수학자들은 매듭 추측에 대한 오랜 위협을 제거합니다.

60여 년 전에 Ralph Fox는 오늘날까지 수학자들을 괴롭히는 매듭에 대한 문제를 제기했습니다. 그의 질문 지금은 "슬라이스-리본 추측"으로 종종 공식화되는데, 이것은 두 개의 겉보기에 구별되는 매듭 그룹이 실제로는 같다고 가정합니다. 매듭의 세계 내에서 우아한 단순함을 제안함으로써 매듭 이론에서 가장 중요한 문제 중 하나가 되었습니다. "그것은 세상이 당신이 기대하는 것보다 조금 더 구조화되어 있다는 것을 의미합니다."라고 말했습니다. 아루니마 레이, 본에 있는 막스 플랑크 수학 연구소의 수학자.

수십 년 동안 하나의 특정 매듭이 추측을 해결하는 가능한 경로로 의심되었습니다. 아직 지난 여름에 게시된 종이, 다섯 명의 수학자들은 이 매듭이 결국 작동하지 않을 것이라는 것을 발견했습니다. 그들이 소개한 주장은 더 넓은 종류의 매듭에 대한 새로운 통찰력을 제공할 것이지만, 전체적으로는 수학자들이 추측에 대해 불확실하게 만듭니다. “사실로 판명될 것인지 아닌지에 대한 실질적인 정당한 논란이 있다고 생각한다”고 말했다. 크리스틴 헨드릭스, Rutgers University의 수학자.

슬라이스-리본 추측은 슬라이스 매듭과 리본 매듭의 두 가지 유형의 매듭에 관한 것입니다. 어떤 매듭이 조각인지 알아내는 것은 "우리 주제가 중심으로 돌아가는 근본적인 질문 중 하나"라고 말했습니다. 아비섹 말릭, 새 논문의 저자 중 한 명입니다.

수학적 매듭은 일반적인 끈 고리로 생각할 수 있습니다. 수학자들은 매듭이 없는 단순한 고리를 "unnot"이라고 부릅니다. (일반적인 의미의 매듭은 아니지만 수학자들은 매듭을 매듭의 가장 단순한 예로 생각합니다.)

매듭은 또한 수학자들이 디스크라고 부르는 모양의 경계를 정의합니다. 일반적인 의미에서 항상 디스크처럼 보이지는 않지만 말입니다. 가장 간단한 예인 매듭은 실제로 디스크처럼 보이는 "디스크"인 원의 경계를 형성합니다. 그러나 루프는 테이블 위에 평평하게 놓여 있는 원의 경계를 형성할 뿐만 아니라 테이블 위에 거꾸로 놓인 그릇(XNUMX차원으로 확장됨)의 경계를 형성합니다. 매듭이 정의하는 디스크는 XNUMX차원에서 XNUMX차원으로 더 확장될 수 있습니다.

끈에 매듭이 있으면 디스크가 더 복잡해집니다. XNUMX차원 공간에서 이러한 디스크에는 특이점이 있습니다. 즉, 수학적으로 잘못 작동하는 지점입니다. 슬라이스 매듭은 XNUMX차원에서 그러한 특이점이 없는 디스크를 찾는 것이 가능한 매듭입니다. 슬라이스 매듭은 "차선책 막스 플랑크 연구소(Max Planck Institute)의 피터 타이히너(Peter Teichner)는 그것을 넣었다..

그럼에도 불구하고 XNUMX차원에서 슬라이스 매듭으로 묶인 디스크는 보기 흉하고 작업하기 어려울 수 있습니다. 슬라이스 리본 추측은 반드시 그럴 필요는 없다고 말합니다.

리본 매듭은 디스크가 리본과 유사한 매듭입니다. XNUMX차원에서 이러한 리본은 일반 리본이 중앙 아래로 만들어진 틈을 통해 당겨질 수 있는 것처럼 자체적으로 통과할 수 있습니다. 수학적으로 이러한 통과를 리본 특이점이라고 합니다. 다른 유형의 특이점과 달리 리본 특이점은 XNUMX차원으로 이동하여 쉽게 제거할 수 있습니다. 이렇게 하면 수학자들이 모든 리본 매듭이 슬라이스임을 쉽게 알 수 있습니다.

