Wiskundigen verbazen zich over 'gekke' sneden door vier dimensies | Quanta-tijdschrift

De centrale studieobjecten in de topologie zijn ruimtes die spruitstukken worden genoemd en die er plat uitzien als je erop inzoomt. Het oppervlak van een bol is bijvoorbeeld een tweedimensionaal verdeelstuk. Topologen begrijpen dergelijke tweedimensionale variëteiten heel goed. En ze hebben hulpmiddelen ontwikkeld waarmee ze driedimensionale spruitstukken en die met vijf of meer dimensies kunnen begrijpen.

Maar in vier dimensies “loopt alles een beetje gek”, zei hij Sam Hughes, een postdoctoraal onderzoeker aan de Universiteit van Oxford. Gereedschap werkt niet meer; exotisch gedrag ontstaat. Als Tom Mrowka van het Massachusetts Institute of Technology legde uit: “Er is net genoeg ruimte voor interessante verschijnselen, maar niet zo veel ruimte dat ze uit elkaar vallen.”

Begin jaren negentig kwamen Mrowka en Peter Kronheimer van Harvard University bestudeerden hoe tweedimensionale oppervlakken kunnen worden ingebed in vierdimensionale spruitstukken. Ze ontwikkelden nieuwe technieken om deze oppervlakken te karakteriseren, waardoor ze cruciale inzichten konden verwerven in de anders ontoegankelijke structuur van vierdimensionale spruitstukken. Hun bevindingen suggereerden dat de leden van een brede klasse van oppervlakken allemaal op relatief eenvoudige wijze door hun moederverdeelstuk snijden, waarbij een fundamentele eigenschap onveranderd blijft. Maar niemand kon bewijzen dat dit altijd waar was.

In februari, samen met Daniël Ruberman van Brandeis Universiteit, Hughes construeerde een reeks tegenvoorbeelden – ‘gekke’ tweedimensionale oppervlakken die hun oudervariëteiten ontleden op manieren waarvan wiskundigen dachten dat ze onmogelijk waren. De tegenvoorbeelden laten zien dat vierdimensionale variëteiten nog opmerkelijker divers zijn dan wiskundigen in eerdere decennia hadden gerealiseerd. “Het is echt prachtig papier”, zei Mrowka. “Ik blijf er gewoon naar kijken. Er zijn daar heel veel heerlijke kleine dingen.”

Een lijst maken

Eind vorig jaar, Ruberman hielp organiseren een conferentie die een nieuwe lijst creëerde van de belangrijkste open problemen in de laagdimensionale topologie. Ter voorbereiding ervan bekeek hij een eerdere lijst van belangrijke onopgeloste topologische problemen uit 1997. Daarin stond een vraag die Kronheimer had gesteld op basis van zijn werk met Mrowka. “Het zat erin, en ik denk dat het een beetje vergeten was”, zei Ruberman. Nu dacht hij dat hij het kon beantwoorden.

Om de vraag te begrijpen, helpt het om eerst twee sleutelideeën te overwegen: simpelweg verbonden spruitstukken, en de fundamentele groep.

Eenvoudig verbonden spruitstukken zijn ruimtes waar geen gaten doorheen gaan. In één dimensie is een oneindige lijn eenvoudigweg verbonden, maar een cirkel niet. In twee dimensies zijn een oneindig vlak en het oppervlak van een bol eenvoudigweg met elkaar verbonden, maar het oppervlak van een donut niet.

Wiskundigen maken dit onderscheid rigoureus door lussen op een verdeelstuk te plaatsen en na te denken over hoe ze kunnen worden vervormd. Als een lus tot een punt kan worden verkleind, wordt eenvoudigweg een verdeelstuk aangesloten. Op een vlak of op het oppervlak van een bol is dit bijvoorbeeld mogelijk; denk erover om een ​​touwtje strak te trekken. Maar als dat touwtje rond een cirkel gaat, kan het niet krimpen. Op dezelfde manier kunnen lussen die rond of door het centrale gat gaan, op het oppervlak van een donut niet tot één enkel punt worden vervormd. De donut zelf staat in de weg.

Wiskundigen classificeren ruimtes die niet eenvoudigweg met elkaar verbonden zijn door hun ‘fundamentele groep’ te berekenen, een object waarvan de structuur weerspiegelt hoe lussen krimpen. Verdeelstukken die eenvoudigweg met elkaar verbonden zijn, hebben een ‘triviale’ fundamentele groep met slechts één element. Maar spruitstukken met gaten erin hebben ingewikkelder fundamentele groepen.

Vierdimensionale spruitstukken die eenvoudigweg met elkaar verbonden zijn, kunnen nog steeds heel vreemd zijn. Om ze te begrijpen, denken wiskundigen na over wat er kan gebeuren met de tweedimensionale oppervlakken die erin zijn ingebed.

Denk er, naar analogie, eens over na om een ​​lusje touw plat op een stuk papier te leggen. Je kunt er niet veel mee doen. Maar als je het optilt in de driedimensionale ruimte, kun je het in ingewikkelde knopen leggen. De manieren waarop je de snaar kunt manipuleren – een eendimensionaal verdeelstuk – verduidelijken de aard van de ruimte waarin deze is ingebed.

