La connessione nascosta che ha cambiato la teoria dei numeri | Rivista Quanti

Esistono tre tipi di numeri primi. Il primo è un valore anomalo solitario: 2, l'unico numero primo pari. Dopodiché, metà dei numeri primi lasciano un resto pari a 1 quando divisi per 4. L'altra metà lascia un resto pari a 3. (5 e 13 rientrano nel primo campo, 7 e 11 nel secondo). I numeri primi -1 e quelli primi con resto-3 dovrebbero comportarsi in modi fondamentalmente diversi. Ma lo fanno.

Una differenza fondamentale deriva da una proprietà chiamata reciprocità quadratica, dimostrata per la prima volta da Carl Gauss, probabilmente il matematico più influente del XIX secolo. "È un'affermazione abbastanza semplice che ha applicazioni ovunque, in tutti i tipi di matematica, non solo nella teoria dei numeri", ha detto James Rickards, matematico dell'Università del Colorado, Boulder. "Ma è anche abbastanza non ovvio da essere davvero interessante."

La teoria dei numeri è una branca della matematica che si occupa dei numeri interi (in contrapposizione, ad esempio, alle forme o alle quantità continue). I numeri primi – quelli divisibili solo per 1 e per se stessi – ne sono il nucleo, proprio come il DNA lo è per la biologia. La reciprocità quadratica ha cambiato la concezione dei matematici su quanto sia possibile dimostrare al riguardo. Se si pensa ai numeri primi come a una catena montuosa, la reciprocità è come uno stretto sentiero che permette ai matematici di salire verso vette precedentemente irraggiungibili e, da quelle vette, vedere verità che erano state nascoste.

Sebbene sia un vecchio teorema, continua ad avere nuove applicazioni. Quest'estate Rickards e il suo collega Caterina Stange, insieme a due studenti, smentito una congettura ampiamente accettata su come piccoli cerchi possano essere racchiusi all'interno di uno più grande. Il risultato sconvolse i matematici. Pietro Sarnaki, teorica dei numeri presso l'Institute for Advanced Study e l'Università di Princeton, ha parlato con Stange in una conferenza subito dopo il suo team postato la loro carta. "Mi ha detto che ha un controesempio", ha ricordato Sarnak. “Le ho subito chiesto: 'Stai usando la reciprocità da qualche parte?' Ed era proprio quello che stava usando.'”

Modelli in coppie di numeri primi

Per comprendere la reciprocità, è necessario prima comprendere l'aritmetica modulare. Le operazioni modulari si basano sul calcolo dei resti quando si divide per un numero chiamato modulo. Ad esempio, 9 modulo 7 è 2, perché se dividi 9 per 7, ti rimane un resto di 2. Nel sistema numerico modulo 7, ci sono 7 numeri: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Puoi aggiungere, sottrarre, moltiplicare e dividere questi numeri.

Proprio come con gli interi, questi sistemi numerici possono avere quadrati perfetti, ovvero numeri che sono il prodotto di un altro numero per se stesso. Ad esempio, 0, 1, 2 e 4 sono i quadrati perfetti modulo 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 e 3 × 3 = 2 mod 7). Ogni quadrato ordinario sarà uguale a 0, 1, 2 o 4 modulo 7. (Ad esempio, 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) Poiché i sistemi numerici modulari sono finiti, i quadrati perfetti sono più comuni.

La reciprocità quadratica deriva da una domanda relativamente semplice. Dati due numeri primi p ed q, se lo sai p è un modulo quadrato perfetto q, puoi dire se? q è un modulo quadrato perfetto p?

Si scopre che finché entrambi p or q lascia un resto di 1 quando diviso per 4, se p è un modulo quadrato perfetto q, poi q è anche un modulo quadrato perfetto p. Si dice che i due numeri primi sono reciproci.

D'altra parte, se entrambi lasciano un resto di 3 (come, diciamo, 7 e 11) allora non ricambiano: Se p è un modulo quadrato q, ciò significa che q non sarà un modulo quadrato p. In questo esempio, 11 è un quadrato modulo 7, poiché 11 = 4 mod 7 e sappiamo già che 4 è uno dei quadrati perfetti modulo 7. Ne consegue che 7 non è un quadrato modulo 11. Se prendiamo l'elenco dei quadrati ordinari quadrati (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) e guarda i loro resti modulo 11, allora 7 non apparirà mai.

Questo, per usare un termine tecnico, è davvero strano!

Il potere della generalizzazione

Come molte idee matematiche, la reciprocità ha avuto influenza perché può essere generalizzata.

