Introduzione
In una recente mattina di ottobre, Rob Kirby si trovava di fronte a una stanza piena di matematici e disse loro di non sentirsi vincolati dal modo in cui aveva fatto le cose in passato.
Nell'ultimo mezzo secolo Kirby, 85 anni, è stata una figura centrale nella topologia a bassa dimensione, lo studio delle forme deformabili. Oltre ad importanti contributi di ricerca, nel 1978 ha pubblicato il prima versione di quella che divenne nota come la “lista di Kirby” – una raccolta di 80 problemi aperti che contribuirono a definire l’agenda di ricerca in questo campo nei decenni successivi. Due decenni dopo, nel 1997, ne pubblicò un secondo, altrettanto influente versione dell'elenco.
Le poche dozzine di matematici a cui Kirby si rivolgeva si erano riunite al Istituto Americano di Matematica (AIM) a Pasadena per creare una terza versione della lista. Non che tutti i problemi elencati negli elenchi precedenti fossero stati risolti (la maggior parte no), ma molti erano passati di moda. Sebbene la matematica sia eterna, il campo è praticato da esseri umani che seguono le mode passeggere e molte delle vecchie domande non erano più considerate interessanti.
"Pensiamo che alcuni sottocampi siano prestigiosi e altri siano come se non interessasse a nessuno." disse Maggi Miller dell'Università del Texas, Austin, uno dei 14 redattori della lista.
Il convegno è stato ideato da Daniele Rubermann della Brandeis University, che era stato studente di Kirby all'inizio degli anni '1980, e Inanç Baykur dell'Università del Massachusetts, che era un borsista post-dottorato con Ruberman. Volevano che l'elenco fosse composto da problemi difficili e importanti.
"Dovrebbe essere un problema sufficientemente interessante da far sì che, se venisse fuori una soluzione, avrebbe il potenziale per cambiare il campo", ha detto Miller. Baykur ha aggiunto: “Forse una piccola percentuale potrà essere risolta nei prossimi due o tre anni”.
Introduzione
I modi in cui i matematici decidono ciò che è importante sono cambiati nel mezzo secolo trascorso da quando Kirby pubblicò il suo primo elenco. Anche se la verità o la falsità delle singole congetture è una questione di verità oggettiva, classificare la loro importanza è un processo soggettivo e sociale. E questo processo appare molto diverso nel mondo globalmente interconnesso di oggi rispetto agli anni ’1970. La storia della nuova lista è la storia di questi cambiamenti.
L'inizio della lista
La carriera di Kirby è iniziata con una lista di problemi. Nel 1963, come studente laureato presso l'Università di Chicago, partecipò a una conferenza a Seattle dove il matematico Giovanni Milnor ha presentato un elenco dei sette problemi aperti più importanti in topologia. L'ultimo problema era la congettura dell'annulus, che afferma che gli spazi tra due sfere opportunamente definite assumono sempre la forma di un anulus, che è la regione tra due cerchi concentrici.
Questo è vero per i cerchi e le normali sfere tridimensionali, ma nelle dimensioni superiori – che coinvolgono coppie di sfere di cinque o sei o qualsiasi numero di dimensioni – accadono cose sorprendenti. Nel 1969, mentre era assistente professore all'Università della California, a Los Angeles, Kirby dimostrò che ciò è vero per le dimensioni cinque e superiori date alcune restrizioni (le sfere devono essere lisce in un particolare senso matematico).
Sulla base di quel risultato, l'UCLA lo promosse direttamente a professore ordinario e raddoppiò il suo stipendio. Due anni dopo, vinse il prestigioso Premio Oswald Veblen in Geometria. Kirby attribuisce questo successo all'inizio della carriera in parte all'esistenza della lista Milnor, che gli forniva una maggiore varietà di progetti tra cui scegliere rispetto a quelli che avrebbe ricevuto dalle persone immediatamente intorno a lui alla scuola di specializzazione.
"Per coloro a cui piace lavorare sui problemi e non vogliono necessariamente fare ciò che il loro consulente dice loro di fare, un elenco dei problemi è prezioso", ha affermato.
Kirby iniziò a mettere insieme la sua prima lista di problemi nell'agosto del 1976 durante una conferenza dell'American Mathematical Society alla Stanford University. Costruì l'elenco nei due anni successivi, attraverso telefonate, lettere e conversazioni informali con matematici alle conferenze a cui partecipò, e lo pubblicò come articolo di giornale esteso nel 1978.
