Introduksjon
Gina, geometristudenten, var oppe for sent i går kveld og gjorde lekser mens hun så på The Great British Bake Off, så da hun endelig la seg, var det søvnige sinnet hennes fortsatt fullt av cupcakes og kompasser. Dette førte til en høyst uvanlig drøm.
Gina fant seg selv som dommer for Great Brownie Bake Off ved Imaginary University, en skole der elevene lærer mye geometri, men svært lite aritmetikk. Lag med Imaginary U-studenter fikk i oppgave å lage den største brownien de kunne, og det var opp til Gina å avgjøre vinneren.
Team Alpha var først i mål, og de presenterte stolt sin rektangulære brownie for bedømmelse. Gina trakk frem en linjal og målte brownien: Den var 16 tommer lang og 9 tommer bred. Team Beta fulgte raskt etter med sin firkantede brownie, som målte 12 tommer på hver side. Det var da problemene begynte.
"Vår brownie er mye lengre enn din," sa Team Alphas kaptein. "Vår er helt klart større, så vi er vinnerne!"
"Men kortsiden av rektangelet ditt er mye kortere enn siden av kvadratet vårt," sa en representant fra Team Beta. «Torget vårt er klart større. Vi har vunnet!"
Gina syntes det var rart å krangle om dette. "Arealet til den rektangulære brownien er 9 ganger 16, som er 144 kvadrattommer," sa hun. "Arealet til den firkantede brownien er 12 ganger 12, som også er 144 kvadrattommer. Browniene har samme størrelse: Det er et slips.»
Begge lag så forvirret ut. "Jeg forstår ikke hva du mener med "tider," sa en student, som aldri hadde blitt undervist i multiplikasjon. "Ikke jeg heller," sa en annen. En tredje sa: "Jeg hørte om studenter ved Complex College som målte området ved å bruke tall én gang, men hva betyr det egentlig?" Imaginary University var virkelig et merkelig sted, selv når drømmer går.
Hva skulle Gina gjøre? Hvordan kunne hun overbevise teamene om at browniene deres var like store hvis de ikke forsto hvordan de skulle måle areal og multiplisere tall? Heldigvis hadde Gina en genial idé. "Gi meg en kniv," sa hun.
Gina målte 12 tommer ned langs langsiden av den rektangulære brownien og gjorde et kutt parallelt med kortsiden. Dette gjorde det store rektangelet til to mindre: en som målte 9 x 12 og den andre 9 x 4. Med tre raske kutt gjorde hun 9-av-4-stykket til tre mindre 3-av-4-stykker. Litt omorganisering resulterte i hørbare ohs og aahs fra mengden: Gina hadde gjort rektangelet om til en nøyaktig kopi av firkanten.
Begge lag måtte nå bli enige om at browniene deres var like store. Ved å dissekere den ene og omorganisere den for å danne den andre, viste Gina at de to browniene okkuperte samme totale areal. Disseksjoner som dette har blitt brukt i geometri i tusenvis av år for å vise at figurer er like store, og det er mange bemerkelsesverdige resultater om disseksjoner og ekvivalens. Selv i dag bruker matematikere fortsatt disseksjon og omorganisering for fullt ut å forstå når visse former er like, noe som fører til noen overraskende nylige resultater.
Du har sannsynligvis sett geometriske disseksjoner i matematikktimen når du utviklet områdeformlene for grunnleggende former. For eksempel husker du kanskje at arealet til et parallellogram er lik lengden på basen ganger høyden: Dette er fordi et parallellogram kan dissekeres og omorganiseres til et rektangel.
Denne disseksjonen viser at arealet av parallellogrammet er lik arealet til et rektangel med samme base og høyde, som, som alle som ikke deltok på Imaginary University vet, er produktet av disse to tallene.
