מתמטיקאי על יצירתיות, אמנות, הגיון ושפה | מגזין קוונטה

לקח הרבה זמן עד שקלייר וויסין התאהבה במתמטיקה.

זה לא אומר שהיא אי פעם לא אהבה את הנושא. כשגדלה בצרפת - ה-10 מתוך 12 ילדים - היא נהנתה לבלות שעות בפתרון בעיות מתמטיקה עם אביה, מהנדס. עד שמלאו לה 12, היא החלה לקרוא ספר אלגברה בתיכון לבדה, מוקסמת מההגדרות וההוכחות המפורטות בדפיו. "היה כל המבנה הזה", היא אמרה. "אלגברה היא באמת תיאוריה של מבנים."

אבל היא לא ראתה במתמטיקה ייעוד לכל החיים. רק בשנות לימודיה באוניברסיטה היא זיהתה כמה זה יכול להיות עמוק ויפה - ושהיא מסוגלת לגלות תגליות חדשות. עד אז, היא עסקה ברצינות במספר תחומי עניין מלבד מתמטיקה: פילוסופיה, ציור ושירה. ("כשהייתי בת 20, אני חושבת שעסקתי רק במתמטיקה וציור. זה היה אולי קצת מוגזם", היא צחקה.) בשנות ה-20 המוקדמות לחייה, המתמטיקה הפכה את כל השאר. אבל הציור והשירה המשיכו להשפיע עליה. היא רואה במתמטיקה אמנות - וכדרך לדחוף ולשחק עם גבולות השפה.

עשרות שנים מאוחר יותר, לאחר שהפך למוביל בתחום הגיאומטריה האלגברית, Voisin שוב מצא זמן לצייר וליצור פסלי חימר. ובכל זאת, המתמטיקה ממשיכה לתפוס את רוב תשומת הלב שלה; היא מעדיפה לבלות את זמנה בחקר "העולם השונה" הזה שבו "זה כאילו אתה חולם".

Voisin הוא חוקר בכיר במרכז הלאומי הצרפתי למחקר מדעי בפריז. שם, היא חוקרת זנים אלגבריים, שניתן להתייחס אליהם כעל צורות המוגדרות על ידי קבוצות של משוואות פולינומיות, באופן שבו מעגל מוגדר על ידי הפולינום x² + y² = 1. היא אחת המומחים המובילים בעולם בתורת הודג', ערכת כלים בה משתמשים מתמטיקאים כדי לחקור תכונות מפתח של זנים אלגבריים.

Voisin זכתה בשלל פרסים על עבודתה, כולל פרס מחקר החימר בשנת 2008, פרס היינץ הופף בשנת 2015 ופרס שו למתמטיקה בשנת 2017. בינואר היא הפכה לאישה הראשונה שזכתה בפרס קראפוורד בשנת מָתֵימָטִיקָה.

Quanta שוחח עם Voisin על האופי היצירתי של המתמטיקה. הראיון תמצה ונערך למען הבהירות.

נהנית מתמטיקה בילדותך, אבל לא ראית את עצמך עוסק בה. למה לא?

יש את הקסם של הוכחה - הרגש שאתה מרגיש כשאתה מבין אותה, כשאתה מבין כמה היא חזקה וכמה היא חזקה אותך. כילד, כבר יכולתי לראות את זה. ונהניתי מהריכוז שהמתמטיקה דורשת. זה משהו שעם ההזדקנות אני מוצא יותר ויותר מרכזי בתרגול המתמטיקה. שאר העולם נעלם. כל המוח שלך קיים כדי לחקור בעיה. זו חוויה יוצאת דופן, שחשובה לי מאוד - לגרום לעצמך לעזוב את עולם הדברים המעשיים, לחיות בעולם אחר. אולי זו הסיבה שהבן שלי כל כך נהנה לשחק במשחקי וידאו.

אבל מה שהפך אותי למאחר למתמטיקה, במובן מסוים, הוא שאני ממש לא מתעניין במשחקים. זה לא בשבילי. ובתיכון, המתמטיקה הרגישה כמו משחק. היה לי קשה לקחת את זה ברצינות. לא ראיתי את העומק של המתמטיקה בהתחלה. גם כשהתחלתי לגלות הוכחות ומשפטים מעניינים מאוד אחרי התיכון, בשום שלב לא חשבתי שאני יכול להמציא משהו בעצמי, שאוכל להפוך אותו לשלי.