Introduzione
Come dice Miller, "Ha semplicemente chiamato tutti quelli che conosceva al telefono".
L'elenco conteneva circa 80 problemi organizzati in cinque capitoli. I primi quattro capitoli riguardavano nodi unidimensionali, superfici bidimensionali e varietà tri e quadridimensionali (spazi come la superficie di una sfera che appaiono piatti localmente ma possono avere una struttura globale più complicata). Il quinto capitolo riguardava problemi vari. Sebbene Kirby abbia consultato ampiamente per mettere insieme l'elenco, il prodotto finale era inequivocabilmente suo.
"Ero più inclusivo che esclusivo", ha detto Kirby, ma ha aggiunto: "Ero praticamente l'arbitro finale".
La seconda lista
La fine degli anni '1970 fu un periodo propizio per creare una lista di problemi in topologia. All’inizio del decennio il campo era piccolo e nei dieci anni successivi esplose. Nel 10 Michael Freedmann risolto una versione quadridimensionale della congettura di Poincaré in a prova monumentale ci vorrebbero anni per digerirlo. (La congettura chiede se gli oggetti matematici che assomigliano a sfere debbano effettivamente essere sfere. La risposta, dimostrò Freedman, è sì.) Un anno dopo William Thurston pubblicò la congettura di geometrizzazione, che classifica alcune strutture topologiche in categorie geometriche. La congettura ha portato gli strumenti dell’analisi (una forma avanzata di calcolo) direttamente nella topologia. Quello stesso anno Simon Donaldson ha introdotto la geometria differenziale (che combina calcolo e geometria) nel campo con il suo lavoro sulle varietà quadridimensionali.
“È difficile descrivere quanto velocemente sia stato il progresso. È stato uno di quei grandi periodi della matematica, con una rivoluzione dopo l’altra”, ha detto Ruberman.
Come risultato di tutta questa attività, nel giro di pochi anni l'elenco di Kirby divenne quasi obsoleto. Ma stilare elenchi di problemi non era l'occupazione principale di Kirby. Fu solo durante una conferenza all'Università della Georgia nell'estate del 1993 che decise di rivedere l'elenco.
Kirby iniziò a raccogliere i problemi durante la conferenza e continuò il lavoro via e-mail, che non era di uso comune quando mise insieme il primo elenco. Di conseguenza, l'elenco si è ampliato. L'elenco finale conteneva 415 problemi ed è stato pubblicato come libro nel 1997. Una volta avviato il terzo elenco, il secondo sforzo divenne retroattivamente noto come K2, come nella seconda versione dell'elenco di Kirby, e anche come un cenno al secondo. -montagna più alta del mondo. Il formato ampliato ha contribuito a consolidare la seconda versione dell'elenco come pietra di paragone e tabella di valutazione. Risolvere un problema di Kirby fa notare i giovani matematici.
"Se stai scrivendo una lettera di raccomandazione per qualcuno e questi ha risolto un problema con Kirby, menzionalo nella tua lettera", ha detto Giovanni Baldovino, un matematico del Boston College che ha partecipato al workshop e sta aiutando a modificare l'elenco.
Raggio Arunima, leader di un gruppo presso l'Istituto Max Planck di Matematica di Bonn, in Germania, che ha partecipato al seminario, ha affermato che una delle prime cose che ha fatto il suo tutor di dottorato dopo aver superato gli esami di qualificazione nel 2011 è stata quella di darle una copia dell'elenco K2, " per avere un’idea dei grandi problemi a cui le persone sono interessate”.
Naturalmente, le decisioni su ciò che è importante dipendono da chi è nella stanza a prendere tali decisioni. Gli elenchi di Kirby riflettono una filosofia pedagogica nata dalla visione sociopolitica del mondo di Kirby. Si descrive come un liberale classico e cita il filosofo britannico del XIX secolo John Stuart Mill come un'importante influenza sul suo pensiero.
"I liberali classici credevano davvero nella libertà, nella libertà di parola e nella mano leggera da parte del governo, quindi questo è più o meno il mio punto di vista", ha detto. “In un certo senso ciò va di pari passo con il non dire ai miei studenti cosa fare. È un po’ dare loro libero sfogo”.
