분자 모자이크를 예측하는 단순한 기하학 | 콴타 매거진

2021년 가을 어느 토요일 오후, 실비오 디커틴스 훌쩍 지나가고 있었다 종이 제목은 수학에 관심이 많은 십대를 위한 만화책에서 따온 것 같습니다: "Plato's Cube and the Natural Geometry of Fragmentation."

그의 눈을 사로잡은 것은 이상한 제목이 아니라 세 번째 페이지에 있는 사진이었습니다. 갈라진 영구 동토층에서 지구의 지각판에 이르기까지 모든 규모의 지질학적 패턴이었습니다. 베른 대학교의 화학자 Decurtins는 자신이 연구하던 물질이 생각났습니다. “아! 나도 패턴이 있어!” 그는 생각했다. "규모의 문제일 뿐입니다."

Decurtins의 패턴은 지구의 갈라진 틈에 의해 형성되지 않고 분자에 의해 형성되었습니다. 그것들은 단 한 분자 두께의 시트에 모자이크와 같은 분자 타일링이었습니다. 이러한 2D 재료는 분자 빌딩 블록이 배열되는 방식에 따라 독특하고 실용적인 특성을 가질 수 있습니다.

예를 들어 전자를 계산 비트로 사용하거나 데이터를 저장하는 2D 패턴으로 분자를 배열하는 것이 가능합니다. 간격이 있는 패턴은 막 역할을 할 수 있습니다. 그리고 금속 이온을 포함하는 패턴은 강력한 촉매가 될 수 있습니다.

이러한 2D 재료를 원자 단위로 구축하는 것은 가능하지만 그렇게 하는 것은 비용이 많이 들고 어렵고 시간이 많이 걸립니다. Decurtins와 그의 동료를 포함한 많은 과학자들은 스스로 조립되는 재료를 디자인하기를 원합니다. 분자가 2D 시트로 자가 조립하는 방법을 예측하는 것은 재료 과학의 큰 과제 중 하나라고 말했습니다. 요하네스 바르트, 뮌헨 기술 대학의 물리학자.

그것은 자연이 그녀의 분자 설계 철학을 특별히 제시하지 않았기 때문입니다. 자가 조립을 예측하는 것은 슈퍼컴퓨터의 역할이며 필요한 헤비급 프로그램을 실행하는 데 며칠 또는 몇 주가 걸릴 수 있습니다.

그래서 Decurtins는 가보르 도모코스, 부다페스트 기술 경제 대학의 수학자 인 연구의 첫 번째 저자. Decurtins는 행성이 부서지는 방식을 설명하는 동일한 기하학이 분자가 조립되는 방식을 설명할 수 있는지 궁금했습니다.

내년에 Domokos와 그의 동료들은 기하학적 사고를 사용하여 분자 자기 조립의 규칙을 풀었습니다. 새로운 방법을 고안하다 테셀레이션의 단순한 기하학만을 사용하여 분자가 형성할 수 있는 모자이크를 제한합니다.

Domokos는 “처음에 그들은 당신이 할 수 있다는 것을 믿지 않았습니다. “그들은 인공 지능, 슈퍼컴퓨팅, 이런 모든 종류의 재즈를 하고 있었습니다. 그리고 지금 그들은 단지 공식을 보고 있습니다. 그리고 이것은 매우 편안합니다.”

행성에서 원자까지

 Decurtins가 연락을 취한 후 Domokos는 아이디어를 크리스티나 레괴스, 그의 대학원생. Decurtins는 그의 동료가 설계하고 합성한 분자의 타일링인 원자 규모의 패턴을 묘사하는 이미지 몇 개를 보냈습니다. 리우 시샤 — 강력한 현미경의 눈으로 볼 수 있습니다. Domokos는 Regős가 Decurtins 이미지의 패턴을 특성화하기 위해 지질학적 균열을 설명하기 위해 원래 개발한 기하학을 사용할 수 있는지 확인하고 싶었습니다.

시작하기 위해 Regős는 2D 재료를 간단한 다각형 테셀레이션으로 처리했습니다. 즉, 간격 없이 무한 반복되는 패턴과 함께 들어맞는 패턴입니다. 그런 다음 Domokos의 접근 방식에 따라 각 패턴에 대해 두 개의 숫자를 계산했습니다. 첫 번째는 다각형당 평균 정점 또는 모서리 수였습니다. 두 번째는 각 정점을 둘러싼 평균 폴리곤 수입니다.

