verso l'infinito fin dai primi termini. I fisici hanno impiegato decenni a sviluppare un modo alternativo per gestire la forza forte usando i supercomputer, ottenendo risultati spettacolari lungo il percorso. Ma i calcoli numerici non danno molte informazioni su come la forza forte faccia quello che fa.
Ünsal e Dunne riconobbero che la rinascita, con il suo potere di domare le serie divergenti, poteva fare loro un passo avanti verso il sogno di comprendere la forza forte con carta e matita. In particolare, si proponevano di risolvere un mistero che affliggeva da 40 anni la teoria della forza forte.
Nel 1979, i fisici Gerard't Hooft ed Giorgio Parisi ha dedotto l'esistenza di termini minuscoli e bizzarri nei calcoli della forza forte. Li chiamavano renormalon e nessuno sapeva cosa farsene. I renormalon non sembravano corrispondere a nessuna specifica increspatura o altro comportamento concreto del campo. Ma eccoli lì, a incasinare comunque i calcoli.
Ünsal e Dunne hanno affrontato i renormalon con la rinascita. Anche se stavano lavorando in un analogo 2D della forza forte, ci è voluto circa un anno. Ma nel 2012, essi mostrarono che, almeno nel loro modello semplificato, le renormalon di 't Hooft e Parisi corrispondevano a comportamenti che i fisici capivano.
Hanno "risolto il mistero e sono riusciti a trovare a cosa corrispondevano i renormalon", ha detto Giordano Cotler, un fisico dell'Università di Harvard che sta attualmente organizzando un tentativo simile per comprendere i renormaloni in una teoria più realistica della forza forte.
L'anno scorso, tuttavia, i ricercatori hanno utilizzato la rinascita per aggiungere un'ulteriore ruga. Mariño ei suoi collaboratori hanno effettuato un calcolo più rigoroso (sebbene anche in una teoria semplificata) e scoperto nuovi renormalon al di là di ciò che il gruppo chiama "la tradizione standard" di 't Hooft e Parisi. Mariño ora sospetta che i renormalon siano solo la punta di un iceberg non perturbativo. Risorgimento e altro non perturbativo metodi può rivelare che i fisici sono stati viziati dal loro successo storico nell'abbinare termini matematici individuali a eventi specifici. Se ha ragione, un giorno il mondo quantistico potrebbe diventare ancora più difficile da visualizzare di quanto non sia già.
"Ho dei dubbi sul fatto che questa immagine - un'esponenziale [a] un oggetto - passerà attraverso le teorie generali del campo", ha detto. "Potrebbe succedere che il mondo delle correzioni esponenziali sia davvero selvaggio."
Mariño è stato anche un attore chiave nella scoperta di un nuovo effetto non perturbativo nella teoria delle stringhe, la nozione speculativa e non dimostrata che l'universo non è fatto di particelle puntiformi ma è composto da oggetti estesi come le stringhe. L'oscillazione di tali stringhe determinerebbe le proprietà delle particelle che osserviamo.
La teoria delle stringhe, come la teoria quantistica, è solitamente trattata come una serie perturbativa di diagrammi simili a quelli di Feynman che rappresentano stringhe che si fondono e si dividono in modi sempre più complicati. Ma a differenza dei teorici quantistici, i teorici delle stringhe mancano anche della più debole guida agli effetti non perturbativi della teoria. Presumono che, proprio come la teoria quantistica contiene tunneling e renormalon, anche la formulazione non perturbativa completa della teoria delle stringhe contenga draghi.
Un esempio lampante di fenomeni non perturbativi nella teoria delle stringhe - oggetti simili a fogli noti come D-brane - è stato scoperto negli anni '1990. Le D-brane avrebbero in seguito stimolato alcuni dei maggiori sviluppi della teoria delle stringhe.
Mariño si chiese cos'altro potesse esserci là fuori.
Faceva parte di un gruppo che nel 2010 ha notato una serie di controparti negative nascoste all'ombra dei termini D-brane. Non era chiaro quale fenomeno fisico potesse descrivere questi termini di partner.
Un indizio arrivò sei anni dopo, quando Cumrun Vafa di Harvard e dei suoi collaboratori esplorarono una teoria delle stringhe generalizzata in cui certe quantità potevano diventare negative. Hanno trovato le D-brane con tensione negativa, la versione delle brane con massa negativa. Queste bestie esotiche ha deformato la struttura della realtà intorno a loro, creando molteplici dimensioni temporali e violando il principio fondamentale che le probabilità devono sempre sommarsi al 100%. Ma il gruppo non ha trovato alcuna indicazione che questi oggetti debbano sfuggire dal loro mondo bizzarro e presentarsi nella teoria delle stringhe standard.
Adesso Ricardo Schiappa, un amico di Mariño e fisico teorico all'Università di Lisbona, crede di aver trovato prove del contrario. Negli ultimi mesi, Schiappa ei suoi collaboratori hanno utilizzato la rinascita per esaminare una manciata di semplici modelli di teoria delle stringhe. Hanno scoperto che le D-brane a tensione negativa di Vafa corrispondevano esattamente ai termini esponenzialmente piccoli che Mariño aveva trovato nel 2010. Le D-brane negative sono partner inevitabili delle D-brane, ha sostenuto il gruppo in un Prestampa di gennaio. "Quello che abbiamo scoperto ora è che sono fondamentali per la teoria delle perturbazioni", ha detto Schiappa.
Altri teorici non sono ancora sicuri di cosa pensare della nuova scoperta. Vafa fa notare che l'equipaggio di Schiappa ha fatto i propri calcoli in modelli di stringhe ridotte al minimo e che il risultato non è garantito per formulazioni più sofisticate. Ma se lo fa, e se la teoria delle stringhe descrive effettivamente il nostro universo, deve contenere qualche altro modo per impedire la formazione di brane D negative.
