개요
2012년 수학자 모치즈키 신이치는 자신이 다음 문제를 풀었다고 주장했습니다. 알파벳 추측은 덧셈과 곱셈의 관계에 대한 정수론의 주요 공개 질문입니다. 단 한 가지 문제가 있었습니다. 500페이지가 넘는 그의 증거는 전혀 꿰뚫을 수 없었습니다. 그것은 거의 모든 수학자들이 이해하는 것이 불가능하다고 생각하는 수많은 새로운 정의, 표기법 및 이론에 의존했습니다. 몇 년 후, 두 명의 수학자들이 증명의 많은 부분을 보다 친숙한 용어로 번역했을 때 그들은 "심각한, 고칠 수 없는 격차”라는 논리로 — 단지 모치즈키가 자신의 작업을 이해하지 못했다는 이유로 그들의 주장을 거부한 것뿐입니다.
이 사건은 근본적인 질문을 제기합니다: 수학적 증명이란 무엇입니까? 우리는 그것을 어떤 영원한 진리의 계시로 생각하는 경향이 있지만 아마도 그것은 사회적 구성의 어떤 것으로 이해하는 것이 더 나을 것입니다.
앤드류 그랜빌몬트리올 대학의 수학자인 는 최근에 그것에 대해 많이 생각해 왔습니다. 그는 자신의 글 중 일부에 관해 한 철학자로부터 연락을 받은 후 “우리가 어떻게 진실에 도달하는지 생각하게 되었습니다”라고 말했습니다. "그리고 일단 그 문을 밀기 시작하면 그것이 방대한 주제라는 것을 알게 됩니다."
그랜빌은 어릴 때부터 산수를 즐겼지만 그런 것이 존재하는지 몰랐기 때문에 수학 연구 분야의 직업을 고려한 적이 없었습니다. “아버지는 14세에 학교를 떠났고, 어머니는 15~16세에 학교를 그만뒀습니다.”라고 그는 말했습니다. “그들은 당시 노동계층이 거주했던 런던 지역에서 태어났고, 대학은 그들이 생각하는 것 이상이었습니다. 그래서 우리는 전혀 몰랐습니다.”
케임브리지 대학교에서 수학을 전공한 후 그는 적응하기 시작했습니다. 레이첼 논문마틴 에이미스(Martin Amis)의 소설을 각본으로 만들었습니다. 프로젝트를 위해 작업하고 자금을 조달하는 동안 그는 사무직을 피하고 싶었습니다. 그는 고등학교와 대학 사이의 갭 이어 동안 보험 회사에서 일했고 다시 돌아가고 싶지 않았습니다. 대학원으로”라고 말했다. 영화는 시작되지 않았지만(소설은 나중에 독립적으로 영화로 만들어졌습니다), Granville은 수학 석사 학위를 취득한 후 박사 학위를 마치기 위해 캐나다로 이주했습니다. 그는 결코 뒤돌아보지 않았습니다.
개요
“정말 모험이었어요.”라고 그는 말했습니다. “사실 별로 기대하고 들어간 건 아니었어요. 저는 박사 학위가 무엇인지 전혀 몰랐습니다. 였다."
그 후 수십 년 동안 그는 주로 정수론에 관해 175개 이상의 논문을 저술했습니다. 그는 또한 대중적인 청중을 대상으로 수학에 관해 글을 쓰는 것으로도 유명해졌습니다. 2019년에 그는 그래픽 소설 시나리오 작가인 누나 제니퍼와 소수 및 관련 개념에 대해 이야기를 나눴습니다. 지난 달 "우리가 진실에 도달하는 방법"에 관한 그의 논문 중 하나는 다음과 같습니다. 출판 수학과 철학 연대기에서. 그리고 다른 수학자, 컴퓨터 과학자, 철학자들과 함께 그는 내년에 논문 모음집을 출판할 계획입니다. 미국수학회 회보 기계가 수학을 어떻게 바꿀 수 있는지에 대해.
