Wiskundigen elimineren langdurige bedreiging voor knoopvermoeden

Ruim zestig jaar geleden stelde Ralph Fox een probleem over knopen op dat wiskundigen tot op de dag van vandaag achtervolgt. Zijn vraag wordt nu vaak geformuleerd als het ‘plakje-lint-vermoeden’, dat stelt dat twee ogenschijnlijk verschillende groepen knopen in werkelijkheid hetzelfde zijn. Met zijn suggestie van elegante eenvoud binnen de wereld van knopen, is het een van de meest spraakmakende problemen in de knopentheorie geworden. “Het zou betekenen dat de wereld een beetje meer gestructureerd is dan je anders zou verwachten”, zei hij Arunima Ray, een wiskundige aan het Max Planck Instituut voor Wiskunde in Bonn.

Decennia lang werd vermoed dat één bepaalde knoop een mogelijke route zou zijn om het vermoeden te beslechten. Toch in een krant die afgelopen zomer werd geplaatstontdekten vijf wiskundigen dat deze knoop toch niet gaat werken. Hoewel de argumenten die ze hebben geïntroduceerd nieuwe inzichten zullen verschaffen in een bredere klasse van knopen, laat het werk als geheel wiskundigen onzeker over het vermoeden. "Ik denk dat er daadwerkelijke legitieme controverse bestaat over de vraag of het waar zal blijken te zijn of niet", zei hij Kristen Hendriks, een wiskundige aan de Rutgers Universiteit.

Het vermoeden van het plaklint heeft betrekking op twee soorten knopen: plakknopen en lintknopen. Uitzoeken welke knopen doorgesneden zijn, is “een van de fundamentele vragen waar ons onderwerp om draait”, zegt hij Abishek Mallick, een van de auteurs van het nieuwe artikel.

Een wiskundige knoop kan worden gezien als een gewone lus van touw. Wiskundigen noemen een eenvoudige lus zonder knoop erin de ‘onknoop’. (Hoewel dit geen knoop is in de gewone zin van het woord, beschouwen wiskundigen de onknoop als het eenvoudigste voorbeeld van een knoop.)

Knopen definiëren ook de grens van een vorm die wiskundigen een schijf noemen, ook al ziet deze er niet altijd schijfachtig uit in de gewone zin van het woord. Het eenvoudigste voorbeeld, de unknot, vormt de grens van een cirkel – een ‘schijf’ die er inderdaad uitziet als een schijf. Maar de lus vormt niet alleen de grens van een cirkel die plat op een tafel ligt, maar ook van een kom – die zich in drie dimensies uitstrekt – die ondersteboven op de tafel wordt gelegd. De schijven die door knopen worden gedefinieerd, kunnen verder worden uitgebreid van drie dimensies naar vier.

Als er een knoop in het touwtje zit, worden de schijven ingewikkelder. In de driedimensionale ruimte hebben deze schijven singulariteiten: punten waarop ze zich wiskundig slecht gedragen. Plakknopen zijn knopen waarvoor het mogelijk is – in vier dimensies – een schijf te vinden zonder zulke singulariteiten. Plakknopen zijn de “op één na beste ding tot het onnozele”, zoals Peter Teichner, eveneens van het Max Planck Instituut, heeft het gezegd.

Desondanks kunnen de schijven die in drie dimensies worden begrensd door plakknopen lelijk en moeilijk zijn om mee te werken. Het vermoeden van een plaklint zegt dat dit niet noodzakelijkerwijs zo hoeft te zijn.

Lintknopen zijn knopen waarvan de schijven op linten lijken. In drie dimensies kunnen deze linten door zichzelf heen gaan, net zoals een gewoon lint door een snee in het midden kan worden getrokken. Wiskundig gezien wordt zo'n doorgang een lint-singulariteit genoemd. In tegenstelling tot andere typen singulariteiten kan de singulariteit van het lint eenvoudig worden geëlimineerd door naar vier dimensies te gaan. Dit maakt het voor wiskundigen gemakkelijk om aan te tonen dat alle lintknopen gesneden zijn.

