Introduksjon
Tenk deg at et rutenett av sekskanter, bikakelignende, strekker seg foran deg. Noen sekskanter er tomme; andre er fylt av en 6 fot høy søyle av solid betong. Resultatet er en slags labyrint. I over et halvt århundre har matematikere stilt spørsmål om slike tilfeldig genererte labyrinter. Hvor stort er det største nettet av ryddede stier? Hva er sjansene for at det er en sti fra den ene kanten til midten av rutenettet og ut igjen? Hvordan endrer disse sjansene seg når rutenettet svulmer i størrelse, og legger til flere og flere sekskanter til kantene?
Disse spørsmålene er enkle å svare på hvis det enten er mye tomt eller mye betong. Si at hver sekskant er tildelt sin tilstand tilfeldig, uavhengig av alle de andre sekskantene, med en sannsynlighet som er konstant over hele rutenettet. Det kan for eksempel være 1 % sjanse for at hver sekskant er tom. Betong fyller rutenettet, og etterlater bare små luftlommer mellom, noe som gjør sjansen for å finne en vei til kanten i praksis null. På den annen side, hvis det er 99 % sjanse for at hver sekskant er tom, er det bare et tynt dryss av betongvegger, punkterende deler av åpen plass – ikke mye av en labyrint. Å finne en sti fra sentrum til kanten i dette tilfellet er nesten en visshet.
For store rutenett er det en bemerkelsesverdig plutselig endring når sannsynligheten når 1/2. Akkurat som is smelter til flytende vann ved nøyaktig null grader Celsius, endres karakteren til labyrinten drastisk ved dette overgangspunktet, kalt den kritiske sannsynligheten. Under den kritiske sannsynligheten vil det meste av rutenettet ligge under betong, mens tomme stier alltid kommer til blindveier. Over den kritiske sannsynligheten står massive områder tomme, og det er betongveggene som garantert vil forsvinne. Hvis du stopper nøyaktig ved den kritiske sannsynligheten, vil betong og tomhet balansere hverandre, og ingen av dem er i stand til å dominere labyrinten.
"På det kritiske punktet er det som dukker opp en høyere grad av symmetri," sa Michael Aizenman, en matematisk fysiker ved Princeton University. "Det åpner døren til en enorm samling av matematikk." Den har også praktiske anvendelser til alt fra design av gassmasker til analyser av hvordan smittsomme sykdommer sprer seg eller hvordan olje siver gjennom steiner.
I en papir lagt ut i fjor høst, fire forskere har endelig beregnet sjansen for å finne en vei for labyrinter med den kritiske sannsynligheten 1/2.
Et våpenkappløp
Som doktorgradsstudent i Frankrike på midten av 2000-tallet, Pierre Nolin studerte det kritiske sannsynlighetsscenarioet i detalj. Den tilfeldige labyrinten, mener han, er "en virkelig vakker modell, kanskje en av de enkleste modellene du kan finne opp." Nær slutten av doktorgradsstudiet, som han avsluttet i 2008, ble Nolin betatt av et spesielt utfordrende spørsmål om hvordan et sekskantet rutenett ved kritisk sannsynlighet oppfører seg. Si at du bygger et rutenett rundt et sentralt punkt, slik at det tilnærmer seg en sirkel, og at du tilfeldig bygger labyrinten din derfra. Nolin ønsket å utforske sjansen for at du vil være i stand til å finne en åpen sti som strekker seg fra kanten til midten og ut igjen, uten å gå tilbake. Matematikere kaller dette en monokromatisk toarmet vei, fordi både de innover og utover "armer" er på åpne veier. (Noen ganger blir slike rutenett på samme måte tenkt som laget av to forskjellige farger, for eksempel lyseblått og mørkeblått, snarere enn av åpne og lukkede celler.) Hvis du øker størrelsen på labyrinten, vil lengden på den nødvendige banen også vokse. , og sjansen for å finne en slik sti vil bli mindre og mindre. Men hvor raskt reduseres oddsen når labyrinten vokser seg vilkårlig stor?