콴타 실제로 증명이 작동하는 방식부터 그에 대한 대중적인 오해, 인공 지능 시대에 교정 작성이 어떻게 진화할 수 있는지에 이르기까지 수학적 증명의 본질에 대해 Granville과 이야기를 나눴습니다. 인터뷰는 명확성을 위해 편집되고 압축되었습니다.
당신은 최근 수학적 증명의 본질에 관한 논문을 발표했습니다. 이것이 글을 쓰는 것이 중요하다고 결정한 이유는 무엇입니까?
수학자들이 연구를 진행하는 방식은 일반적으로 대중 매체에서 잘 묘사되지 않습니다. 사람들은 수학을 순수한 생각만으로 위대한 진리에 도달하는 순수한 탐구로 보는 경향이 있습니다. 하지만 수학은 추측에 관한 것입니다. 종종 잘못된 추측이 되기도 합니다. 실험적인 과정입니다. 우리는 단계적으로 배웁니다.
예를 들어, 리만 가설이 1859년 논문에 처음 등장했을 때 그것은 마치 마술 같았습니다. 갑자기 이 놀라운 추측이 나왔습니다. 70년 동안 사람들은 위대한 사상가가 순수한 생각만으로 무엇을 할 수 있는지에 대해 이야기했습니다. 그런 다음 수학자 칼 시겔(Carl Siegel)은 괴팅겐 기록 보관소에서 리만의 스크래치 노트를 발견했습니다. 리만은 실제로 리만 제타 함수의 XNUMX 계산 페이지를 수행했습니다. Siegel의 유명한 말은 "순수한 생각만으로는 너무 많은 것"이었습니다.
따라서 사람들이 수학에 대해 글을 쓰는 방식에는 이러한 긴장감이 있습니다. 특히 일부 철학자와 역사가의 경우입니다. 그들은 우리가 순수한 마법의 생물, 과학의 유니콘이라고 생각하는 것 같습니다. 하지만 우리는 일반적으로 그렇지 않습니다. 순수한 생각만으로 되는 경우는 거의 없습니다.
개요
수학자들이 하는 일을 어떻게 특징지으시겠어요?
수학 문화는 모두 증명에 관한 것입니다. 우리는 앉아서 생각합니다. 우리가 하는 일의 95%는 증거입니다. 우리가 얻는 많은 이해는 증명에 어려움을 겪고 우리가 그 증명에 어려움을 겪을 때 나타나는 문제를 해석하는 것에서 비롯됩니다.
우리는 종종 증명을 수학적 논증으로 생각합니다. 일련의 논리적 단계를 통해 주어진 진술이 사실임을 입증합니다. 하지만 당신은 이것이 순수하고 객관적인 진실로 오해되어서는 안 된다고 쓰셨습니다. 그게 무슨 뜻 이니?
증명의 핵심은 독자에게 주장의 진실성을 설득하는 것입니다. 즉, 검증이 중요하다는 뜻입니다. 수학에서 우리가 갖고 있는 최고의 검증 시스템은 많은 사람들이 다양한 관점에서 증명을 보고, 그것이 그들이 알고 믿고 있는 맥락에 잘 들어맞는다는 것입니다. 어떤 의미에서 우리는 그것이 사실이라는 것을 알고 있다고 말하는 것이 아닙니다. 많은 사람들이 다양한 관점에서 시도했기 때문에 우리는 그것이 옳았기를 바란다고 말하고 있습니다. 증거는 이러한 커뮤니티 표준에 따라 허용됩니다.
그런 다음 객관성이라는 개념이 있습니다. 주장하는 내용이 옳다는 것을 확신하고 궁극적인 진실을 갖고 있다고 느끼는 것입니다. 하지만 우리가 객관적이라는 것을 어떻게 알 수 있나요? 자신이 발언한 맥락에서 벗어나 사회가 정한 패러다임 밖의 관점을 갖는 것은 어렵습니다. 이는 다른 어떤 것과 마찬가지로 과학적 아이디어에도 적용됩니다.
