概要
2012 年、数学者の望月新一は、 ABC 予想。加算と乗算の関係に関する数論における主要な未解決の問題。 問題が 500 つだけありました。XNUMX ページを超える彼の証明は完全に理解できませんでした。 それは、ほぼすべての数学者が理解するのが不可能であると判断した、新しい定義、表記法、理論のうなり声に依存していました。 数年後、二人の数学者が証明の大部分をより馴染みのある用語に翻訳したとき、彼らは「」と呼ばれるものを指摘しました。深刻で修復不可能なギャップ」と論理的に述べているが、望月が彼らの議論を単に彼らが彼の研究を理解できていないという理由で拒否しただけだ。
この事件は、数学的証明とは何なのかという根本的な疑問を引き起こしました。 私たちはそれを永遠の真実の啓示として考える傾向がありますが、おそらくそれは社会的な構造のようなものとして理解したほうがよいでしょう。
アンドリュー・グランヴィルモントリオール大学の数学者である彼は、最近そのことについてよく考えています。 ある哲学者から彼の著作の一部について連絡を受けた後、「私たちはどのようにして真実に到達するのかについて考えるようになりました」と彼は語った。 「そして、そのドアを押し始めたら、それが広大なテーマであることがわかります。」
グランビルは幼い頃から算術が好きでしたが、数学の研究の存在を知らなかったため、数学研究でのキャリアを考えたことはありませんでした。 「父は14歳で学校を辞め、母は15か16歳でした」と彼は語った。 「彼らは当時ロンドンの労働者階級の地域で生まれ、大学は彼らの想像を超えたものでした。 だから私たちには何の手がかりもありませんでした。」
ケンブリッジ大学で数学を学び卒業した後、彼は適応し始めました。 レイチェル文書、マーティン・エイミスの小説を脚本化。 このプロジェクトに取り組み、資金を求めている間、彼はデスクワークに就くことは避けたかったのです。高校と大学の間のギャップイヤーに保険会社で働いていて、そこに戻りたくなかったのです。大学院へ」と彼は言った。 映画は軌道に乗らなかったが(小説は後に独立して映画化された)、グランヴィルは数学の修士号を取得し、その後カナダに移住して博士号を取得した。 彼は決して後ろを振り向かなかった。
概要
「本当に冒険でした」と彼は言った。 「実はあまり期待して入っていなかったんです。 私は博士号が何なのかよく知りませんでした。 だった。"
それ以来数十年にわたり、彼は主に数論に関する 175 以上の論文を執筆しました。 彼は、一般の読者に向けて数学について書いていることでもよく知られています。2019 年には、彼は共著で グラフィック小説 素数とそれに関連する概念について、脚本家の姉のジェニファーと話し合いました。 先月、「私たちが真実にどのように到達するか」に関する彼の論文のXNUMXつは、 公表 数学と哲学の年報に掲載されています。 そして、他の数学者、コンピューター科学者、哲学者とともに、彼は来年の論文集で出版する予定です。 アメリカ数学協会の会報 機械が数学をどう変えるかについて。
クアンタ グランヴィル氏に、数学的証明の本質について、証明が実際にどのように機能するか、証明についてよくある誤解、人工知能の時代に証明の書き方がどのように進化するかに至るまで、語りました。 インタビューはわかりやすくするために編集され、要約されています。
あなたは最近、数学的証明の性質に関する論文を発表しました。 なぜこれについて書くことが重要だと判断したのですか?
数学者が研究にどのように取り組んでいるかは、一般的に一般的なメディアでは十分に描かれていません。 人々は数学を純粋な探求、つまり純粋な思考だけで偉大な真実に到達するものと見なす傾向があります。 しかし、数学は推測が重要であり、多くの場合、間違った推測が行われます。 それは実験的なプロセスです。 私たちは段階的に学習します。
たとえば、リーマン予想が 1859 年に初めて論文に登場したとき、それはまるで魔法のようでした。どこからともなく驚くべき予想が現れました。 70 年間、人々は偉大な思想家が純粋な思考だけで何ができるかについて議論してきました。 その後、数学者のカール・シーゲルがゲッティンゲンのアーカイブでリーマンのスクラッチノートを発見しました。 リーマンは実際にリーマン ゼータ関数のゼロの計算を何ページも行っていました。 シーゲルの有名な言葉は「純粋な思考だけでは十分だ」です。
したがって、人々、特に一部の哲学者や歴史家が数学について書く方法には、この緊張があります。 彼らは私たちを純粋な魔法の生き物、科学のユニコーンだと思っているようです。 しかし、通常はそうではありません。 純粋な思考だけではめったにありません。
概要
数学者の活動をどのように特徴づけますか?