Kirby infonde queste convinzioni nel modo in cui pensa e parla della comunità matematica. Nel 2021, insieme a oltre 1,000 altri professionisti matematici e scientifici con sede in California, ha co-firmato un lettera aperta criticando la proposta dello Stato di adottare un nuovo curriculum di matematica K-12 che avrebbe reso le considerazioni sulla giustizia sociale più centrali nel modo in cui lo Stato insegna la materia. La proposta della California è stata approvata critiche considerevoli nella comunità matematica per, tra le altre cose, limitare la disponibilità di corsi avanzati e per de-enfatizzare i corsi di pre-calcolo a favore della “scienza dei dati”.
Introduzione
Kirby è stato storicamente scettico sull'esistenza di pregiudizi strutturali in matematica, anche per quanto riguarda lo squilibrio di genere in questo campo. Negli anni ’1970 circa il 10% dei matematici erano donne; oggi quasi il 30% sono, secondo a Relazione 2020 dal Consiglio internazionale della scienza.
In un articolo che ha scritto negli anni '1990, e che è stato presentato per la pubblicazione nel Avvisi dell'American Mathematical Society ma mai pubblicato, Kirby sostenne che questi numeri tristi non erano il risultato di alcun pregiudizio nel campo. “A mio avviso, il minor numero di donne in matematica non è dovuto alla discriminazione da parte degli uomini né a un’inferiorità intrinseca delle donne, ma piuttosto al semplice fatto che più uomini che donne scelgono di iscriversi a matematica”, ha scritto Kirby.
Per molti matematici, il fatto che poche donne entrino in questo campo è tutt’altro che un semplice dato di fatto. "Le prove suggeriscono che qui c'è un effetto di feedback: poiché ci sono così poche professoresse, le studentesse non riescono a vedere un chiaro percorso di carriera attraverso la matematica, quindi decidono di non conseguire un dottorato di ricerca." scrissero quattro eminenti matematiche nel 2022 nel Supplemento per l'istruzione superiore del Times. Come afferma il rapporto dell’International Science Council, dopo aver analizzato un set di dati di centinaia di migliaia di articoli matematici pubblicati, “vari fattori strutturali e sistemici devono aver influenzato le carriere delle matematiche in modi diversi da quelle degli uomini”.
Le opinioni di Kirby sono ben note all'interno della comunità della topologia a bassa dimensione. Ho chiesto a Kirby se pensava che questo rendesse più difficile per le donne partecipare a contesti come la recente conferenza in cui lui aveva un ruolo di primo piano. Disse che non lo sapeva perché, ad eccezione di un matematico, nessuno gli aveva mai parlato della questione.
Ray, responsabile dell'uguaglianza di genere presso il Max Planck Institute, ha dichiarato: “Non credo che ciò abbia influenzato l'atmosfera della conferenza. Penso che influenzi il modo in cui viene visto nel campo della matematica, ma penso che in generale separiamo la matematica dal matematico.
Uno sforzo comune
Proprio come dopo il K1, la topologia a bassa dimensionalità è avanzata rapidamente dopo il rilascio del K2. Uno sviluppo importante fu l'elaborazione della teoria di Seiberg-Witten, che utilizzava idee della fisica per distinguere tra varietà quadridimensionali. Verso la fine degli anni 2000, l'elenco Kirby era pronto per essere nuovamente aggiornato.
"Il fatto è che il campo è diventato molto più grande a partire dagli anni '1990, è diventato enorme", ha detto Baykur.
Questa volta l'impulso per la creazione di una nuova lista è venuto da Ruberman e Baykur. Hanno iniziato a raccogliere problemi intorno al 2013. Ma tra gli altri loro obblighi e la pandemia, è stato solo nell’ottobre del 2023 che sono riusciti a riunire un gruppo di topologi per incontrarsi di persona. Volevano che la terza versione della lista fosse più uno sforzo comune.
"L'elenco iniziale era meraviglioso, sono così felice che fosse lì, ma questo nuovo formato è encomiabile perché lo rende un po' più aperto", ha detto Ray.
Alla fine del 2022, Kirby si è unito a Baykur e Ruberman come co-organizzatore della conferenza. Invitarono esperti dalle principali aree della topologia a bassa dimensione – corrispondente alla stessa struttura in cinque capitoli che Kirby aveva utilizzato nelle versioni precedenti della lista – ma cercarono di evitare di invitare così tanti specialisti che nessuno avesse nulla in comune con nessun altro.
Baykur e Ruberman hanno svolto la maggior parte dell'organizzazione mentre Kirby ha assunto più un ruolo principale.
“È un po' come il bambino di Rob, sai, come se fosse lui ad avere il controllo emotivo. Ma Danny e Inanç hanno gestito tutta la logistica”, ha detto Miller.