수학에서 객관적으로 흥미롭거나 중요한 것이 무엇인지 물어볼 수도 있습니다. 하지만 이것도 분명히 주관적이다. 왜 우리는 셰익스피어를 훌륭한 작가라고 생각합니까? 셰익스피어는 그 당시에는 오늘날만큼 인기가 없었습니다. 무엇이 흥미롭고 무엇이 중요한지에 대한 사회적 관습이 분명히 존재합니다. 그리고 그것은 현재 패러다임에 달려 있습니다.
개요
수학에서 그것은 어떻게 보일까요?
패러다임 변화의 가장 유명한 사례 중 하나는 미적분학입니다. 미적분학이 발명되었을 때, XNUMX으로 향하는 것을 XNUMX으로 향하는 다른 것으로 나누는 것이 포함되었습니다. 즉, XNUMX을 XNUMX으로 나누는 것은 아무런 의미가 없습니다. 처음에 뉴턴과 라이프니츠는 무한소라는 물체를 생각해 냈습니다. 이로 인해 방정식이 작동하게 되었지만 오늘날의 기준으로는 합리적이거나 엄격하지 않았습니다.
이제 우리는 19세기 말에 도입된 엡실론-델타 공식을 갖게 되었습니다. 이 현대식 공식은 매우 놀라울 정도로 이러한 개념을 올바르게 이해하는 데 확실히 좋습니다. 이전 공식을 보면 사람들이 무슨 생각을 하고 있었을까요? 하지만 당시에는 그것이 유일한 방법이라고 여겨졌습니다. 라이프니츠와 뉴턴에 공평하게 말하면 그들은 아마도 현대적인 방식을 좋아했을 것입니다. 그들은 그 시대의 패러다임 때문에 그것을 하려고 생각하지 않았습니다. 그래서 거기까지 가는 데 엄청나게 오랜 시간이 걸렸습니다.
문제는 우리가 언제 그렇게 행동하는지 모른다는 것입니다. 우리는 우리가 속한 사회에 갇혀 있습니다. 우리가 어떤 가정을 하고 있는지 말할 수 있는 외부 관점이 없습니다. 수학의 위험 중 하나는 사용하기로 선택한 언어로 쉽게 표현되거나 논의되지 않기 때문에 중요하지 않은 것으로 생각할 수 있다는 것입니다. 당신이 옳다는 뜻은 아닙니다.
저는 데카르트가 다음과 같이 말한 다음 인용문을 정말 좋아합니다. “나는 삼각형에 대해 알아야 할 모든 것을 알고 있다고 생각하지만, 내가 안다고 누가 말할 수 있겠습니까? 내 말은, 미래의 누군가가 근본적으로 다른 관점을 제시하여 삼각형에 대해 훨씬 더 나은 사고방식을 갖게 될 수도 있다는 것입니다.” 그리고 나는 그가 옳다고 생각합니다. 당신은 수학에서 그것을 볼 수 있습니다.
논문에 쓰신 것처럼 증명을 사회적 계약, 즉 저자와 수학 커뮤니티 간의 일종의 상호 합의로 생각할 수 있습니다. 우리는 Mochizuki가 주장한 증거를 통해 이것이 작동하지 않는 극단적인 예를 보았습니다. 알파벳 어림짐작.
Mochizuki는 게임이 진행되는 방식으로 게임을 플레이하고 싶지 않았기 때문에 극단적입니다. 그는 이 선택을 모호하게 만들었습니다. 사람들이 정말 새롭고 어려운 아이디어로 큰 발전을 이룰 때, 가능한 한 접근하기 쉬운 방식으로 자신의 아이디어를 설명함으로써 다른 사람들을 포함시키려고 노력하는 것이 그들의 의무라고 생각합니다. 그리고 그는 '내가 쓴 방식으로 읽고 싶지 않다면 그건 내 문제가 아닙니다. 그 사람은 자신이 하고 싶은 게임을 할 권리가 있습니다. 하지만 커뮤니티와는 아무런 관련이 없습니다. 이는 우리가 발전하는 방식과는 아무런 관련이 없습니다.