数学の文化は証明がすべてです。 私たちは座って考えます、そして私たちが行うことの95%は証明されます。 私たちが得る理解の多くは、証明に苦労したり、苦労したときに生じる問題を解釈したりすることで得られます。
私たちはしばしば証明を数学的な議論として考えます。 一連の論理ステップを通じて、特定のステートメントが正しいことを示します。 しかし、あなたはこれを純粋で客観的な真実と誤解すべきではないと書いています。 それはどういう意味ですか?
証明の主なポイントは、主張の真実性を読者に納得させることです。 つまり、検証が重要だということです。 私たちが数学で持っている最良の検証システムは、多くの人が証明をさまざまな観点から見て、それが彼らが知っていて信じている文脈にうまく適合することです。 ある意味、私たちはそれが真実であると知っていると言っているわけではありません。 多くの人がさまざまな観点からそれを試してきたので、それが正しいことを願っています。 証拠はこれらのコミュニティ標準によって受け入れられます。
そして、客観性という概念があります。つまり、主張されていることが正しいという確信、自分が究極の真実を持っていると感じるという概念です。 しかし、自分が客観的であることをどうやって知ることができるのでしょうか? 自分が声明を発表した文脈から自分自身を外すこと、つまり社会によって設定されたパラダイムの外側の視点を持つことは難しいです。 これは、他のものと同様に、科学的アイデアにも当てはまります。
また、数学において客観的に何が興味深いか、何が重要であるかを尋ねることもできます。 しかし、これは明らかに主観的なものでもあります。 なぜ私たちはシェイクスピアを優れた作家だと考えるのでしょうか? シェイクスピアは彼の時代では今日ほど人気がありませんでした。 何が興味深いのか、何が重要なのかについては、明らかに社会的慣習があります。 そしてそれは現在のパラダイムに依存します。
概要
数学では、それはどのようになりますか?
パラダイム変化の最も有名な例の XNUMX つは微積分です。 微積分が発明されたとき、ゼロに向かう何かをゼロに向かう別の何かで割ることが含まれていました。つまり、ゼロをゼロで割った結果には何の意味もありません。 当初、ニュートンとライプニッツは無限小と呼ばれる物体を思いつきました。 それによって彼らの方程式は機能しましたが、今日の基準からすると、それは合理的でも厳密でもありませんでした。
現在、19 世紀末に導入されたイプシロンデルタ定式化が行われています。 この最新の定式化は、これらの概念を正しく理解するのに驚くほど明らかに優れているため、古い定式化を見ると、彼らは何を考えていたのかと思うでしょう。 しかし当時は、それができる唯一の方法だと考えられていました。 ライプニッツとニュートンに公平を期すために言えば、彼らはおそらく現代的なやり方を気に入っただろう。 彼らは、当時のパラダイムのせいで、それをしようとは考えませんでした。 それで、そこにたどり着くまでに非常に長い時間がかかりました。
問題は、私たちがいつそのような行動をしているかわからないことです。 私たちは自分たちがいる社会の中に閉じ込められています。私たちは自分たちがどのような仮定をしているのかを判断するための外部の視点を持っていません。 数学における危険の XNUMX つは、自分が選択した言語では簡単に表現したり議論したりできないため、何かが重要ではないと考えてしまう可能性があることです。 それはあなたが正しいという意味ではありません。
私はデカルトのこの引用がとても好きです。彼は次のように述べています。 つまり、将来誰かが根本的に異なる視点を思いつき、三角形についてのより良い考え方につながるかもしれません。」 そして彼は正しいと思います。 それは数学でわかります。
あなたが論文で書いたように、証明は社会的協定、つまり著者とその数学コミュニティとの間の一種の相互合意であると考えることができます。 私たちはこれが機能しない極端な例を見てきました。望月氏が主張した証拠は、 ABC 推測。
望月はこのようなゲームプレイをしたくなかったので、これは極端だ。 彼はこの選択を目立たないようにしました。 人々が本当に新しくて難しいアイデアで大きな進歩を遂げたとき、自分のアイデアをできるだけ分かりやすい方法で説明して、他の人を巻き込むよう努めるのが彼らの義務だと私は感じます。 そして彼は、「もしあなたが私の書いたやり方で読みたくないなら、それは私の問題ではない」というような感じでした。 彼には自分がプレイしたいゲームをプレイする権利がある。 しかし、それはコミュニティとは何の関係もありません。 それは私たちが進歩する方法とは何の関係もありません。
概要
社会的文脈に証拠が存在する場合、それらは時間の経過とともにどのように変化しましたか?