Het tegenovergestelde – dat elke plakknoop ook een lint is – is het vermoeden van een plaklint, dat al tientallen jaren een open vraag is. (Om de zaken nog ingewikkelder te maken, hebben slice-knopen verschillende verwante classificaties, waaronder ‘smoothly slice’ en ‘topologically slice’. Het vermoeden is alleen van toepassing op de ‘smoothly slice’-soort knoop, wat wiskundigen gewoonlijk bedoelen met ‘slice’.)

Om het vermoeden te weerleggen, volstaat het om een ​​knoop te vinden die glad is doorgesneden, maar geen lint. Decennia lang hadden wiskundigen een kandidaat op het oog: de (2, 1) kabel van de achtvormige knoop, gemaakt door een tweede snaar langs een achtvormige knoop te rijgen en vervolgens de twee snaren samen te voegen tot één enkele knoop.

In 1980 bewees Akio Kawauchi dat deze knoop zowel rationeel als algebraïsch gesneden is, eigenschappen die vergelijkbaar zijn met vloeiend snijden, maar niet helemaal hetzelfde. In 1994 bewees Katura Miyazaki dat het geen lint is, wat een spannende opening achterliet voor wiskundigen. Als Kawauchi's resultaat met slechts één aanraking zou kunnen worden versterkt om aan te tonen dat de knoop soepel is doorgesneden, zou dit het vermoeden weerleggen.

Het nieuwe artikel bewijst dat de knoop in kwestie toch niet doorgesneden is en slaat de deur dicht.

“Het vermoeden van een sneetje lint is nog steeds actueel”, zegt Hendricks, die nauw heeft samengewerkt met twee van de auteurs van het nieuwe artikel. “Dat is heel spannend, want mensen proberen dit voorbeeld al heel lang te begrijpen.”

Het nieuwe bewijs is gebaseerd op iets dat een vertakte dubbele dekking wordt genoemd. Je kunt een vertakte dubbele dekking visualiseren door aan een holle bol te denken, zoals een basketbal. Om een ​​vertakte dubbele hoes van een basketbal te maken, snijdt u deze van boven naar beneden open langs een van de lengtelijnen. Trek nu aan één kant van het rubber waar je hebt gesneden en strek het langs de evenaar totdat het materiaal er helemaal omheen wikkelt. Zodra je deze transformatie hebt voltooid, heb je een basketbal gemaakt van twee verwisselbare lagen materiaal, vandaar de ‘dubbele hoes’. (In dit scenario kan het rubber worden uitgerekt en gedraaid zoals u wilt, zonder te breken of te kreukelen.)

De “vertakt” in “vertakte dubbele dekking” komt voort uit een eigenaardigheid van de transformatie. Omdat je je horizontaal hebt uitgerekt, is er nog steeds maar één laag helemaal bovenaan en onderaan de bal, de noord- en zuidpool. Deze punten worden vertakkingspunten genoemd en door hun aanwezigheid wordt de dubbele dekking een vertakte dubbele dekking.

Als het om knopen gaat, is de vertakte dubbele hoes zo samengesteld dat de takpunten de knoop zelf zijn: de punten die, net als de noord- en zuidpool van de basketbal, maar één keer bedekt zijn.

“Historisch gezien was het kijken naar dubbelvertakte omslagen een standaardinstrument in de branche”, zegt hij Jennifer Hom, een wiskundige aan het Georgia Institute of Technology die met twee van de auteurs van het nieuwe artikel heeft samengewerkt. Dit komt omdat – net zoals een basketbal een luchtbal omringt – de vertakte dubbele afdekking van een plakknoop een bepaalde vierdimensionale vorm omringt. Als wiskundigen kunnen aantonen dat de vertakte dubbele omhulling van een knoop niet de juiste 4D-vorm omringt, kunnen ze de mogelijkheid uitsluiten dat de knoop een plak is.