개요
증거가 사회적 맥락에서 존재한다면 시간이 지남에 따라 어떻게 변했습니까?
모든 것은 아리스토텔레스로부터 시작됩니다. 그는 일종의 연역 시스템이 필요하다고 말했습니다. 즉, 이미 알고 있고 확신하는 것, 즉 특정 “원시적 진술” 또는 공리를 바탕으로 새로운 것을 증명할 수 있다는 것입니다.
그렇다면 질문은 이렇습니다. 당신이 진실이라고 알고 있는 기본적인 것들은 무엇입니까? 아주 오랫동안 사람들은 선은 선이고 원은 원이라고 말했습니다. 간단하고 분명한 몇 가지 사항이 있으며, 이는 우리가 시작하는 가정이어야 합니다.
그 관점은 영원히 지속되었습니다. 오늘날에도 여전히 상당 부분 존재하고 있습니다. 그러나 "선은 선이다"라는 유클리드 공리 체계에는 문제가 있었습니다. 버트런드 러셀(Bertrand Russell)이 집합 개념을 바탕으로 발견한 역설이 있습니다. 더욱이, 수학적 언어로 단어 게임을 하여 공리 체계에 문제가 있음을 나타내는 "이 명제는 거짓입니다"(그것이 참이면 거짓이고, 거짓이면 참입니다)와 같은 문제 있는 진술을 만들어 낼 수 있습니다.
그래서 Russell과 Alfred Whitehead는 이러한 모든 문제를 피할 수 있는 새로운 수학 시스템을 만들려고 노력했습니다. 그러나 그것은 터무니없을 정도로 복잡했고, 이것이 시작하기에 적합한 기본 요소라고 믿기가 어려웠습니다. 아무도 그것에 대해 편안하지 않았습니다. 2 + 2 = 4를 증명하는 것과 같은 작업은 시작점부터 엄청난 공간을 차지했습니다. 그러한 시스템의 요점은 무엇입니까?
그러다가 데이비드 힐베르트(David Hilbert)가 나타나 이런 놀라운 생각을 하게 되었습니다. 어쩌면 우리는 시작하기에 옳은 것이 무엇인지 아무에게도 말해선 안 된다는 것이었습니다. 대신, 간단하고 일관적이며 일관적인 출발점인 작동하는 모든 것은 탐구할 가치가 있습니다. 당신은 당신의 공리로부터 서로 모순되는 두 가지를 추론할 수 없으며, 선택한 공리의 관점에서 대부분의 수학을 설명할 수 있어야 합니다. 그러나 그것이 무엇인지 선험적으로 말해서는 안 됩니다.
이것 역시 수학의 객관적 진리에 대한 이전 논의에 들어맞는 것 같습니다. 그렇다면 20세기 초에 수학자들은 다수의 공리 체계가 있을 수 있다는 사실, 즉 주어진 하나의 공리 세트가 보편적이거나 자명한 진리로 받아들여져서는 안 된다는 사실을 깨달았습니다.
오른쪽. 그리고 나는 힐베르트가 추상적인 이유로 이 일을 시작한 것이 아니라고 말하고 싶습니다. 그는 기하학의 다양한 개념, 즉 비유클리드 기하학에 매우 관심이 있었습니다. 매우 논란이 많았습니다. 당시 사람들은 '상자 모퉁이를 도는 선에 대해 이렇게 정의한다면 도대체 내가 왜 당신 말을 들어야 하지?'라고 생각했습니다. 그리고 힐베르트는 만약 그가 그것을 일관되고 일관되게 만들 수 있다면 여러분은 들어야 한다고 말했습니다. 왜냐하면 이것은 우리가 이해해야 할 또 다른 기하학일 수 있기 때문입니다. 그리고 어떤 공리 체계도 허용할 수 있는 이러한 관점의 변화는 기하학에만 적용되는 것이 아닙니다. 그것은 모든 수학에 적용되었습니다.