היה לי צורך במשהו עמוק יותר, רציני יותר, משהו שאוכל להפוך לשלי.

לפני שמצאת את זה במתמטיקה, איפה חיפשת את זה?

נהניתי מהפילוסופיה ומההתעקשות שלה על הרעיון של מושג. כמו כן, עד שהייתי בסביבות גיל 22, ביליתי זמן רב בציור, במיוחד יצירות פיגורטיביות בהשראת גיאומטריה. ואהבתי מאוד שירה - של יצירתם של מאלרמה, בודלר, רנה צ'אר. כבר חייתי במין עולם אחר. אבל זה נורמלי, אני חושב, כשאתה צעיר יותר.

אבל המתמטיקה הפכה חשובה יותר ויותר. זה באמת לוקח את כל המוח שלך. כשאתה לא ליד השולחן שלך ועובד על בעיה ספציפית, המוח שלך עדיין עסוק. אז ככל שעשיתי יותר מתמטיקה, כך ציירתי פחות. רק לאחרונה התחלתי לצייר שוב, עכשיו כשהילדים שלי כולם עזבו את הבית ויש לי הרבה יותר זמן.

מה גרם לך להחליט להקדיש את רוב האנרגיה היצירתית שלך למתמטיקה בסופו של דבר?

המתמטיקה הפכה לי יותר ויותר מעניינת. בתור תואר שני ודוקטורט. תלמיד, גיליתי שהמתמטיקה של המאה ה-20 הייתה משהו מאוד עמוק ויוצא דופן. זה היה עולם של רעיונות ומושגים. בגיאומטריה האלגברית, הייתה המהפכה המפורסמת בראשות אלכסנדר גרוטנדייק. עוד לפני גרוטהנדייק היו תוצאות מדהימות. אז זה תחום עדכני, עם רעיונות יפים אך גם חזקים ביותר. תורת הודג', שאני לומדת, הייתה חלק מזה.

התברר יותר ויותר שהחיים שלי שם. כמובן שהיו לי חיי משפחה - בעל וחמישה ילדים - וחובות ופעילויות אחרות. אבל הבנתי שעם מתמטיקה, אני יכול ליצור משהו. יכולתי להקדיש לזה את חיי, כי זה היה כל כך יפה, כל כך מרהיב, כל כך מעניין.

כתבת בעבר על כמה מתמטיקה היא מאמץ יצירתי.

אני מתמטיקאי מקצועי, אז יום העבודה שלי מאורגן באופן רשמי סביב מתמטיקה. אני יושב ליד שולחן כתיבה; אני עובד על מחשב. אבל רוב הפעילות שלי במתמטיקה לא מתרחשת בזמן הזה. אתה צריך רעיון חדש, הגדרה טובה, אמירה שאתה חושב שתצליח לנצל. רק אז העבודה שלך יכולה להתחיל. וזה לא קורה כשאני ליד השולחן שלי. אני צריך ללכת בעקבות המחשבה שלי, לשמור על עצמי לחשוב.

זה נשמע כאילו מתמטיקה היא אישית מאוד עבורך. האם גילית משהו על עצמך בתהליך?

כשאני עושה מתמטיקה, רוב הזמן אני צריך להילחם בעצמי, כי אני מאוד מופרע, אני לא מאוד ממושמע, ואני גם נוטה להיכנס לדיכאון. לא נראה לי קל. אבל מה שגיליתי הוא שברגעים מסוימים - כמו בבוקר בארוחת הבוקר, או כשאני מסתובב ברחובות פריז או עושה משהו חסר שכל כמו ניקיון - המוח שלי מתחיל לעבוד מעצמו. אני מבין שאני חושב על מתמטיקה, בלי שהתכוונתי. זה כאילו אתה חולם. אני בן 62, ואין לי שיטה אמיתית לעשות מתמטיקה טובה: אני עדיין פחות או יותר מחכה לרגע שאקבל קצת השראה.

אתה עובד עם אובייקטים מאוד מופשטים - עם חללים בעלי ממדים גבוהים, עם מבנים שעונים על משוואות מסובכות. איך אתה חושב על עולם כל כך מופשט?

זה לא כל כך קשה, בעצם. ההגדרה המופשטת ביותר, ברגע שאתה מכיר אותה, אינה מופשטת יותר. זה כמו הר יפה שרואים טוב מאוד, כי האוויר צלול מאוד ויש אור שמאפשר לראות את כל הפרטים. בעינינו, העצמים המתמטיים שאנו חוקרים נראים קונקרטיים, כי אנו מכירים אותם הרבה יותר מכל דבר אחר.