すべてはアリストテレスから始まります。 彼は、ある種の演繹的システムが必要である、つまり、すでに知っていて確実なことを基にし、特定の「原始的な記述」または公理に戻って新しいことを証明することによってのみ、新しいことを証明できると述べました。
そこで質問は次のとおりです。あなたが真実だと知っている基本的な事柄は何ですか? 非常に長い間、人々は「線は線、円は円」とだけ言っていました。 シンプルで明白なことがいくつかあり、それらを前提として開始する必要があります。
その視点は永遠に続きます。 それは今でもかなりの部分で残っています。 しかし、発展したユークリッドの公理系、つまり「線は線である」には問題がありました。 バートランド・ラッセルが集合の概念に基づいて発見したこれらのパラドックスがありました。 さらに、数学言語を使って言葉遊びをして、公理系に問題があることを示す、「このステートメントは偽です」(真であれば偽、偽であれば真)のような問題のあるステートメントを作成することもできます。
そこで、ラッセルとアルフレッド・ホワイトヘッドは、これらすべての問題を回避できる新しい数学システムを作成しようとしました。 しかし、それはばかばかしいほど複雑で、これらが出発点として適切なプリミティブであるとは信じがたいものでした。 誰もそれを快適に感じませんでした。 2 + 2 = 4 を証明するようなことは、出発点からすると膨大なスペースを必要とします。 このようなシステムには何の意味があるのでしょうか?
そこにデイヴィッド・ヒルベルトが現れて、素晴らしいアイデアを思いつきました。それは、そもそも何が正しいのかを誰にも語るべきではないのではないか、というものでした。 代わりに、機能するもの、つまりシンプルで、一貫性があり、一貫性のある出発点であれば、検討する価値があります。 公理から互いに矛盾する XNUMX つのことを演繹することはできません。選択した公理の観点から数学の大部分を説明できるはずです。 しかし、それらが何であるかをアプリオリに言うべきではありません。
これも、数学における客観的真実についての以前の議論に当てはまるようです。 では、20 世紀初頭、数学者は公理系が複数存在する可能性があること、つまり、与えられた XNUMX つの公理系を普遍的または自明の真理として捉えるべきではないことに気づき始めたということでしょうか。
右。 そして、言っておきますが、ヒルベルトは抽象的な理由でこれを始めたわけではありません。 彼は幾何学のさまざまな概念、つまり非ユークリッド幾何学に非常に興味を持っていました。 それは非常に物議を醸しました。 当時の人々は、もしあなたが箱の角を一周する線の定義を教えてくれたら、いったいなぜ私があなたの言うことを聞く必要があるのでしょう? そしてヒルベルトは、それを首尾一貫して一貫性のあるものにすることができるなら、聞いてください、なぜならこれは私たちが理解する必要がある別の幾何学かもしれないからです、と言いました。 そして、この視点の変更は、あらゆる公理系を許容できるというもので、幾何学だけに適用されたわけではありません。 それは数学すべてに当てはまります。
しかし、もちろん、他のものよりも役立つものもあります。 したがって、私たちのほとんどは、同じ 10 の公理、ZFC と呼ばれるシステムを使用して作業しています。
つまり、そこから何が推測でき、何が推測できないのかという問題が生じます。 連続体仮説のような、ZFC を使用して証明できないステートメントがあります。 11番目の公理が存在するはずです。 そして、公理系を選択できるため、どちらの方法でも解決できます。 すごいかっこいい。 私たちはこの種の複数性を続けます。 何が正しくて何が間違っているのかは明らかではありません。 クルト・ゲーデル氏によれば、私たちは依然として味覚に基づいて選択を行う必要があり、できれば良い味覚を持っている必要があります。 私たちは意味のあることをすべきです。 そして私たちはそうします。
ゲーデルといえば、ここでもかなり重要な役割を果たしています。
数学について議論するには、言語と、その言語で従うべき一連のルールが必要です。 1930 年代に、ゲーデルは、言語をどのように選択しても、その言語には真実であるが、出発時の公理からは証明できないステートメントが常に存在することを証明しました。 実際にはそれよりも複雑ですが、それでも、すぐに次のような哲学的ジレンマに直面します。それを正当化できない場合、真実の声明とは何でしょうか? それはクレイジーです。
それで大混乱が起きています。 私たちにできることは限られています。
プロの数学者はほとんどこれを無視しています。 私たちは実行可能なことに焦点を当てます。 ピーター・サーナクがよく言うように、「私たちは働く人間です」。 私たちは取り組んで、自分たちができることを証明しようとします。
概要
コンピューターだけでなく AI も使用されるようになった今、証明の概念はどのように変化しているのでしょうか?
