De theoreticus die wiskunde ziet in kunst, muziek en schrijven | Quanta-tijdschrift

Sarah Hart heeft altijd oog gehad voor de heimelijke manieren waarop wiskunde andere vakgebieden doordringt. Als kind werd ze getroffen door de alomtegenwoordigheid van het getal 3 in haar sprookjes. Harts moeder, een wiskundeleraar, moedigde haar aan om naar patronen te zoeken en gaf haar wiskundepuzzels om de tijd te doden.

Hart behaalde in 2000 een doctoraat in groepentheorie en werd later professor aan Birkbeck, Universiteit van Londen. Harts onderzoek onderzocht de structuur van Coxeter-groepen, meer algemene versies van structuren die de symmetrieën van polygonen en prisma's catalogiseren. In 2023 publiceerde ze Er was eens een primeur, een boek over de manieren waarop wiskunde voorkomt in fictie en poëzie. “Aangezien wij mensen deel uitmaken van het universum, is het niet meer dan normaal dat onze vormen van creatieve expressie, waaronder de literatuur, ook een neiging tot patroon en structuur zullen vertonen”, schreef Hart. “Wiskunde is dus de sleutel tot een heel ander perspectief op literatuur.”

Sinds 2020 is Hart hoogleraar meetkunde aan het Gresham College in Londen. Gresham heeft geen traditionele cursussen; in plaats daarvan geven de professoren elk meerdere openbare lezingen per jaar. Hart is de eerste vrouw die ooit de 428-jarige positie bekleedde, die in de 17e eeuw werd bezet door Isaac Barrow, beroemd vanwege het onderwijzen van een andere Isaac (Newton). Meer recentelijk was het in handen van Roger Penrose, een wiskundige die in 2020 de Nobelprijs voor de natuurkunde won. Hart sprak met Quanta over hoe wiskunde en kunst elkaar beïnvloeden. Het interview is voor de duidelijkheid ingekort en bewerkt.

Waarom heb je ervoor gekozen om je boek te schrijven over de verbanden tussen wiskunde en literatuur?

Deze verbanden zijn minder onderzocht en minder bekend dan die tussen wiskunde en bijvoorbeeld muziek. De verbindingen tussen wiskunde en muziek worden al sinds de Pythagoreeërs gevierd. Hoewel er geschreven en academisch onderzoek is gedaan naar specifieke boeken, auteurs of genres, had ik echter nog geen boek voor een algemeen publiek gezien over de bredere verbanden tussen wiskunde en literatuur.

Hoe moeten mensen in de kunsten over wiskunde denken?

Er zijn veel raakvlakken tussen wiskunde en, zal ik zeggen, de andere kunsten. In de literatuur, maar ook in de muziek en de kunst, begin je nooit met helemaal niets. Als je een dichter bent, kies je: krijg ik een haiku met zijn zeer precieze numerieke beperkingen, of schrijf ik een sonnet met een bepaald aantal regels, een bepaald rijmschema, een bepaald metrum? Zelfs iets dat geen rijmschema heeft, heeft regeleinden, een ritme. Er zullen beperkingen zijn die creativiteit stimuleren, die je helpen je te concentreren.

In de wiskunde hebben we hetzelfde. We hebben een aantal basisregels. Daarbinnen kunnen we verkennen, spelen en stellingen bewijzen. Wat wiskunde voor de kunsten kan doen, is nieuwe structuren helpen vinden, laten zien wat de mogelijkheden zijn. Hoe zou een muziekstuk eruit zien dat geen toonsoort heeft? We kunnen over de twaalf tonen nadenken en ze anders rangschikken, en hier zijn alle manieren waarop u dat kunt doen. Hier zijn verschillende kleurenschema's die u kunt bedenken, hier zijn verschillende vormen van poëtisch metrum.

Wat is een voorbeeld van hoe wiskunde is beïnvloed door literatuur?

Duizenden jaren geleden probeerden dichters in India na te denken over de mogelijke meters. In Sanskrietpoëzie heb je lange en korte lettergrepen. Lang is twee keer zo lang als kort. Als je wilt uitrekenen hoeveel er zijn die een tijdsduur van drie nodig hebben, kun je kort, kort, kort of lang, kort of kort, lang gebruiken. Er zijn drie manieren om er drie te maken. Er zijn vijf manieren om een ​​zin van vier lengte te maken. En er zijn acht manieren om een ​​zin van vijf lengte te maken. Deze reeks die je krijgt is er een waarbij elke term de som is van de voorgaande twee. Je reproduceert precies wat we tegenwoordig de Fibonacci-reeks noemen. Maar dit was eeuwen vóór Fibonacci.

Hoe zit het met de invloed van wiskunde op literatuur?

Een vrij eenvoudige reeks, maar die heel, heel krachtig werkt, is het boek van Eleanor Catton De armaturen, dat in 2013 uitkwam. Ze gebruikte de reeks 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Elk hoofdstuk in dat boek is de helft zo lang als het voorgaande. Het creëert een echt fascinerend effect, omdat het tempo toeneemt en de keuzes van de personages beperkter worden. Alles raast naar zijn conclusie. Aan het einde zijn de hoofdstukken extreem kort.