Lunedì 30 ottobre il gruppo ha iniziato a lavorare sulla lista K3 (come è stata chiamata per ovvi motivi e anche in riferimento alle superfici K3, che sono oggetti importanti in topologia).
L'elenco rifletteva i modi in cui la topologia a bassa dimensionalità era cresciuta dal K2. All'inizio degli anni '1990 il lavoro di Andreas Floer ha dato origine a nuovi metodi per l'ordinamento di varietà tridimensionali. Entro la fine di quel decennio questi metodi erano fioriti in un’intera area di studio, l’omologia di Heegaard Floer, e all’interno di quell’area esistono ora numerosi approcci diversi per distinguere le varietà. Questi approcci dovrebbero essere tutti coerenti tra loro, ma non si sa con certezza che lo siano, e K3 includerà domande che mirano a risolvere la questione.
Introduzione
Kirby si accampò nell'aula matematica principale dove i matematici si riunivano ogni mattina, per lo più evitando le sessioni di brainstorming. Martedì mattina Dave Gabai dell'Università di Princeton tenne una conferenza all'intero gruppo sulle connessioni tra la congettura di Schoenflies e la congettura di Poincaré, probabilmente i due problemi aperti più importanti nella topologia quadridimensionale liscia.
La congettura di Schoenflies ha un sapore simile alla congettura dell’annulus su cui Kirby lavorò negli anni ’1960. Prevede che se due sfere differiscono di una dimensione (come un cerchio rispetto alla superficie di una palla), e si incorpora quella a dimensione inferiore (il cerchio) in quella a dimensione superiore (la superficie di una palla), la prima taglia quest'ultima sempre nell'equivalente di due palline. Ciò è chiaramente vero quando si incide un cerchio su un globo (come per formare l'equatore), ma come con la congettura dell'anello, è meno chiaramente vero nelle dimensioni superiori.
Kirby trovò Gabai più tardi, e i due parlarono per ore delle implicazioni del discorso di Gabai. In altri momenti della settimana Kirby ha trascorso del tempo inviando e-mail alla sua vasta rete nella comunità matematica per chiedere contributi alla lista.
"In un certo senso era piuttosto simile a quello che aveva fatto nelle liste precedenti", ha detto Ruberman. “Non tendeva a entrare così tanto nelle stanze. [Lui] mandava email alle persone, dicendo: 'Qualcuno al seminario ha detto questo, cosa ne pensate?'"
La stanza della guerra
Negli ultimi due giorni della conferenza Baykur e Ruberman hanno chiesto ai partecipanti di scrivere i problemi che avevano compilato. Sembrava una stanza della guerra, mentre i matematici si affrettavano a scrivere i riassunti dei problemi che avevano risolto prima del volo per tornare a casa.
"Mi sentivo davvero come quando sei al college, e hai i compiti da consegnare il giorno dopo, e tutti in classe sono in una stanza, e sono le 2 del mattino", ha detto Miller.
Un documento condiviso in cui i matematici stavano compilando l'elenco era quasi vuoto giovedì mattina, ma è cresciuto rapidamente con dozzine di matematici che lo modificavano contemporaneamente. Venerdì l'elenco dei problemi era lungo più di 250 pagine. L'esperienza vorticosa era quasi irriconoscibile rispetto ai due precedenti sforzi di Kirby.
“Mi ha fatto sentire vecchio, nel senso che quando ho fatto il K2, l’ho fatto per un periodo di due o tre anni. Mi sedevo con una persona e scrivevamo insieme il problema", ha detto Kirby. “Con K3 sono stato coinvolto solo in un numero modesto di problemi.”
Baykur e Ruberman sperano di pubblicare un elenco di circa 400 problemi entro la fine dell'anno, dopo le revisioni e le aggiunte da parte dei topologi che non erano presenti al meeting di Pasadena. Baykur, Ruberman e gli altri redattori stanno ancora discutendo sulla frequenza con cui aggiornare l'elenco. Potrebbero prolungare la durata di conservazione di K3 mantenendo aggiornata una versione online, ma vedono degli svantaggi nel farlo. I primi due elenchi, ha detto Baykur, “erano documenti storici ed è stato estremamente istruttivo vedere come guardavano le cose negli anni ’1970 e ’1990 e come pensavano alla matematica. Volevo avere un documento contemporaneo simile”.
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- Fonte: https://www.quantamagazine.org/a-new-agenda-for-low-dimensional-topology-20240222/
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- anni
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- Trasferimento da aeroporto a Sharm
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