私たちは、コンピュータがワイルドなことを実行できる別の場所に移動しました。 今では人々は、「ああ、このコンピューターがあるんだ、人にはできないことができるんだ」と言います。 しかし、それはできるでしょうか? 人間にはできないことが実際にできるのでしょうか? 1950 年代にアラン・チューリングは、コンピューターは人間ができることを、ただより速く行うように設計されていると述べました。 あまり変化はありません。
数学者は何十年もの間、理解を助けるための計算などを行うためにコンピューターを使用してきました。 AI でできる新しいことは、私たちが真実だと信じていることを検証することです。 証拠の検証によっていくつかの素晴らしい発展が起こりました。 [証明アシスタント] Lean と同様に、数学者が多くの証明を検証できるようにすると同時に、著者が自分の研究をより深く理解できるように支援しました。これは、検証のために Lean にフィードするためにアイデアの一部をより単純なステップに分解する必要があるためです。
しかし、これは絶対確実なのでしょうか? リーンがそれが証拠であると同意したというだけの理由で、その証拠は証拠なのでしょうか? ある意味、証明をリーンの入力に変換する人々と同じくらい優れています。 これは、私たちが伝統的な数学を行う方法と非常によく似ています。 したがって、私は、リーンのようなものは多くの間違いを犯すだろうと信じていると言っているわけではありません。 人間が行うほとんどのことよりも安全かどうかはわかりません。
申し訳ありませんが、私はコンピューターの役割についてかなり懐疑的です。 これらは、物事を正しく行うための非常に貴重なツールとなり得ます。特に、一見しただけでは分析が難しい新しい定義に大きく依存する数学を検証する場合に役立ちます。 武器庫に新しい視点、新しいツール、新しいテクノロジーがあることが有益であることには議論の余地がありません。 しかし、私が敬遠しているのは、正しい定理を生成する完璧な論理マシンが完成するという概念です。
コンピューターに関しては、物事が正しいかどうかは確認できないことを認識しておく必要があります。 私たちの未来は、科学の歴史を通じて私たちが依存してきた共同体意識、つまり、物事をお互いにぶつけ合うという感覚に依存する必要があります。 同じものをまったく異なる視点から見ている人々と話しているということ。 等々。
しかし、これらのテクノロジーがより洗練されるにつれて、これは将来どのように進むと思いますか?
もしかしたら証拠作成に役立つかもしれません。 おそらく XNUMX 年後、私は ChatGPT のような AI モデルにこう言うことになるでしょう。 調べてみませんか?」 そして、同様の正しいステートメントが返されます。
そして、それが非常にうまくなったら、おそらく一歩進んで、「これを行う方法はわかりませんが、このようなことを行った人はいますか?」と言うことができます。 おそらく最終的には、AI モデルが文献を検索して、他の場所で使用されているツールを活用するための熟練した方法を見つけることができるでしょう。その方法は、数学者が予期しない方法です。
しかし、ChatGPT がどのようにして一定のレベルを超えて、私たちを上回る方法で証明を行うことができるのか、私には理解できません。 ChatGPT や他の機械学習プログラムは考えていません。 彼らは多くの例に基づいて単語の連想を使用しています。 したがって、トレーニング データを超越する可能性は低いと思われます。 しかし、もしそうなった場合、数学者はどうするでしょうか? 私たちが行っていることの多くは証拠です。 私たちから証拠を取り上げたら、私たちが何者になるかわかりません。
いずれにせよ、コンピュータ支援をどこに利用するかを考えるとき、人間の努力から学んだ教訓をすべて考慮する必要があります。それは、異なる言語を使用し、協力して作業し、異なる視点を持つことの重要性です。 さまざまなコミュニティが協力して証明に取り組み、理解する方法には堅牢性と健全性があります。 数学にコンピュータ支援を導入する場合は、同じようにコンピュータ支援を充実させる必要があります。
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