이 두 평균값은 패턴의 GPS 좌표와 같습니다. 그들은 가능한 모든 테셀레이션의 풍경 내에서 위치를 제공합니다.

이 풍경을 상징적 평면이라고 한다. 정점당 평균 도형 수가 있는 간단한 2D 그리드입니다. x-축 및 도형당 평균 정점 수 y-중심선. 각 테셀레이션은 평면 내의 정확히 한 지점에 그려야 합니다. 예를 들어 완벽한 벌집 패턴은 각 꼭지점(기호 평면에서 (3, 6)의 한 점)에서 트리오로 만나는 XNUMX각형 육각형의 테셀레이션입니다.

그러나 암석 균열에서 분자 단일층에 이르기까지 대부분의 천연 모자이크는 완벽하게 주기적인 테셀레이션이 아닙니다.

예를 들어, 실제 왁스 벌집의 셀은 모두 완벽한 육각형이 아닙니다. 꿀벌은 실수를 합니다. 그러나 지저분할 수 있지만 벌집은 여전히 ​​평균적으로 벌집입니다. 그리고 평균적으로 기호 평면의 (3, 6) 지점에 여전히 플로팅됩니다. 평균을 계산하는 Domokos의 방법은 지나치게 단순화하기보다는 통찰력이 있다고 수학자는 말했습니다. 마조리 세 네찰 새로운 연구를 검토한 Smith College의 실수를 버리고 패턴을 평균으로 취급함으로써 일반적으로 우연의 더미 아래 묻혀 있는 일종의 이상적인 현실을 드러냅니다.

그러나 Regős는 이 방법을 Decurtins의 분자 사진에 적용하려 했을 때 곧 문제에 봉착했습니다. 그녀는 "나는 그것들을 상징적인 차원에 올려놓기 시작했다"며 "그런 다음 내가 할 수 없다는 것을 깨달았다"고 말했다.

문제는 규모였습니다. Domokos가 이전에 작업했던 지질학적 패턴과 달리 분자 모자이크는 실제로 패턴 내의 패턴입니다. 다른 배율에서 보면 서로 다른 기하학을 가지고 있습니다. Regős는 패턴이 이미지의 배율에 따라 기호 평면에 다른 지점을 표시하기 때문에 한 쌍의 값으로 분자 모자이크를 설명할 수 없었습니다. 그것은 육각형 타일링을 확대하고 그 기본 빌딩 블록이 실제로 삼각형임을 발견하는 것과 약간 비슷했습니다.

"그래서 Kriszti는 이렇게 말했습니다. 좋아, 이건 엉망이야." Domokos가 말했습니다.

그런 다음 그녀는 모자이크를 정리하는 방법을 알아냈습니다. 재료의 내포된 패턴을 한 쌍의 평균으로 강제하는 대신, 그녀는 그것들을 상징적 평면에서 각각의 점으로 표현되는 세 가지 조직 수준으로 나누었습니다.

가장 낮은 수준에서 각 분자의 원자는 결합하여 다각형을 형성합니다. 그런 다음 이러한 분자는 수소 결합을 통해 서로 연결되어 다각형의 테셀레이션을 만듭니다. 마지막으로 가장 축소된 수준에서 개별 분자는 점으로 축소되고 이러한 점이 연결되어 모자이크를 형성합니다.

Regős의 새 프레임워크에서 각 수준은 점과 선의 단순한 메시인 그래프로 표시됩니다.

그래프 이론을 사용하여 분자 패턴을 설명하는 것은 "매우 강력하다"고 말했습니다. 카를로스 안드레스 팔마, 중국 과학 아카데미 및 베를린 훔볼트 대학교의 화학 물리학자. 전통적으로 과학자들은 대칭에 따라 패턴을 분류합니다. 그러나 그것은 현실의 혼란을 반영하지 않습니다. 실제 나노 물질은 거의 완벽하게 주기적이거나 대칭이 아니라고 Palma는 말했습니다. 따라서 분자 패턴을 단순하고 유연한 그래프로 줄이면 "제 생각에는 자연 세계와 훨씬 더 잘 소통할 수 있습니다."라고 그는 말했습니다.

