הקישור של פייר דה פרמה להוכחת מתמטיקה ראשונית של תלמיד תיכון | מגזין קוונטה

כמו תלמידי מתמטיקה רבים, היו לי חלומות על גדלות מתמטית. פעם חשבתי שהייתי קרוב. בעיית אלגברה קשה בקולג' גרמה לי לעבוד עד מאוחר בלילה. אחרי שעות של מאבק, הרגשתי שפריצת דרך מגיעה. תמרנתי במיומנות ביטויים. חיברתי, הכפלתי ופישטתי, עד שהגילוי שלי סוף סוף חשף את עצמו:

$latex 1 + 1 = 2$.

לא יכולתי שלא לצחוק. העולם כבר ידע ש-$latex 1 + 1 = 2$, אז "משפט הוננר" לא היה. ולמרות שמתמטיקאים צעירים רבים חוו את האכזבה של פריצת הדרך הלא ממש, המדהים סיפורו של דניאל לארסן שומר את החלום בחיים.

לארסן היה תלמיד תיכון בשנת 2022 כשהוכיח תוצאה על סוג מסוים של מספר שחמק ממתמטיקאים במשך עשרות שנים. הוא הוכיח שניתן למצוא מספרי קרמייקל - סוג מוזר של מספר לא ממש ראשוני - בתדירות גבוהה יותר ממה שהיה ידוע קודם לכן, וביסוס משפט חדש שלנצח יהיה קשור לעבודתו. אז מה הם מספרי קרמייקל? כדי לענות על זה, צריך לחזור אחורה בזמן.

לפייר דה פרמה שמו על אחד המשפטים המפורסמים ביותר במתמטיקה. במשך למעלה מ-300 שנה, המשפט האחרון של פרמה עמד כסמל האולטימטיבי לגדולה מתמטית בלתי ניתנת להשגה. בשנות ה-1600 שרבט פרמה פתק על המשפט המוצע שלו בספר שהוא קורא, וטען שהוא יודע להוכיח זאת מבלי לספק פרטים. מתמטיקאים ניסו לפתור את הבעיה בעצמם עד שנות ה-1990, כאשר אנדרו ויילס הוכיח זאת סוף סוף באמצעות טכניקות חדשות שהתגלו מאות שנים לאחר מותו של פרמה.

אבל זה ה"משפט הקטן" הפחות מפורסם של פרמה שמתייחס למספרי קרמייקל. הנה דרך אחת לומר זאת:

בהינתן מספר ראשוני $latex p$, אז עבור כל מספר שלם $latex a$, הכמות $latex a^p – a$ מתחלקת ב-$latex p$.

לדוגמה, קח את המספר הראשוני $latex p = 11$ ואת המספר השלם $latex a = 2$. המשפט הקטן של פרמה אומר ש-$latex 2^{11} – 2 = 2046$ מתחלק ב-11, והוא: $latex 2046 div 11 = 186$. או קח את $latex p = 7$ ו-$latex a = 4$: $latex 4^7 – 4 = 16380 = 7 כפול 2340$, כך ש-$latex 4^7 – 4$ אכן מתחלק ב-7.

בניגוד למשפט האחרון של פרמה, לא לקח 300 שנה לפתור את המשפט הקטן שלו. לאונרד אוילר פרסם הוכחה פחות ממאה שנה מאוחר יותר. ומכיוון שמדובר במספרים ראשוניים, אנשים מצאו דרכים להשתמש בו.

אחת הדרכים להשתמש במשפט הקטן של פרמה היא להראות שמספר אינו ראשוני. נניח שאתה תוהה אם 21 הוא ראשי או לא. אם 21 היו ראשוניים, אז לפי המשפט הקטן של פרמה, עבור כל מספר שלם $latex a$, $latex a^{21}$ – $latex a$ היה צריך להיות מתחלק ב-21. אבל אם תנסה כמה ערכים של $ לטקס a$ אתה רואה שזה לא עובד. לדוגמה, $latex 2^{21} – 2 = 2097150$, שאינה כפולה של 21. לכן, מכיוון שהוא לא עומד במשפט הקטן של פרמה, 21 לא יכול להיות ראשוני.