Subito dopo che Gauss pubblicò la prima dimostrazione della reciprocità quadratica nel 1801, i matematici tentarono di estendere l’idea oltre i quadrati. “Perché non i terzi o i quarti poteri? Hanno immaginato che forse esistesse una legge di reciprocità cubica o una legge di reciprocità quartica", ha detto Keith Corrado, teorico dei numeri presso l'Università del Connecticut.

Ma sono rimasti bloccati, ha detto Conrad, “perché non esiste uno schema facile”. La situazione cambiò quando Gauss introdusse la reciprocità nel regno dei numeri complessi, che sommano la radice quadrata di meno 1, rappresentata da i, ai numeri ordinari. Introdusse l'idea che i teorici dei numeri potessero analizzare non solo gli interi ordinari ma anche altri sistemi matematici simili agli interi, come i cosiddetti interi gaussiani, che sono numeri complessi le cui parti reale e immaginaria sono entrambe interi.

Con gli interi gaussiani, l’intera nozione di ciò che conta come primo è cambiata. Ad esempio, 5 non è più primo, perché 5 = (2 + i) × (2- i). "Devi ricominciare da capo come se fossi di nuovo alle elementari", ha detto Conrad. Nel 1832 Gauss dimostrò una legge di reciprocità quartica per gli interi complessi che portano il suo nome.

All'improvviso, i matematici impararono ad applicare strumenti come l'aritmetica modulare e la fattorizzazione a questi nuovi sistemi numerici. La reciprocità quadratica è stata l'ispirazione, secondo Conrad.

Modelli che erano sfuggenti senza numeri complessi ora cominciavano ad emergere. Verso la metà degli anni Quaranta dell'Ottocento Gotthold Eisenstein e Carl Jacobi avevano dimostrato le prime leggi di reciprocità cubica.

Poi, negli anni ’1920, Emil Artin, uno dei fondatori dell’algebra moderna, scoprì quella che Conrad chiama “la legge di reciprocità ultima”. Tutte le altre leggi di reciprocità potrebbero essere viste come casi particolari della legge di reciprocità di Artin.

Un secolo dopo, i matematici stanno ancora escogitando nuove dimostrazioni della prima legge di reciprocità quadratica di Gauss e la stanno generalizzando a nuovi contesti matematici. Avere molte prove distinte può essere utile. "Se si desidera estendere il risultato a una nuova impostazione, forse uno degli argomenti sarà facilmente applicabile, mentre gli altri no", ha detto Conrad.

Perché la reciprocità è così utile

La reciprocità quadratica viene utilizzata in aree di ricerca diverse come la teoria dei grafi, la topologia algebrica e la crittografia. In quest'ultimo, un influente algoritmo di crittografia a chiave pubblica sviluppato nel 1982 da Shafi goldwasser ed Silvio Micali dipende dalla moltiplicazione di due grandi numeri primi p ed q insieme e generando il risultato, N, insieme a un numero, x, che non è un modulo quadrato N. L'algoritmo utilizza N ed x per crittografare i messaggi digitali in stringhe di numeri più grandi. L'unico modo per decrittografare questa stringa è decidere se ciascun numero nella stringa crittografata è o meno un modulo quadrato N — praticamente impossibile senza conoscere i valori dei numeri primi p ed q.

E, naturalmente, la reciprocità quadratica emerge ripetutamente all’interno della teoria dei numeri. Ad esempio, può essere utilizzato per dimostrare che qualsiasi numero primo uguale a 1 modulo 4 può essere scritto come somma di due quadrati (ad esempio, 13 è uguale a 1 modulo 4 e 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). Al contrario, i numeri primi pari a 3 modulo 4 non possono mai essere scritti come somma di due quadrati.

Sarnak ha osservato che la reciprocità potrebbe essere utilizzata per risolvere questioni aperte, come capire quali numeri possono essere scritti come somma di tre cubi. È noto che i numeri uguali a 4 o 5 modulo 9 non sono uguali alla somma di tre cubi, ma gli altri rimangono un mistero. (Nel 2019, Andrew Booker titoli generati quando scoprì che (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

Nonostante tutte le sue numerose applicazioni e le numerose prove diverse, c’è qualcosa nella reciprocità che rimane un mistero, ha detto Stange.

“Ciò che spesso accade con una dimostrazione matematica è che puoi seguire ogni passaggio; puoi credere che sia vero”, ha detto. "E puoi ancora uscire dall'altra parte con la sensazione di: 'Ma perché?'"

Capire, a livello viscerale, cosa rende 7 e 11 diversi da 5 e 13 potrebbe essere per sempre fuori portata. "Possiamo destreggiarci tra tanti livelli di astrazione", ha detto. "Si presenta ovunque nella teoria dei numeri... eppure è solo un passo oltre ciò che sembra che potresti davvero sapere."

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