"Non dovrebbero essere lì come un oggetto normale in quella teoria", ha detto Vafa. Altrimenti, "questo apre un'intera scatola di enigmi di Pandora".
Cigni neri e altre anomalie
Nonostante i loro progressi nell'individuare renormalon e brane negative, i fisici citano due formidabili ostacoli per incoronare la rinascita come successore ufficiale della teoria delle perturbazioni.
In primo luogo, non tutte le teorie hanno dimostrato di avere una struttura risorgente. La questione è particolarmente acuta per le teorie quantistiche di campo, che i fisici hanno verificato caso per caso. È un processo scrupoloso, un po' come studiare i mammiferi una specie alla volta. Dopo aver osservato umani, delfini e gatti, potresti iniziare a sentirti sicuro che la nascita dal vivo è una caratteristica universale dei mammiferi. Ma c'è sempre la possibilità che dietro l'angolo trovi un ornitorinco che depone un uovo.
Ecco perché Serone ha dedicato gli ultimi tre anni alla rinascita di prove di stress in alcune teorie quantistiche di campo. Nel 2021, lui e i suoi collaboratori studiato una teoria che condivide caratteristiche chiave con la forza forte ma è ancora abbastanza semplice da consentire loro di calcolare i molti aè necessario per eseguire la rinascita. Hanno calcolato l'energia dello spazio vuoto in un tale universo usando la rinascita e altri due metodi, dimostrando che tutti e tre erano d'accordo. Ci sono state argomentazioni qualitative secondo cui la rinascita dovrebbe valere nella teoria quantistica dei campi, ma questo è stato uno dei primi calcoli concreti, che ha acceso ulteriore ottimismo.
"Nella maggior parte dei casi è stato testato finora, o la rinascita funziona, o abbiamo buone ragioni per credere di capire quando non funziona", ha detto Serone.
Il problema più grave è che per individuare pezzi non perturbativi è necessario conoscere un numero spaventoso di termini perturbativi. Nella sua recente ricerca, ad esempio, Serone ha scelto teorie di campo quantistiche con backdoor matematiche che gli hanno permesso di generare migliaia di termini. Ma per la forza forte, calcolare solo otto o nove è attualmente fuori discussione. Anche i pionieri del metodo non usano mezzi termini su quando si aspettano di vederlo produrre un numero reale come la massa del protone (un impresa matematica vale un premio da un milione di dollari).
"È estremamente difficile", ha detto Ünsal, sospirando. "Non vedo una via immediata."
“Quello che Écalle diceva è che la risposta è rigorosamente lì in linea di principio. Ma ottenere effettivamente la risposta è davvero, davvero difficile ", ha detto Bender. "Il mio consiglio sarebbe, non stare su un piede mentre aspetti."
Una nuova speranza
Ma la scoraggiante difficoltà non ha ucciso il sogno di cercare di ottenere previsioni reali dalla rinascita. Per prima cosa, la tecnica ha già prodotto risultati altrimenti non ottenibili in meccanica quantistica. Negli anni '1980, i fisici matematici francesi di Saclay usarono metodi di proto-risorgimento per fare una previsione esatta per il tunneling delle particelle, un problema che i fisici erano stati in precedenza solo in grado di approssimare. Dunne e Ünsal hanno eseguito simili calcoli con carta e penna utilizzando gli strumenti più raffinati di Écalle. Un altro gruppo ha verificato questi risultati utilizzando metodi standard. Sono stati in grado di arrivare solo fino a sei cifre decimali - uno sforzo erculeo che ha richiesto mesi di tempo e una notevole potenza del computer.
Tali esempi drammatici hanno motivato Dunne a sviluppare modi iper-efficienti di praticare la rinascita, nella speranza di portarli un giorno alle teorie quantistiche dei campi. Negli ultimi cinque anni, insieme a Ovidio Costin, un matematico della Ohio State University, ha trovato tecniche che ottengono più risultati per il dollaro perturbativo. In alcuni casi (che sono ancora lontani dalle teorie del mondo reale), hanno scoperto che bastano solo 10-15 termini. "Quel numero avrebbe potuto essere 1,000, e avrei rinunciato e sarei andato da qualche altra parte", ha detto. "È un po' allettante."
Il lavoro di Dunne e Costin è riuscito persino a catturare l'attenzione dello stesso Écalle. Il fondatore della rinascita non ha seguito da vicino le onde che il suo lavoro ha scatenato, definendosi "un ignorante compiuto in fisica teorica". Tuttavia, pur preoccupandosi che qualsiasi lavoro su modelli speculativi come la teoria delle stringhe possa essere "costruito sulle sabbie mobili", elogia gli sforzi dei ricercatori per dare alla rinascita una messa a punto matematica.
"Anche se il terreno fisico cede, gli impressionanti risultati matematici di, diciamo, O. Costin e G. Dunne sono lì per restare", ha detto.
Per Écalle, la rinascita è una sorta di capitolo passato. Sono passati quasi 40 anni dalla sua trilogia originale. Ha continuato a sviluppare il calcolo alieno fino al 2000 circa e ha trascorso gli ultimi 20 anni esplorando una propaggine più algebrica. Se dovesse mai decidere di pubblicare una trilogia sequel che raccolga tutte le sue scoperte in un unico posto, chissà quali tesori vi troveranno i fisici.
"Penso che abbia scoperto molti strumenti che devono ancora essere esplorati", ha detto Mariño.
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- Fonte: https://www.quantamagazine.org/alien-calculus-could-save-particle-physics-from-infinities-20230406/
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