Når vi snakker om Imaginary U, var Great Brownie Bake Off akkurat oppvarmet. Team Gamma nærmet seg med en stor trekantet brownie. "Her er vinneren," kunngjorde de dristig. "Begge sider er mye lengre enn de andre."
Gina målte sidene. "Dette har det samme området også!" utbrøt hun. «Dette er en rettvinklet trekant, og bena måler 18 og 16, og så området er … » Gina stoppet et øyeblikk og la merke til de forvirrede blikkene på alles ansikter. "Bare glem det. Bare gi meg kniven."
Gina skar behendig fra midtpunktet av hypotenusen til midtpunktet på det lengre benet, og roterte deretter den nydannede trekanten slik at den ble et perfekt rektangel når den ble plassert i det større stykket.
"Det er akkurat vår brownie!" ropte Team Alpha. Riktig nok var det resulterende rektangelet 9 x 16: nøyaktig samme størrelse som deres.
Team Beta hadde sine tvil. "Men hvordan er denne trekanten sammenlignet med kvadratet vårt?" spurte laglederen deres.
Gina var klar for det. "Vi vet allerede at rektangelet og kvadratet har samme størrelse, så ved transitivitet er trekanten og kvadratet like store." Transitivitet er en av de viktigste egenskapene til likhet: Den sier at hvis a = b og b = c, deretter a = c. Gina fortsatte: "Hvis arealet til den første brownien er lik arealet til den andre, og arealet til den andre brownien er lik arealet til den tredje, må den første og tredje brownien også ha like store arealer."
Men Gina hadde det for mye moro med disseksjoner til å stoppe der. "Eller vi kan bare gjøre noen flere kutt."
Først roterte Gina rektangelet som tidligere var en trekant. Så kuttet hun den med nøyaktig samme mønster hun hadde brukt på Team Alphas rektangel.
Så viste hun hvordan denne nye disseksjonen av Team Gammas trekant kunne gjøres om til Team Betas firkant, akkurat som hun hadde gjort med Team Alphas rektangel.
I denne situasjonen sier vi at trekanten og firkanten er "sakskongruente": Du kan tenke deg å bruke saks til å kutte opp en figur i endelig mange biter som deretter kan omorganiseres for å danne den andre. Når det gjelder trekanten og firkanten, viser brownies nøyaktig hvordan denne sakskongruensen fungerer.
Legg merke til at mønsteret fungerer i begge retninger: Det kan brukes til å gjøre trekanten om til firkanten eller firkanten til trekanten. Sakskongruens er med andre ord symmetrisk: Hvis form A er sakskongruent med form B, så er form B også sakskongruent med form A.
Faktisk viser argumentet ovenfor som involverer trekanten, rektangelet og kvadratet at sakskongruens også er transitiv. Siden trekanten er saks kongruent med rektangelet og rektangelet er saks kongruent med kvadratet, er trekanten saks kongruent med kvadratet. Beviset er i mønstrene: Legg dem over på mellomformen, slik det ble gjort med rektangelet ovenfor.
Hvis du kutter trekanten i stykker som danner rektangelet, og deretter skjærer opp rektangelet i stykker som utgjør firkanten, kan de resulterende stykkene brukes til å danne hvilken som helst av de tre formene.
Det faktum at sakskongruens er transitiv er kjernen i et fantastisk resultat: Hvis to polygoner har samme areal, så er de sakskongruente. Dette betyr at, gitt to polygoner med samme areal, kan du alltid kutte en opp i et begrenset antall stykker og omorganisere dem for å lage den andre.
Beviset for dette bemerkelsesverdige teoremet er også bemerkelsesverdig enkelt. Først deler du hver polygon i trekanter.
For det andre gjør du hver trekant til et rektangel, på samme måte som Gina omorganiserte den trekantede brownien.
Nå kommer den vanskelige tekniske delen: Gjør hvert rektangel til et nytt rektangel som er én enhet bredt.
For å gjøre dette, begynn å kutte av biter fra rektangelet som er en enhet bred.