그러나 물론 어떤 것들은 다른 것보다 더 유용합니다. 따라서 우리 대부분은 ZFC라는 시스템인 동일한 10가지 원리를 사용하여 작업합니다.
이는 무엇을 추론할 수 있고 추론할 수 없는지에 대한 질문으로 이어집니다. 연속체 가설과 같이 ZFC를 사용하여 증명할 수 없는 진술이 있습니다. 11번째 공리가 있어야 합니다. 그리고 공리 시스템을 선택할 수 있기 때문에 어느 쪽이든 문제를 해결할 수 있습니다. 꽤 멋지다. 우리는 이런 종류의 복수성을 계속합니다. 무엇이 옳은지, 무엇이 그른지 명확하지 않습니다. 쿠르트 괴델(Kurt Gödel)에 따르면, 우리는 여전히 취향에 따라 선택을 해야 하며, 좋은 취향을 갖고 있기를 바랍니다. 우리는 말이 되는 일을 해야 합니다. 그리고 우리는 그렇습니다.
괴델에 대해 말하자면, 그는 여기서도 꽤 큰 역할을 합니다.
수학을 토론하려면 언어가 필요하고 해당 언어에서 따라야 할 일련의 규칙이 필요합니다. 1930년대에 괴델은 언어를 어떻게 선택하든 해당 언어에는 항상 참이지만 시작 공리에서 증명할 수 없는 진술이 있다는 것을 증명했습니다. 실제로는 그보다 더 복잡하지만 여전히 철학적 딜레마에 빠지게 됩니다. 정당화할 수 없다면 참된 진술이란 무엇입니까? 미친 짓이야.
그래서 큰 혼란이 생겼습니다. 우리가 할 수 있는 일은 제한되어 있습니다.
전문 수학자들은 대체로 이것을 무시합니다. 우리는 가능한 일에 집중합니다. Peter Sarnak은 “우리는 일하는 사람들입니다.”라고 즐겨 말합니다. 우리는 계속해서 우리가 할 수 있는 것을 증명하려고 노력합니다.
개요
이제 컴퓨터뿐만 아니라 AI까지 사용하게 되면서 증명의 개념이 어떻게 바뀌고 있나요?
우리는 컴퓨터가 엉뚱한 일을 할 수 있는 다른 곳으로 이사했습니다. 이제 사람들은 '아, 우리는 이 컴퓨터를 갖고 있어 사람들이 할 수 없는 일을 할 수 있다'고 말합니다. 하지만 그럴 수 있나요? 실제로 사람들이 할 수 없는 일을 할 수 있나요? 1950년대에 앨런 튜링(Alan Turing)은 인간이 할 수 있는 일을 더 빠르게 수행하도록 컴퓨터가 설계되었다고 말했습니다. 많이 변하지 않았습니다.
예를 들어 수학자들은 수십 년 동안 이해를 돕는 데 도움이 되는 계산을 수행하기 위해 컴퓨터를 사용해 왔습니다. AI가 할 수 있는 새로운 일은 우리가 진실이라고 믿는 것을 검증하는 것입니다. 증명 검증과 관련하여 몇 가지 놀라운 발전이 이루어졌습니다. 수학자들이 많은 증명을 검증할 수 있게 해주는 동시에 저자가 자신의 작업을 더 잘 이해할 수 있도록 돕는 [증명 보조자] Lean처럼, 검증을 위해 Lean에 입력하기 위해 아이디어 중 일부를 더 간단한 단계로 분해해야 하기 때문입니다.