패턴 예측

Regős와 Domokos는 이제 Decurtins의 분자 모자이크를 설명할 수 있는 방법을 갖게 되었으며, 이는 분자가 자가 조립하는 방법을 예측하는 데 중요한 단계입니다.

“우리는 예측을 정말 잘 못해요.”라고 말했습니다. 울리히 아샤우어, 자가 조립을 연구하는 잘츠부르크 대학의 전산 물리학자.

전통적으로 과학자들은 다양한 방법을 사용하여 분자가 자가 조립하는 방법을 예측합니다. Aschauer는 분자가 표면에서 상호 작용하는 방식을 시뮬레이션합니다. 그런 다음 형성하는 데 최소한의 에너지가 필요한 패턴을 식별합니다. 이 패턴은 가장 나타날 가능성이 높습니다. 다른 과학자들은 무작위로 생성된 엄청난 수의 패턴을 선별하거나 자기 조립을 예측하기 위해 기계 학습 알고리즘을 훈련시킵니다. 이러한 모든 방법은 계산 비용이 많이 듭니다. Palma는 동료가 어떻게 물이 자가 조립되는지에 대한 단 하나의 예측을 하기 위해 수년 동안 물 분자를 시뮬레이션한 방법을 회상했습니다. 기계 학습 알고리즘에도 사각지대가 있습니다. 그들은 당신이 먹이는 것만 배운다고 Aschauer는 말했습니다. 그리고 가능한 모든 패턴을 확인하는 것은 불가능하기 때문에 과학자들은 종종 처음에 어떤 패턴을 고려할 가치가 있는지 추측해야 합니다.

Aschauer는 "우리의 시작 추측이 우리가 찾은 최종 항목을 결정합니다."라고 설명했습니다. "그리고 처음부터 올바른 직관이 없으면 잘못된 결과를 낳기 때문에 큰 문제입니다."

그러나 Regős와 Domokos의 기하학은 불가지론적이었습니다. 단순히 분자를 점으로, 결합을 선으로 취급했습니다. 시작 추측이 필요하지 않았습니다.

Aschauer와 Decurtins를 스위스에서 직접 만난 후, 수학자들은 마침내 단순히 패턴을 설명하는 것이 아니라 패턴을 예측하는 지저분한 사업으로 눈을 돌렸습니다.

Gömböcs 및 교량

그 상태에서 Regős의 시스템은 분자가 다각형이고 수소 결합이 선인 패턴의 중간 수준 조직을 제한할 수 있습니다. 그러나 그녀는 대규모 모자이크를 예측하기 위해 분자 타일에서 위쪽으로 작업할 수 없었습니다. 세 가지 수준을 모두 수학적으로 연결할 무언가가 없는 그녀의 모델은 가로대가 없는 사다리와 같았습니다.

Domokos는 확인할 가치가 있다고 결정했습니다. 코스티아 노보셀로프 — 싱가포르 국립 대학교의 물리학자 노벨상을 공유하다 아마도 가장 유명한 2D 재료인 그래핀을 합성하기 위한 것입니다. 두 사람은 그해 초 Novoselov가 눈에 띄게 많은 Gömböcs, Domokos가 부다페스트의 한 상점에서 발견한 새로운 기하학적 형태.

Novoselov의 입력으로 Domokos와 Regős는 기하학적 모델을 개선했습니다. 그때까지 그들은 조직의 세 가지 수준, 즉 분자, 중간 규모 패턴, 대규모 패턴만 사용했습니다. Novoselov는 중간 수준과 큰 수준 사이의 다리인 네 번째 수준을 추가할 것을 제안했습니다. 이 다리를 설명하는 방정식은 가장 작은 수준과 중간 수준의 기하학을 가장 큰 수준인 분자 모자이크와 연결했습니다.