Op dezelfde manier zijn tweedimensionale oppervlakken in de meer gecompliceerde wereld van vier dimensies “op veel verschillende manieren de sleutel tot het hele bedrijf”, zei Ruberman. “Oppervlakken vertellen je veel meer over een vierdimensionaal spruitstuk dan je mag verwachten.” Met oppervlakken kun je onderscheid maken tussen spruitstukken: Als een oppervlak wel in het ene spruitstuk kan leven, maar niet in het andere, weet je dat de spruitstukken verschillend zijn. En oppervlakken kunnen worden gebruikt om nieuwe spruitstukken uit oude te bouwen.

Oppervlakken hebben ook overeenkomstige fundamentele groepen. En dat geldt ook voor hun complementen: het deel van een verdeelstuk dat overblijft als je het oppervlak weghaalt. Verwijder de evenaar uit tweedimensionale spruitstukken zoals het oppervlak van een bol of donut, bijvoorbeeld, en je krijgt twee losgekoppelde hemisferen. Maar het oppervlak van de donut blijft heel als je een verticale ring verwijdert in plaats van een horizontale. Op dezelfde manier kun je, afhankelijk van hoe je een oppervlak uit een vierdimensionaal verdeelstuk snijdt, verschillende soorten complementen krijgen.

In de jaren negentig onderzochten Mrowka en Kronheimer wat er gebeurt als je een tweedimensionaal oppervlak uit een vierdimensionaal verdeelstuk snijdt. Als het verdeelstuk zelf eenvoudigweg verbonden is, aan welke voorwaarden moeten oppervlakken dan voldoen om te garanderen dat hun complementen ook eenvoudigweg verbonden moeten zijn?

Kronheimer en Mrowka wisten dat sommige soorten oppervlakken complementen konden hebben die niet simpelweg met elkaar verbonden waren. Maar hun werk leek erop te wijzen dat een andere brede klasse van oppervlakken altijd eenvoudigweg verbonden complementen moet hebben.

Bijna dertig jaar lang kon niemand een voorbeeld vinden van een oppervlak in die klasse waarvan het complement niet eenvoudigweg met elkaar verbonden was. Maar in de herfst van 2023, nadat hij het probleem tegenkwam, dacht Ruberman dat hij dat wel kon. In plaats van te beginnen met een vierdimensionaal verdeelstuk en daar een oppervlak uit te snijden, begon hij met een tweedimensionaal oppervlak dat de nodige eigenschappen had en bouwde daar een verdeelstuk omheen.

Eerst maakte hij het oppervlak vet tot een vierdimensionale klodder. Deze vierdimensionale klodder had een driedimensionale grens, net zoals een driedimensionaal object zoals een bal een tweedimensionale grens heeft. Ruberman wilde aan de andere kant van de grens een zorgvuldig gekozen vierdimensionaal verdeelstuk bevestigen, dat als aanvulling op het oppervlak zou dienen. Als het spel zou werken, zou dit spruitstuk een gecompliceerde fundamentele groep hebben, maar de fundamentele groep van alles bij elkaar zou triviaal zijn. Het nieuw geconstrueerde vierdimensionale verdeelstuk zou daarom eenvoudigweg met elkaar verbonden kunnen worden.

Maar om alles op de juiste manier aan elkaar te kunnen lijmen, moest hij laten zien dat de grondgroep van de nieuwe toevoeging aan allerlei eigenschappen voldeed. “Ik had geen idee hoe ik dat moest doen”, zei Ruberman.

In januari hield Hughes – een groepstheoreticus – een lezing in Brandeis. Ruberman zat in het publiek. Hij besefte dat Hughes misschien het ontbrekende stuk had waarnaar hij op zoek was. De twee ontmoetten elkaar de volgende dag en binnen een paar uur hadden ze de belangrijkste ideeën uitgewerkt die ze nodig hadden. Wat Ruberman miste “is iets dat groepstheoretici op dit moment al zeventig, tachtig jaar aan het berekenen zijn”, zei Hughes. “We zijn hier al een eeuwigheid mee bezig.” Aan het einde van de week hadden ze een voltooid bewijs.

“Ik wist sommige dingen, en hij wist sommige dingen, en samen wisten we genoeg om het gewoon te doen”, zei Ruberman.

Vanwege de manier waarop groepentheorie in het bewijs wordt gebruikt, "is het een beetje ongebruikelijk", zei hij Maggie Molenaar van de Universiteit van Texas, Austin. “Het is een beetje anders geschreven dan waar de meeste vierdimensionale topologen zich prettig bij zouden voelen.”

Het resultaat is wederom een ​​voorbeeld van hoe ingewikkeld de vierdimensionale topologie kan zijn. "Er zijn interessantere inbedding van oppervlakken dan we dachten", zei Hughes. Dit maakt het moeilijker om variëteiten te classificeren, en moeilijker om andere soorten resultaten hierover te bewijzen.

Niettemin werd in maart İnanç Baykur van de Universiteit van Massachusetts, Amherst, die vorig jaar samen met Ruberman de lijstconferentie organiseerde, kondigde de oplossing aan naar een ander probleem waarbij eenvoudigweg verbonden vierdimensionale spruitstukken uit de lijst van 1997 betrokken zijn.

Het lijkt erop dat de topologen het huis aan het schoonmaken zijn.