그러나 이것이 무모한가? Lean이 동의한다고 해서 증명이 증명이 되는 걸까요? 어떤 면에서는 증명을 Lean의 입력으로 변환하는 사람들만큼 훌륭합니다. 이는 우리가 전통적인 수학을 수행하는 방식과 매우 유사하게 들립니다. 따라서 나는 Lean과 같은 것이 많은 오류를 범할 것이라고 믿는 것이 아닙니다. 나는 그것이 인간이 수행하는 대부분의 일보다 더 안전한지 확신하지 못합니다.
저는 컴퓨터의 역할에 대해 많은 회의감을 갖고 있는 것 같습니다. 이는 일을 올바르게 하는 데 매우 귀중한 도구가 될 수 있습니다. 특히 첫눈에 분석하기 쉽지 않은 새로운 정의에 크게 의존하는 수학을 검증하는 경우 더욱 그렇습니다. 우리 무기고에 새로운 관점, 새로운 도구, 새로운 기술을 갖는 것이 도움이 된다는 점에는 논쟁의 여지가 없습니다. 그러나 내가 부끄러워하는 것은 이제 우리가 올바른 정리를 생성하는 완벽한 논리적 기계를 갖게 될 것이라는 개념입니다.
컴퓨터로는 모든 것이 올바른지 확신할 수 없다는 점을 인정해야 합니다. 우리의 미래는 과학의 역사를 통틀어 우리가 의존해 온 공동체 의식, 즉 우리가 서로를 튕겨내는 감각에 의존해야 합니다. 같은 것을 전혀 다른 관점에서 보는 사람들과 이야기를 나누는 것입니다. 등등.
하지만 이러한 기술이 더욱 정교해짐에 따라 미래에는 이러한 일이 어떻게 진행될 것이라고 보시나요?
아마도 증거를 만드는 데 도움이 될 수 있습니다. 아마도 XNUMX년 후에 저는 ChatGPT와 같은 AI 모델에게 이렇게 말할 것입니다. “이건 어디선가 본 것 같아요. 확인해 보시겠어요?” 그리고 그것은 올바른 비슷한 진술로 돌아올 것입니다.
그리고 일단 그것이 아주 아주 능숙해지면 아마도 한 단계 더 나아가서 "나는 이것을 어떻게 해야 할지 모르겠지만, 이런 일을 한 사람이 있습니까?"라고 말할 수 있을 것입니다. 아마도 결국 AI 모델은 문헌을 검색하여 다른 곳에서 사용된 도구를 제공하는 숙련된 방법을 찾을 수 있을 것입니다. 이는 수학자가 예측할 수 없는 방식으로 가능합니다.
그러나 ChatGPT가 어떻게 특정 수준을 넘어 우리를 능가하는 방식으로 증명을 수행할 수 있는지 이해가 되지 않습니다. ChatGPT 및 기타 기계 학습 프로그램은 생각하지 않습니다. 그들은 많은 예를 바탕으로 단어 연관을 사용하고 있습니다. 따라서 훈련 데이터를 초월할 가능성은 거의 없어 보입니다. 하지만 만약 그런 일이 일어난다면 수학자들은 어떻게 할 것인가? 우리가 하는 일 중 많은 부분이 증거입니다. 우리에게서 증거를 빼앗으면 우리가 누구인지 알 수 없습니다.
그럼에도 불구하고 우리가 컴퓨터 지원을 어디로 가져갈 것인지 생각할 때 우리는 인간의 노력에서 배운 모든 교훈, 즉 서로 다른 언어 사용, 협력, 서로 다른 관점의 중요성을 고려해야 합니다. 다양한 커뮤니티가 함께 모여 증거를 연구하고 이해하는 방식에는 견고함과 건강함이 있습니다. 수학에서 컴퓨터의 도움을 받으려면 같은 방식으로 이를 강화해야 합니다.
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