Hvis du kan kutte rektangelet i et integrert antall stykker med bredde 1, er du ferdig: Bare stable dem oppå hverandre. Ellers slutter du å hakke når den siste biten er mellom 1 og 2 enheter bred, og stable resten oppå hverandre.
Ikke bekymre deg hvis selve rektangelet er mindre enn 1 enhet bredt: Bare del det i to og bruk de to delene til å lage et nytt rektangel som er dobbelt så langt og halvparten så tykt. Gjenta etter behov til du har et rektangel mellom 1 og 2 enheter bredt.
Tenk deg nå at dette siste rektangelet har høyde h og bredde w, med 1 < w < 2. Vi skal kutte opp det rektangelet og omorganisere det til et rektangel med bredde 1 og høyde h × w. For å gjøre dette, overlegg h × w rektangel med ønsket hw × 1 rektangel som dette.
Klipp deretter fra hjørne til hjørne langs den stiplede linjen, og klipp av den lille trekanten nederst til høyre etter høyre kant av hw × 1 rektangel.
Dette kutter h × w rektangel i tre deler som kan omorganiseres til en hw × 1 rektangel. (Å rettferdiggjøre denne siste disseksjonen krever noen smarte argumenter som involverer lignende trekanter. Se øvelsene nedenfor for detaljer.)
Til slutt, legg dette siste rektangelet på toppen av stabelen, og du har gjort om denne polygonen - egentlig hvilken som helst polygon - til et rektangel med bredde 1.
Nå hvis arealet av den opprinnelige polygonen var A, da må høyden på dette rektangelet være A, så hver polygon med areal A er saks kongruent med et rektangel med bredde 1 og høyde A. Det betyr at hvis to polygoner har areal A, så er de begge saks kongruente med samme rektangel, så ved transitivitet er de saks kongruente med hverandre. Dette viser at hver polygon med areal A er saks kongruent med annenhver polygon med areal A.
Men selv dette kraftige resultatet var ikke nok til å fullføre bedømmelsen av Imaginary Universitys Brownie Bake Off. Det var fortsatt én påmelding igjen, og ingen ble overrasket over hva Team Pi dukket opp med.
I det øyeblikket Gina så den sirkelen komme, våknet hun kaldsvette fra drømmen sin. Hun visste at det var umulig å kutte opp en sirkel i uendelig mange biter og omorganisere dem for å danne en firkant, eller et rektangel eller en hvilken som helst polygon. I 1964 beviste matematikerne Lester Dubins, Morris Hirsch og Jack Karush at en sirkel ikke er saks kongruent med noen polygon. Ginas drøm hadde blitt til et geometrisk mareritt.
Men som de alltid ser ut til å gjøre, gjorde matematikere denne hindringen til ny matematikk. I 1990 beviste Miklós Laczkovich at det er mulig å skjære opp en sirkel og omorganisere den til en firkant, så lenge du kan bruke uendelig små, uendelig frakoblede, uendelig taggete biter som umulig kan produseres med en saks.
Så overraskende og spennende som Laczkovichs resultat var, viste det bare at en slik dekomponering er teoretisk mulig. Den forklarte ikke hvordan man konstruerer brikkene, bare at de kunne eksistere. Det var her Andras Máthé, Oleg Pikhurko og Jonathan Noel kom inn: Tidlig i 2022 postet et papir der de matchet Laczkovichs prestasjon, men med stykker som er mulig å visualisere.
Dessverre vil du ikke kunne bruke resultatet deres til å avgjøre eventuelle brownie-bake-offs. Saks alene kan ikke produsere de 10200 biter som trengs i nedbrytningen. Men det er enda et skritt fremover i å svare på en lang rekke spørsmål som startet da Archimedes først oppfant, eller oppdaget, $latex pi$. Og det holder oss i bevegelse mot å finne opp, eller oppdage, ny matematikk som tidligere generasjoner ikke kunne drømme om.