כמובן, יש הרבה דברים להוכיח, וכשתתחיל ללמוד משהו, אתה עלול לסבול בגלל ההפשטה. אבל כשאתה משתמש בתיאוריה - מכיוון שאתה מבין את המשפטים - אתה למעשה מרגיש קרוב מאוד לאובייקטים המדוברים, גם אם הם מופשטים. על ידי למידה על העצמים, על ידי מניפולציה ושימוש בהם בטיעונים מתמטיים, הם בסופו של דבר הופכים לחבר שלך.

וזה גם דורש לראות אותם מנקודות מבט שונות?

לא למדתי גיאומטריה אלגברית במקור. עבדתי בגיאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית מורכבת. בגיאומטריה אנליטית, אתה לומד מחלקה הרבה יותר גדולה של פונקציות ואת הצורות המוגדרות מקומית על ידי הפונקציות הללו. בדרך כלל אין להם משוואה גלובלית, שלא כמו בגיאומטריה אלגברית.

לא שמתי לב יותר מדי לנקודת המבט האלגברית בהתחלה. אבל ככל שאני מתבגר וככל שאני עובד יותר בתחום הזה, אני רואה את ההכרח בשתי השפות השונות האלה.

יש משפט מדהים, שנקרא GAGA, שהוא קצת בדיחה; זה אומר "סנילי" בצרפתית, אבל זה גם מייצג géometrie algébrique et géométrie analytique. זה אומר שאתה יכול לעבור משפה אחת לשפה אחרת. אתה יכול לעשות חישוב בגיאומטריה אנליטית מורכבת אם זה קל יותר, ואז לחזור לגיאומטריה אלגברית.

פעמים אחרות, גיאומטריה אלגברית נותנת לך את האפשרות ללמוד גרסה אחרת של בעיה שיכולה לתת תוצאות יוצאות דופן. עבדתי לקראת הבנת הגיאומטריה האלגברית כמכלול, במקום רק להתמקד בצד המורכב של הגיאומטריה שלה.

זה מעניין שאתה חושב על אלה כשפות מתמטיות שונות.

השפה היא חיונית. לפני המתמטיקה, יש שפה. הרבה היגיון כבר נמצא בתוך השפה. יש לנו את כל הכללים ההגיוניים האלה במתמטיקה: מכמים, שלילות, סוגריים כדי לציין את סדר הפעולות הנכון. אבל חשוב להבין שכל הכללים האלה שהם חיוניים למתמטיקאים כבר נמצאים בשפת היומיום שלנו.

אתה יכול להשוות משפט מתמטי לשיר. זה כתוב במילים. זה תוצר של שפה. יש לנו רק את האובייקטים המתמטיים שלנו בגלל שאנחנו משתמשים בשפה, בגלל שאנחנו משתמשים במילים יומיומיות ונותנים להן משמעות ספציפית. אז אתה יכול להשוות שירה ומתמטיקה, בכך ששניהם מסתמכים לחלוטין על השפה אבל עדיין יוצרים משהו חדש.

נמשכת למתמטיקה בגלל המהפכה של גרוטנדייק בגיאומטריה האלגברית. הוא בעצם יצר שפה חדשה לביצוע מתמטיקה מסוג זה.

ימין.

האם יש דרכים שבהן השפה המתמטית שבה אתה משתמש כעת עדיין צריכה להשתנות?

מתמטיקאים כל הזמן מחדשים את השפה שלהם. חבל, כי זה מקשה למדי על קריאה של מאמרים ישנים. אבל אנחנו עובדים מחדש על מתמטיקה בעבר כי אנחנו מבינים אותה טוב יותר. זה נותן לנו דרך טובה יותר לכתוב ולהוכיח משפטים. זה היה המקרה עם גרוטהנדייק, עם היישום שלו של קוהומולוגיה של אלומות לגיאומטריה. זה באמת מרהיב.

חשוב להכיר את האובייקט שאתה לומד, עד כדי כך שעבורך זה כמו שפת אם. כאשר מתחילה להיווצר תיאוריה, לוקח זמן להבין את ההגדרות הנכונות ולפשט הכל. או אולי זה עדיין מאוד מסובך, אבל אנחנו מכירים הרבה יותר את ההגדרות והאובייקטים; זה הופך טבעי יותר להשתמש בהם.