모든 슬라이스 매듭이 또한 리본이라는 반대는 수십 년 동안 열린 질문이었던 슬라이스 리본 추측입니다. (문제를 더 복잡하게 만들기 위해 슬라이스 매듭에는 "부드러운 슬라이스" 및 "위상학적 슬라이스"를 포함하여 여러 관련 분류가 있습니다. 이 추측은 "매끄러운 슬라이스" 유형의 매듭에만 적용되며, 이것이 수학자들이 일반적으로 "슬라이스"로 의미하는 것입니다.)

추측이 틀렸음을 증명하려면 리본이 아닌 매끄럽게 슬라이스된 매듭을 찾는 것으로 충분합니다. 수십 년 동안 수학자들은 2자 매듭의 (1, XNUMX) 케이블을 주시했습니다. 이 케이블은 XNUMX자 매듭을 따라 두 번째 줄을 꿰고 두 줄을 합쳐 하나의 매듭을 만들어서 만들었습니다.

1980년에 Akio Kawauchi는 이 매듭이 합리적으로나 대수적으로 슬라이스되며, 매끄럽게 슬라이스되는 것과 유사하지만 완전히 동일하지는 않은 속성을 증명했습니다. 1994년 Katura Miyazaki는 그것이 리본이 아님을 증명하여 수학자들에게 긴장의 여지를 남겼습니다. Kawauchi의 결과가 매듭이 매끄럽게 슬라이스된다는 것을 보여주기 위해 터치만으로도 강화될 수 있다면 추측이 반증될 것입니다.

새 종이는 문제의 매듭이 결국 잘려나간 것이 아님을 증명하고 이 문을 쾅 닫았다.

새 논문의 저자 중 두 명과 긴밀히 협력한 Hendricks는 "슬라이스 리본 추측은 여전히 ​​강력합니다."라고 말했습니다. "사람들이 꽤 오랫동안 이 예를 이해하려고 노력했기 때문에 매우 흥미진진합니다."

새로운 증거는 분기 이중 덮개라는 것을 기반으로 합니다. 농구공처럼 속이 빈 구를 생각하면 분기된 이중 덮개를 시각화할 수 있습니다. 농구공의 가지가 있는 이중 덮개를 만들려면 경도선 중 하나를 따라 위에서 아래로 슬라이스합니다. 이제 잘라낸 고무의 한쪽을 당기고 재료가 완전히 감길 때까지 적도를 따라 늘립니다. 이 변환을 완료하면 교체 가능한 두 레이어의 재료로 구성된 농구공이 있으므로 "더블 커버"입니다. (이 시나리오에서는 고무가 깨지거나 구겨지지 않고 원하는 대로 늘어나고 비틀릴 수 있습니다.)

"branched double cover"의 "branched"는 변형의 기이함에서 비롯됩니다. 수평으로 늘렸기 때문에 공의 맨 위와 맨 아래 지점인 북극과 남극에는 여전히 하나의 레이어만 있습니다. 이러한 지점을 분기점이라고 하며 이중 덮개를 분기된 이중 덮개로 만듭니다.

매듭의 경우 가지가 있는 이중 덮개는 가지 지점이 매듭 자체가 되도록 조립됩니다. 농구공의 북극과 남극처럼 한 번만 덮이는 지점입니다.

"역사적으로 이중 분기 덮개를 보는 것은 거래의 표준 도구였습니다."라고 말했습니다. 제니퍼 홈, 새로운 논문의 저자 중 두 명과 함께 작업한 Georgia Institute of Technology의 수학자. 마치 농구공이 공기덩어리를 둘러싸듯이 슬라이스 매듭의 이중 덮개가 특정 4차원 모양을 둘러싸고 있기 때문입니다. 수학자들이 매듭의 분기된 이중 덮개가 올바른 XNUMXD 모양을 둘러싸지 않는다는 것을 보여줄 수 있다면 매듭이 슬라이스일 가능성을 배제할 수 있습니다.