Een ander voorbeeld van een iets ingewikkelder wiskundige structuur zijn de zogenaamde orthogonale Latijnse vierkanten. Een Latijns vierkant lijkt op een sudoku-raster. In dit geval zou het een raster van 10 bij 10 zijn. Elk getal komt precies één keer voor in elke rij en in elke kolom. Orthogonale Latijnse vierkanten worden gevormd door twee Latijnse vierkanten over elkaar heen te leggen, zodat er in elke ruimte een paar getallen staan. Het raster gevormd door het eerste getal in elk paar is een Latijns vierkant, en dat geldt ook voor het raster gevormd door het tweede getal in elk paar. Bovendien komt in het parenraster geen enkel paar meer dan één keer voor.

Deze zijn op allerlei manieren erg handig. Je kunt er foutcorrectiecodes van maken, die handig zijn voor het verzenden van berichten via luidruchtige kanalen. Maar een van de mooie dingen aan deze specifieke, maat 10, is dat een van de grootste wiskundigen aller tijden, Leonhard Euler, dacht dat ze niet konden bestaan. Het was een van de weinige keren dat hij een fout maakte; daarom was het zo spannend. Lang nadat hij dit vermoeden had geuit dat deze dingen niet konden bestaan ​​voor bepaalde maten, werd dit weerlegd en werden in 1959 vierkanten van deze omvang gevonden. deksel of Scientific American dat jaar.

Jaren later zocht een Franse schrijver, Georges Perec, naar een structuur om voor zijn boek te gebruiken Leven: een gebruikershandleiding. Hij koos een van deze orthogonale Latijnse vierkanten. Hij plaatste zijn boek in een flatgebouw in Parijs, dat 100 kamers had, een vierkant van 10 bij 10. Elk hoofdstuk bevond zich in een andere kamer en elk hoofdstuk had zijn unieke smaak. Hij had lijsten met tien dingen: verschillende stoffen, kleuren, dat soort dingen. Elk hoofdstuk zou een unieke combinatie gebruiken. Het is een heel fascinerende manier om het boek te structureren.

Je hecht duidelijk waarde aan goed schrijven. Wat vindt u van de kwaliteit van het schrijven in wiskundeonderzoekspapers?

Het is heel wisselend! Ik weet dat we beknoptheid op prijs stellen, maar ik denk dat dat soms te ver gaat. Er zijn te veel artikelen die geen bruikbare voorbeelden bevatten.

Wat wij juist waarderen is een ingenieus argument dat, omdat het alle zaken zo slim in één keer bestrijkt, ook kort en elegant is. Dat is niet hetzelfde als je lange betoog in een kleinere ruimte samendrukken dan nodig is, door de pagina te bedekken met mysterieuze tekens die je hebt gemaakt om de notatie korter te maken, maar die niet alleen de lezer maar waarschijnlijk ook jijzelf moeizaam zult moeten uitpakken. nogmaals om enig idee te krijgen van wat er aan de hand is.

We besteden niet genoeg aandacht aan nuttige notaties die de lezer eraan herinneren wat er bedoeld wordt. De juiste notatie kan een stukje wiskunde absoluut transformeren en kan ook ruimte maken voor generalisaties. Denk eens aan de historische overgang van het schrijven van een onbekende, het vierkant naar de kubus met drie verschillende letters, en hoeveel waarschijnlijker, en zelfs mogelijk, het is om te gaan nadenken over  wanneer je bent begonnen met schrijven ,  en  in plaats daarvan.

Zie jij evolutie in de verbanden tussen wiskunde en kunst?

Er zijn voortdurend nieuwe dingen. Fractals waren overal in de jaren negentig. Aan de muur van elke studentenkamer hing een afbeelding van de Mandelbrot-set of iets dergelijks. Iedereen zei: "Oh, dit is spannend, fractals." Je hebt bijvoorbeeld muzikanten en componisten die fractale sequenties in hun composities gebruiken.

Toen ik ongeveer 16 was, waren er nieuwe dingen die grafische rekenmachines werden genoemd. Erg opwindend. En een vriend van mijn moeder gaf me dit programma waarmee ik een Mandelbrot-set kon tekenen op een van deze kleine grafische rekenmachines. Het had ongeveer, ik weet het niet, 200 pixels. Je programmeert dit ding in, en dan moest ik het 12 uur laten staan. Het zou deze 200 punten aan het einde ervan uitzetten. Dus zelfs gewone schoolkinderen konden eind jaren tachtig en begin jaren negentig hiermee aan de slag gaan en deze foto's voor zichzelf maken.

Zelfs toen je op school zat, was je al erg geïnteresseerd in hardcore wiskunde, zo klinkt het.

 Ik denk dat ik al geïnteresseerd was voordat ik zelfs maar wist dat dit betekende dat ik wiskundig was. Ik was bijvoorbeeld altijd al patronen aan het maken toen ik nog een klein, klein kind was.