זו עשויה להיראות כמו דרך מטופשת לבדוק אם מספר הוא ראשוני. אחרי הכל, אנחנו יודעים ש$latex 21 = 3 כפול 7$. אבל לבדוק אם מספרים גדולים הם ראשוניים היא משימה שגוזלת זמן וחשובה במתמטיקה המודרנית, ולכן מתמטיקאים תמיד מחפשים קיצורי דרך. לשם כך, מתמטיקאים תהו אם ההיפך של המשפט הקטן של פרמה עשוי להיות נכון.

מה ההיפך של משפט? אולי אתה זוכר משיעור מתמטיקה שניתן לחשוב על משפט כמשפט מותנה בצורה "אם P אז Q." משפט אומר שאם ה P חלק (הקדם או ההשערה) נכון, אז ה Q חלק (התוצאה או המסקנה) חייב להיות גם נכון. ההיפך של משפט הוא ההצהרה שאתה מקבל כאשר אתה מחליף את הקדם והעוקב. אז ההפך של "אם P אז Q" היא ההצהרה "אם Q אז P".

הבה נבחן את משפט פיתגורס. לעתים קרובות אומרים לנו שכתוב $latex a^2 + b^2 = c^2$. אבל זה לא ממש נכון. משפט פיתגורס הוא באמת משפט מותנה: הוא אומר שאם למשולש ישר זווית יש אורכי צלעות $latex a$, $latex b$ ו-$latex c$, כאשר $latex c$ הוא אורך התחתון, אז $latex a ^2 + b^2 = c^2$. אז מה ההיפך שלו? זה אומר שאם אורך הצלע של משולש $latex a$, $latex b$ ו-$latex c$ עומדים במשוואה $latex a^2 + b^2 = c^2$, אז זה משולש ישר זווית.

מפתה לחשוב שההיפך של משפט הוא תמיד נכון, ותלמידים רבים נפלו בפח הזה. ההיפך של משפט פיתגורס הוא במקרה נכון, מה שמאפשר לנו להסיק שמשולש עם אורכי הצלעות 9, 40 ו-41 חייב להיות משולש ישר זווית שכן $latex 9^2 + 40^2 = 41^2$. אבל ההיפך של משפט אמיתי לא צריך להיות נכון: לדוגמה, בעוד שזה נכון שאם $latex x$ הוא מספר חיובי, אז $latex x^2$ הוא חיובי, ההפך - אם $latex x^2$ הוא מספר חיובי, אז $latex x$ הוא חיובי - לא, מכיוון ש-$latex (-1)^2$ הוא חיובי אבל −1 עצמו לא.

זה תרגול מתמטי טוב לחקור את ההיפך של אמירה, ומתמטיקאים שחיפשו מבחני ראשוניות רצו לדעת אם ההיפך של המשפט הקטן של פרמה נכון. ההיפך אומר שבהינתן מספר שלם $latex q$, אם המספר $latex a^q – a$ מתחלק ב-$latex q$ עבור כל מספר שלם $latex a$, אז $latex q$ חייב להיות מספר ראשוני. אם זה היה נכון, זה היה עוקף חלק מעבודת הרטינה החישובית של בדיקת האם $latex q$ מתחלק במספרים אחרים מלבד 1 ובעצמו. כפי שקורה לעתים קרובות כל כך במתמטיקה, שאלה אחת זו הובילה לשאלות חדשות, שהובילו בסופו של דבר לכמה רעיונות מתמטיים חדשים.

כשתתחיל לחקור את ההיפך של המשפט הקטן של פרמה, תגלה שזה נכון להרבה מספרים. לדוגמה, עבור כל מספר שלם $latex a$, המספר $latex a^2 – a$ מתחלק ב-2. אתה יכול לראות זאת על ידי הפקת $latex a^2 – a$ כ-$latex a פעמים (a-1) $. מאז a ו-$latex a − 1$ הם מספרים שלמים עוקבים, אחד מהם צריך להיות זוגי, ולכן התוצר שלהם חייב להיות מתחלק ב-2.

טיעונים דומים מראים ש-$latex a^3 – a$ תמיד מתחלק ב-3 ו-$latex a^5 – a$ תמיד מתחלק ב-5 (ראה את התרגילים למטה לפרטים נוספים). אז ההיפך של המשפט הקטן של פרמה מתקיים לגבי 3 ו-5. ההיפך אומר לנו מה אנו מצפים גם למספרים קטנים שאינם ראשוניים. אם נשתמש בו כדי לבדוק אם 4 הוא ראשוני או לא, נחשב את $latex 2^4 – 2$ ונשים לב ש-14 אינו מתחלק ב-4.