Øvelser
1. Forklar hvordan vi vet at i utledningen av arealformelen for et parallellogram, passer trekanten vi skjærer av perfekt inn i rommet på den andre siden av parallellogrammet.
2. Forklar hvorfor en hvilken som helst trekant kan dissekeres til et rektangel.
For øvelse 3 og 4, vurder diagrammet som ble brukt for å vise at en h × w rektangel er saks kongruent med an hw × 1 rektangel, med punkter merket.
3. Forklar hvorfor $latex triangle$ XYQ ligner på $latekstriangle$ ABX. Hva gjør dette lengden på QY?
4. Forklar hvorfor $latex triangle$ PCX er kongruent med $latex triangle$ AZQ.
Klikk for svar 1:
Det er mange måter å vise at de to trekantene er kongruente. En måte er å merke seg at avstanden mellom parallelle linjer er konstant, så de to rette trekantene har et par kongruente ben.
Og i et parallellogram er motsatte sider kongruente, noe som gjør de to trekantene kongruente ved hypotenus-bentrekantkongruenssetningen. Du kan også lage et argument ved å bruke vinkel-side-vinkel trekantkongruensteoremet.
Klikk for svar 2:
Et av de store elementære resultatene i trekantgeometri er trekant-midtsegmentteoremet: Hvis du kobler midtpunktene til to sider av en trekant, er det resulterende linjestykket parallelt med og halvparten av lengden av den tredje siden.
Fordi segmentet er parallelt med den tredje siden, er vinkel 1 og 3 kongruente tilsvarende vinkler. Og vinklene 1 og 2 er innvendige vinkler på samme side, så de er supplerende, noe som betyr at målene deres summerer til 180 grader. Siden $latexangle$ 1 er kongruent med $latexangle$ 3, betyr det at vinklene 3 og 2 også er supplerende.
Således, når du snur den øverste trekanten rundt og til høyre, vil de kongruente sidene passe perfekt sammen, og vinklene 2 og 3 vil danne en rett linje.
Dette gjør trekanten om til et parallellogram, som, som vi allerede vet, kan gjøres om til et rektangel.
Klikk for svar 3:
Siden BXYZ er et rektangel, begge $latexangle$ ZBC og $latexangle$ ZYX er rette vinkler. Og siden motsatte sider av et rektangel er parallelle, gjør dette $latexangle$ YQX kongruent med $latexangle$ AXB, da de er alternative innvendige vinkler. Altså $latekstriangle$ XYQ ligner på $latekstriangle$ ABX ved vinkel-vinkel likhet. I lignende trekanter er sidene i proporsjon, så $latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. Dermed $latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$, og så QY = 1. Legg merke til at siden $latexangle$ ADC er en rett vinkel og $latex vinkel$ DAP og $latex angle$ YQX er kongruente korresponderende vinkler, dette gjør $latex trekant$ DAP kongruent med $latekstriangle$ YQX. Dette beviser at du kan skyve $latextriangle$ YQX inn i stedet som for øyeblikket er okkupert av $latex triangle$ DAP, som er nødvendig i sakskongruensargumentet.
Klikk for svar 4:
Legg merke til at $latex angle$ AZQ og $latexangle$ PCX er begge rette vinkler, og dermed kongruente. Ved å bruke egenskaper til parallelle linjer som i oppgave 3, kan vi også se at $latex vinkel$ AQZ og $latex angle$ PX-utvidelse er kongruente korresponderende vinkler. Også i øvelse 3 viste vi det QY = 1. Dette gjør QZ = w − 1, som er akkurat det CX er lik. Dermed $latex trekant$ PCX er kongruent med $latex triangle$ AZQ ved vinkel-side-vinkel trekantkongruens. Dette begrunner den andre delen av argumentet om at en h × w rektangel er saks kongruent med an hw × 1 rektangel.