Toen ik nog heel klein was, bestond mijn favoriete speelgoed uit een paar heel eenvoudige houten beschilderde tegels. Ze kwamen in allemaal verschillende kleuren. Ik maakte er patronen van, keek er een dag of zo trots naar, en maakte er dan nog een.

Toen ik wat ouder werd, speelde ik met cijfers en keek ik naar patronen. Mijn moeder zou degene zijn naar wie ik zou gaan en zeggen: 'Ik verveel me.' En dan zei ze: ‘Kun jij uitzoeken wat het patroon is van het aantal punten dat je nodig hebt om een ​​driehoek te maken?’ of wat het ook was. Ze zou me de driehoekige getallen laten herontdekken of zoiets, en ik zou erg opgewonden zijn.

Mijn arme moeder, het aantal geweldige uitvindingen waarmee ik naar mijn moeder zou gaan. “Ik heb een geheel nieuwe manier ontwikkeld om iets te doen!” En ze zei: 'Oké, dat is heel leuk. Maar weet je, Descartes dacht daar eeuwen geleden al aan.” En dan zou ik gaan; Een paar dagen later kwam ik op een ander geweldig idee. ‘Dat is mooi, lieverd. Maar de oude Grieken hadden die al.”

Kunt u zich bijzonder bevredigende momenten herinneren uit uw carrière als wiskundig onderzoek?

De momenten waarop je eindelijk begrijpt wat het patroon is dat je ziet, zijn altijd bevredigend, net als wanneer je erachter komt hoe je een bewijs kunt voltooien waarmee je hebt geworsteld. Mijn sterkste herinneringen aan die gevoelens van verrukking, waarschijnlijk omdat het de eerste keer was dat ik ze voelde, dateren van het begin van mijn onderzoekscarrière. Maar het is nog steeds een heerlijk gevoel om die ‘aha’ te krijgen, als je eindelijk begrijpt wat er aan de hand is.

Al heel vroeg probeerde ik iets te bewijzen over oneindige Coxeter-groepen. Ik had een aantal gevallen opgelost, en toen ik naar de rest keek, kwam ik op een techniek die zou werken als aan een specifiek criterium werd voldaan. Je kunt deze relaties in een grafiek schrijven, dus begon ik een verzameling grafieken samen te stellen waarop mijn techniek kon worden toegepast. Dit was een jaar lang met Kerstmis.

Na een tijdje begon mijn reeks foto's te lijken op een bepaalde reeks grafieken die vermeld stonden in een boek over Coxeter-groepen dat op mijn kantoor lag, en ik begon te hopen dat het exact deze reeks grafieken was. Als dat zo was, zou dat het gat in mijn bewijs opvullen en zou mijn stelling af zijn. Maar ik kon het pas met zekerheid controleren toen ik na Kerstmis weer op de universiteit kwam; dit was voordat je zomaar alles kon googlen. Ik denk dat de verwachting dat ik moest wachten om mijn vermoeden te bevestigen het nog beter maakte toen ik bij het boek kwam en mijn handgeschreven reeks diagrammen vergeleek met die in het boek, en ze kwamen inderdaad overeen.

Wat vind jij van de vraag of wiskunde gecreëerd of ontdekt is? Bijna niemand zou beweren dat de romanschrijvers over wie u in uw boek schrijft, hun romans ‘ontdekt’ hebben. Is dit een fundamenteel verschil tussen wiskunde en literatuur of niet?

Dat is waarschijnlijk zo, ook al zijn er nog steeds enkele resonanties.

Wiskunde doen voelt als een ontdekking. Als wij de wiskunde zouden uitvinden, zou het zeker niet zo moeilijk zijn om dingen te bewijzen! Soms willen we heel graag dat iets waar is, maar dat is niet zo. We kunnen de gevolgen van logica niet vermijden, denk ik.

Het voelt allemaal als een ontdekking als je het doet. Sommige keuzes weerspiegelen wat we in de echte wereld ervaren, zoals de axioma's van de geometrie waarmee we werken, die worden gekozen omdat dat ongeveer lijkt te zijn hoe de werkelijkheid is - hoewel er zelfs daar niet zoiets bestaat als een 'punt' of een 'punt'. lijn” (omdat we niet iets kunnen tekenen dat geen ruimte in beslag neemt, en een lijn in de geometrie heeft geen breedte en strekt zich oneindig ver uit).

Tot op zekere hoogte zijn er parallellen met dit continuüm in de literatuur. Zodra u de regels van een sonnet heeft gedefinieerd, zult u moeite hebben om er een te schrijven waarvan de eerste regel eindigt met ‘oranje’ of ‘schoorsteen’.

Maar ik kan het niet laten om iets te delen J.R.R. Tolkien zei over schrijven The Hobbit: “Het begon allemaal toen ik examenpapieren las om wat bij te verdienen. … Nou, op een dag kwam ik op een lege pagina in een examenboek terecht en ik krabbelde erop. ‘In een gat in de grond leefde een hobbit.’ Ik wist niet meer over de wezens dan dat, en het duurde jaren voordat zijn verhaal groeide. Ik weet niet waar het woord vandaan komt.”

Hobbits – heeft hij ze gemaakt of ontdekt?