Maar dit werkt niet helemaal voor de (2, 1) kabel van de achtvormige knoop: de vertakte dubbele afdekking omringt wel het juiste type vierdimensionale vorm. Aantonen dat de (2, 1) kabel van de achtvormige knoop geen plak is, hangt af van een vaak over het hoofd geziene symmetrie van de vorm.

Wanneer je het oppervlak van een basketbal uitrekt om een ​​vertakte dubbele omhulling te vormen, kun je je voorstellen dat je iets doet dat analoog is aan de driedimensionale luchtbal binnenin. Terwijl je het rubber rond de bal trekt, trek je gewoon de lucht mee. Net zoals de twee lagen rubber uitwisselbaar zijn, zitten er in de luchtbal twee halve bollen die allebei op dezelfde plek terechtkomen. Met andere woorden: de symmetrie van de buitenkant van de bal strekt zich uit naar de binnenkant.

Op dezelfde manier reiken de symmetrieën op de vertakte dubbele afdekking van een plakknoop tot in de 4D-ruimte daarbinnen. Wiskundigen negeren deze symmetrie gewoonlijk wanneer ze proberen aan te tonen dat knopen geen plakjes zijn. Maar in dit geval was het essentieel. Als de auteurs van het nieuwe werk konden aantonen dat een dergelijke symmetrie niet bestond, zouden ze kunnen concluderen dat de knoop niet doorgesneden is.

“Omdat de vraag naar geen enkele symmetrie verwijst, zou je denken: nou, hoe komt de symmetrie in beeld om er iets over te zeggen? Maar op de een of andere manier, op magische wijze, komt in dit geval de symmetrie naar voren en lost het het probleem voor je op”, zegt Mallick, die het nieuwe artikel schreef met Irving Dai van Stanford University, JungHwan Park van het Korea Advanced Institute of Science and Technology, Matthew Stoffregen van de Michigan State University, en Sungkyung Kang van het Instituut voor Basiswetenschappen in Zuid-Korea.

“We wisten dat die structuur er was. Maar een deel van de reden waarom mensen het niet bestudeerden, is dat we die structuur niet konden volgen, ‘zei Ray. "Je hebt een mooi, krachtig hulpmiddel nodig om dat te detecteren."

Om dit argument kracht bij te zetten moest het team gebruik maken van diepgaande, ingewikkelde wiskunde die verband hield met de knoop en de omringende ruimte, waarbij ze zich baseerden op symmetrieën die nog subtieler waren dan die van de vertakte dubbele omhulling. In tweeën eerdere papierenDai, Mallick en Stoffregen hadden enkele van deze eigenschappen berekend. Toen Kang afgelopen zomer een bezoek bracht aan Stoffregen in de staat Michigan, terwijl hij nog steeds aan de (2, 1) kabel van de XNUMX-knoop dacht, beseften de onderzoekers al snel dat deze formules het probleem van de plakbaarheid ervan zouden oplossen. "Er is een intuïtie die me vertelde dat deze berekening zou moeten werken", zei Kang. “En door het alleen maar te berekenen, zouden we dit probleem nu meteen moeten kunnen oplossen.”

Eind juli werd hun artikel online geplaatst, wat bewees dat de knoop in feite niet doorgesneden was. De ideeën in het artikel zouden volgens Park van toepassing moeten zijn op veel knopen waarvan de snijbaarheid momenteel in twijfel wordt getrokken. “Dit is nog maar het begin”, zei hij. Hoewel dit artikel zich richt op een bepaalde knoop, zei Park dat de tools die ze ontwikkelden, zullen werken voor veel meer algemene knopenfamilies. De niet-snijdbaarheid van de oorspronkelijke knoop zorgt er echter voor dat het vermoeden van een plaklint voorlopig onzeker zal blijven.