다리가 제자리에 있으면 팀은 이제 분자 타일을 가져 와서 봉투 뒷면에 들어갈 수 있는 XNUMX개의 대수 방정식과 부등식의 간단한 시스템을 사용하여 잠재적인 대규모 패턴을 제한하기 위해 위쪽으로 작업할 수 있습니다. 이러한 수학적 진술에서 변수는 기호 평면의 패턴 좌표와 분자 구조를 설명하는 일부 용어입니다. 전체적으로 볼 때 시스템은 조직의 각 수준을 다른 수준과 연결하고 상징적 평면에서 패턴의 좌표와 연결합니다.

기호 평면에 표시된 분자의 가능한 대규모 배열은 가능한 모든 공간 채우기 2D 분자 패턴을 정의하는 곡선의 작은 조각에 해당합니다. 연구원들은 이제 시작 분자를 사용하여 해당 슬라이스를 제한할 수 있습니다.

그러나 그들은 가능한 패턴의 "조각"이 충분히 작다는 것을 아직 확신하지 못했습니다. 너무 넓으면 그다지 유용한 제약이 아닐 것입니다. Liu가 기호 평면에 2D 수빙의 구조를 표시했을 때, 그녀는 그들이 방법의 예측 범위의 극단에 완벽하게 떨어지는 것을 발견했습니다. 경계를 개선할 수 없습니다.

"이것은 여기서 자연의 언어입니다."라고 Domokos는 말했습니다. "저에게는 큰 놀라움이었습니다."

성장과 형태

프로젝트가 거의 끝나갈 무렵인 2022년 XNUMX월에 헝가리인들은 다시 스위스로 여행을 떠났습니다. 이번에 동료들은 그들이 작업해 온 이미지를 생성한 현미경을 방문하여 그들을 놀라게 했습니다. 그때 Regős와 Domokos는 마침내 그들이 한 일을 깨달았습니다. 대규모 모자이크를 분자 결합으로 수학적으로 연결함으로써 훨씬 더 작은 규모에서 그들은 분자 패턴이 어떻게 형성되는지 궁극적으로 지시하는 보이지 않는 상호 작용의 얽힘을 포착했습니다. 그들의 기하학은 기계가 볼 수 없는 것을 "볼" 수 있었습니다.

Regős는 "믿을 수 없었습니다."라고 말했습니다. "우리는 지하실로 내려가서 그것들이 우리 과학의 한계에 있다는 것을 알았습니다."

Novoselov는 자기 조립 패턴을 이해하기 위해 현미경을 사용하는 것은 위에서 사진을 찍어 잔디를 이해하려는 것과 같다고 말했습니다. 그 사진들은 잔디에 대해 많은 것을 말해주지만 "확실히 전부는 아닙니다"라고 그는 말했습니다. 그것들은 풀의 뿌리나 그것이 어떻게 자라는가에 대해 거의 밝히지 않습니다. Domokos와 Regős의 프레임워크는 뿌리를 완벽하게 볼 수 없지만 패턴의 분자 구성 요소를 최종 모자이크에 연결하여 루트를 스케치하는 완전히 새로운 방법을 제공합니다.

"그들은 성장과 형태 사이의 관계를 연구하는 훌륭한 오래된 전통을 이어가고 있습니다."라고 Senechal은 말했습니다.

분자 자기 조립은 종종 더 큰 패턴으로 자라는 작은 물질 조각에서 시작됩니다. 그러나 새로운 수학적 프레임워크는 유한 패치가 아닌 무한 패턴을 가정합니다. 유한한 패치가 더 큰 패턴으로 성장하는 방법을 설명하기 위해 작업을 조정하는 것은 진정한 예측을 향한 단계가 될 수 있다고 Palma는 말했습니다. Aschauer는 가능한 패턴의 풍경에서 막다른 길과 유망하지만 탐험되지 않은 모서리에 대한 가이드로 기하학을 사용할 계획이라고 말했습니다. 그리고 기호 평면의 수학적 언어를 사용하여 기계 학습 모델을 훈련시키는 것은 흥미로울 수 있다고 그는 덧붙였습니다.

Novoselov는 "나는 그것의 아름다움에 대해 정말 흥미가 있습니다."라고 말했습니다. "매우 순수한 기하학인 기본적인 수학적 접근 방식과 2D 그래프만으로도 많은 것을 예측할 수 있습니다."

수학은 간단하다고 Senechal은 말했습니다. 그러나 “단순함을 보려면 많은 정교함이 필요하다”고 그녀는 덧붙였다.