למעשה, אתה יכול לבדוק כל הדרך עד למספר 561 והכל יצביע על כך שההיפך של המשפט הקטן של פרמה נכון. מספרים ראשוניים פחות מ-561 מחלקים את $latex a^p – a$ לכל אחד a, ולא ראשוניים פחות מ-561 לא. אבל זה משתנה ב-561. בעזרת תורת המספרים מעט מתקדמת ניתן להראות ש-$latex a^{561} – a$ תמיד מתחלק ב-561, אז אם ההיפך של המשפט הקטן של פרמה היה נכון, אז 561 צריך להיות ראשוני . אבל זה לא: $latex 561 = 3 × 11 × 17$. אז ההיפך של המשפט הקטן של פרמה הוא שקרי.

מתמטיקאים קוראים למספרים כמו 561 "פסאודו-פריים" מכיוון שהם עומדים בתנאים מסוימים הקשורים להיותם ראשוני (כמו חלוקת $latex a^p – a$ עבור כולם a) אך אינם למעשה מספרים ראשוניים. נמצאו עוד דוגמאות נגדיות להיפך של המשפט הקטן של פרמה - שלוש הבאות הן 1,105, 1,729 ו-2,465. אלה נודעו כמספרי קרמייקל, על שם המתמטיקאי האמריקאי רוברט קרמייקל. לאחר שהתגלו, צצו שאלות חדשות: האם יש דרכים אחרות לזהות מספרי קרמייקל? האם יש להם עוד מאפיינים מיוחדים? האם יש אינסוף רבים מהם? אם כן, באיזו תדירות הם מתרחשים?

השאלה האחרונה הזו היא שבסופו של דבר משכה את תשומת ליבו של דניאל לארסן. מתמטיקאים הוכיחו שאכן יש אינסוף מספרי קרמייקל, אבל כדי להראות זאת הם היו צריכים לבנות מספרי כרמיכאל שהיו רחוקים מאוד זה מזה. זה הותיר פתוחה את השאלה כיצד מספרי כרמיכאל רבים מתחלקים לאורך קו המספרים. האם הם תמיד רחוקים זה מזה מטבעם, או שהם עשויים להתרחש בתדירות ובסדירות רבה יותר ממה שהראתה ההוכחה הראשונית הזו?

שאלות כאלה על פסאודו-פריים מזכירות שאלות דומות וחשובות על הראשוניים עצמם. לפני אלפיים שנה, אוקלידס הוכיח שיש אינסוף מספרים ראשוניים, אך לקח הרבה יותר זמן להבין כיצד מתחלקים הראשוניים לאורך קו המספרים. בשנות ה-1800, ההנחה של ברטרנד הראתה כי עבור כל $latex n > 3$, תמיד יש מספר ראשוני בין $latex n$ ל-$latex 2n$. זה נותן לנו מושג באיזו תדירות לצפות לראשוניים בזמן שאנו מתקדמים לאורך קו המספרים.

מתמטיקאים תהו אם גרסה כלשהי של ההנחה של ברטרנד נכונה למספרי קרמייקל. גם דניאל לארסן תהה, ובהתבסס על עבודתם של כמה מתמטיקאים מודרניים מפורסמים - זוכי המדליות של פילדס ג'יימס מיינרד וטרנס טאו, בין היתר - הוא הפנה את סקרנותו לתוצאה חדשה על אופן הפצת מספרי קרמייקל. ולמרות שמתמטיקאים צעירים כנראה לא צריכים לצפות להשיג כל כך הרבה תוך כדי השלמת שיעורי הבית של הערב, העבודה הקשה, ההתמדה וההצלחה של דניאל לארסן אמורות לעורר אותם לדחוף קדימה, גם אם הם להוכיח מחדש משהו שאנחנו כבר יודעים.

תרגילים

1. השתמש בפקטורינג כדי להראות שאם $latex a$ הוא מספר טבעי, אז $latex a^3 – a$ תמיד מתחלק ב-3.

2. המשפט "אם מרובע הוא מלבן, אז האלכסונים של המרובע חופפים" נכון. האם ההיפך נכון?

3. הראה שאם $latex a$ הוא מספר טבעי, אז המספר $latex a^5 – a$ תמיד מתחלק ב-5.