그러나 이것은 2자 모양 매듭의 (1, 2) 케이블에는 제대로 작동하지 않습니다. 분기된 이중 덮개가 올바른 유형의 1차원 모양을 둘러쌉니다. XNUMX자 매듭의 (XNUMX, XNUMX) 케이블이 슬라이스가 아님을 보여주는 것은 종종 간과되는 모양의 대칭에 달려 있습니다.

농구공의 표면을 늘려 가지 모양의 이중 덮개를 형성하면 내부의 XNUMX차원 공기 공과 유사한 일을 하는 것을 상상할 수 있습니다. 공 주위의 고무를 당길 때 공기도 함께 당깁니다. 두 층의 고무가 상호 교환 가능한 것처럼 공기 덩어리에는 두 개의 반구가 있으며 둘 다 같은 위치에 있습니다. 즉, 공의 외부에서 대칭이 내부로 확장됩니다.

같은 방식으로 슬라이스 매듭의 분기된 이중 덮개의 대칭은 내부의 4D 공간에 도달합니다. 수학자들은 일반적으로 매듭이 조각이 아님을 보여주려고 할 때 이 대칭을 무시합니다. 하지만 이 경우에는 필수적이었습니다. 새 작업의 저자가 그러한 대칭이 없다는 것을 보여줄 수 있다면 매듭이 잘리지 않았다고 결론을 내릴 수 있을 것입니다.

“질문은 어떤 대칭도 언급하지 않기 때문에 다음과 같이 생각할 수 있습니다. 음, 대칭이 어떻게 그림에 나타나 그것에 대해 무언가를 말합니까? 그러나 어떻게든 마법처럼 이 경우 대칭이 그림에 나타나 문제를 해결합니다.”라고 새 논문을 저술한 Mallick은 말했습니다. 어빙 다이 스탠퍼드대학교 박정환 한국과학기술원 교수, 매튜 스토프레겐 미시간주립대학교, 그리고 강성경 한국기초과학연구원.

“우리는 그 구조가 거기에 있다는 것을 알고 있었습니다. 그러나 사람들이 그것을 연구하지 않는 이유 중 하나는 우리가 그 구조를 추적할 방법이 없었기 때문입니다.”라고 Ray는 말했습니다. "그것을 감지하려면 멋진 고성능 도구가 필요합니다."

주장을 펼치기 위해 팀은 분기된 이중 덮개보다 더 미묘한 대칭에 의존하여 매듭과 그 주변 공간과 관련된 깊고 복잡한 수학을 사용해야 했습니다. 두개의 이전 논문, Dai, Mallick 및 Stoffregen은 이러한 속성 중 일부를 계산했습니다. 강 교수가 지난 여름 미시간주립 스토프레겐을 방문했을 때, 연구자들은 2자 매듭의 (1, XNUMX) 케이블이 여전히 마음에 걸렸고, 연구원들은 그 공식이 그 슬라이스 문제를 해결할 것이라는 것을 금세 깨달았다. "이 계산이 작동해야 한다는 직감이 있습니다."라고 Kang은 말했습니다. "그리고 단지 그것을 계산함으로써 우리는 지금 당장 이 문제를 해결할 수 있을 것입니다."

XNUMX월 말, 그들의 논문은 온라인에 게시되어 매듭이 실제로 슬라이스가 아님을 증명했습니다. 박 교수는 이 논문의 아이디어가 현재 문제가 되고 있는 많은 매듭에 적용될 수 있어야 한다고 말했다. 그는 “이것은 시작에 불과하다. 이 논문은 특정 매듭에 초점을 맞추고 있지만 Park은 그들이 개발한 도구가 훨씬 더 일반적인 매듭 계열에 사용할 수 있을 것이라고 말했습니다. 그러나 원래 매듭의 비분할성(non-sliceness)은 슬라이스-리본 추측이 아직 해결되지 않은 상태로 유지되도록 합니다.