זו אבולוציה מתמשכת. אנחנו כל הזמן צריכים לשכתב ולפשט, להעלות תיאוריה לגבי מה חשוב, לגבי אילו כלים להעמיד לרשותנו.

האם היית צריך להציג הגדרות חדשות בעבודה שלך?

לִפְעָמִים. ב עבודה שעשיתי עם יאנוס קולאר, הייתה נקודת מפנה שבה הצלחנו סוף סוף למצוא את ההשקפה הנכונה של הבעיה - דרך הגדרה מסוימת. זו הייתה בעיה מאוד קלאסית, ועבדנו עם כלים קלאסיים, אבל ההוכחה שלנו באמת התבססה על ההגדרה הזו שהגדרנו.

במקרה אחר, אוליבייה דברה, דניאל הוברכטס, עמנואל מקרי והוכחתי נחמד תוצאת סיווג על חפצים הנקראים סעפות היפר-קאהלר. ונקודת המוצא להוכחה הזו הייתה הכנסתו של אינוריאנט, שבמקור קראנו לו "a."[צוחק.]

אולי תזלזל בחשיבותן של הגדרות במתמטיקה, אבל לא כדאי לך.

הגדרות ושפה אינן הכוחות המנחים היחידים במתמטיקה. כך גם השערות, שאולי נכונות או לא. לדוגמה, עשית עבודה רבה על השערת הודג', בעיית המילניום של קליי שהפתרון שלה מגיע עם תגמול של 1 מיליון דולר.

נניח שיש לך מגוון אלגברי שאתה רוצה להבין. אז אתה הולך לצד הגיאומטריה המורכבת-אנליטית ורואים בה במקום את מה שמכונה סעפת מורכבת. אתה יכול לחשוב על מגוון מורכב במונחים של צורתו הגלובלית, או הטופולוגיה. יש אובייקט, הנקרא הומולוגיה, שנותן לך הרבה מידע טופולוגי על הסעפת. אבל זה לא כל כך קל להגדיר.

עכשיו שקול תת-זנים אלגבריים בתוך הזן המקורי שלך. לכל אחד יהיה אינוריאנט טופולוגי, מידע טופולוגי מסוים הקשור אליו. איזה חלק מההומולוגיה של סעפת המורכבת ניתן להשיג על ידי התבוננות באינוריאנטים טופולוגיים אלו?

השערת הודג' נותנת תשובה ספציפית. והתשובה מאוד עדינה.

אז מתמטיקאים לא בטוחים אם השערת הודג' בסופו של דבר תהיה נכונה או שקרית?

אתה רוצה להאמין בהשערת הודג', כי היא מדריך כזה בתיאוריות מרכזיות בגיאומטריה אלגברית.

אתה באמת רוצה להבין את המאפיינים העיקריים של מגוון אלגברי. ואם השערת הודג' נכונה, זה ייתן לך שליטה מדהימה בגיאומטריה של הזן שלך. תקבל מידע חשוב מאוד על מבנה הזנים.

יש כמה סיבות חזקות להאמין בזה. ידועים מקרים מיוחדים של השערת הודג'. ויש הרבה הצהרות עמוקות על זנים אלגבריים שרומזים שהשערת הודג' נכונה.

אבל היה כמעט חוסר מוחלט של התקדמות לקראת הוכחתו. הוכחתי גם שאין דרך להרחיב את השערת הודג' לסביבה אחרת שבה זה ייראה טבעי. אז זה היה קצת הלם.

אחרי עשרות שנים של עבודה כמתמטיקאי, האם אתה מרגיש שאתה עושה מתמטיקה אפילו יותר עמוק עכשיו?

עכשיו כשאני מבוגר יותר, יש לי הרבה יותר זמן לבזבז את האנרגיה שלי במתמטיקה, להיות ממש נוכח בה. יש לי גם יכולת טובה יותר ללכת לכאן ולכאן. בעבר, אולי בגלל שהיה לי פחות זמן, הייתה לי פחות ניידות - אם כי להיות נייד מדי, פשוט לגעת בבעיות בלי להתמיד בהן, זה גם לא טוב. עכשיו אני מנוסה יותר, ואני יכול לבנות תמונה משלי.

יש לך תמונה הרבה יותר טובה של מה שאתה לא יודע, של בעיות פתוחות. יש לך תצוגה מפורטת של השדה שלך וגבולותיו. חייבים להיות כמה היבטים טובים בהזדקנות. ויש עוד כל כך הרבה מה לעשות.