Enklere relaterte spørsmål ble besvart for flere tiår siden. Beregninger fra 1979 av Marcel den Nijs estimerte sjansen for at du kan finne én vei, eller arm, fra kanten til midten. (Sett dette opp mot Nolins krav om at det skal være én arm inn og en separat ut.) Den Nijs sitt arbeid spådde at sjansen for å finne én arm i et sekskantet rutenett er proporsjonal med $latex 1/n^{5/48}$ , hvor n er antall fliser fra midten til kanten, eller radiusen til rutenettet. I 2002, Gregory Lawler, Oded Schramm og Wendelin Werner endelig beviste at enarmsprediksjonen var riktig. For å kvantifisere den avtagende sannsynligheten etter hvert som størrelsen på rutenettet vokser, bruker forskere eksponenten fra nevneren, 5/48, som er kjent som enarmseksponenten.
Nolin ønsket å beregne den mer unnvikende monokromatiske toarmseksponenten. Numeriske simuleringer i 1999 viste at den var veldig nær 0.3568, men matematikere klarte ikke å fastslå den nøyaktige verdien.
Det var mye lettere å beregne det som er kjent som den polykromatiske toarmseksponenten, som karakteriserer sjansen for at du, med start i midten, ikke bare kan finne en "åpen" bane til omkretsen, men også en separat "lukket" bane. (Tenk på den lukkede stien som en som krysser toppen av betongveggene i labyrinten.) I 2001, Stanislav Smirnov og Werner beviste at denne eksponenten var 1/4. (Fordi 1/4 er vesentlig større enn 5/48, krymper $latex 1/n^{1/4}$ raskere enn $latex 1/n^{5/48}$ som n vokser. Sjansen for en polykromatisk to-arms struktur er mye lavere enn sjansen for en arm, som man kunne forvente.)
Den beregningen hadde støttet seg tungt på kunnskap om formen til klynger i grafen. Tenk deg at en labyrint med den kritiske sannsynligheten er ekstremt stor - består av millioner og millioner av sekskanter. Finn nå en klynge med tomme sekskanter og spor kanten av klyngen med en tykk svart Sharpie. Dette vil sannsynligvis ikke resultere i en enkel, rund blob. Fra miles i luften vil du se en slingrende kurve som hele tiden dobler seg tilbake, ofte som om den er i ferd med å krysse seg selv, men aldri helt forplikter seg.
Dette er en type kurve kalt en SLE-kurve, introdusert av Schramm i en 2000 papir som omdefinerte feltet. En matematiker som studerer sjansene for å finne én åpen sti og én lukket sti vet at disse stiene må sitte inne i større klynger av åpne og lukkede steder, som til slutt møtes langs en SLE-kurve. De matematiske egenskapene til SLE-kurver oversettes deretter til uvurderlig informasjon om stier i labyrinten. Men hvis matematikere søker etter flere veier av samme type, mister SLE-kurver mye av effektiviteten.
I 2007 hadde Nolin og hans samarbeidspartner Vincent Beffara laget numeriske simuleringer som viste at den monokromatiske toarmseksponenten var omtrent 0.35. Dette var mistenkelig nær 17/48 - summen av enarmseksponenten, 5/48, og den polykromatiske toarmseksponenten, 1/4 (eller 12/48). "17/48 er virkelig slående," sa Nolin. Han begynte å mistenke at 17/48 var det sanne svaret - noe som betyr at det var en enkel kobling mellom de forskjellige typene eksponenter. Du kan bare legge dem sammen. «Vi sa, OK, det er for godt til å være usant; det må være sant."
Introduksjon
På en stund kom det ingenting ut av Nolin og Beffaras formodning, selv om Nolin la det ut på nettstedet sitt for andre å jobbe fra. Han flyttet til Hong Kong i 2017 for å ta opp et professorat ved City University of Hong Kong, og fortsatte å jobbe med problemet. I 2018 tok han opp eksponenten i samtale med Wei Qian, som da var postdoktor ved University of Cambridge i England. Qian studerte tilfeldig geometri i kontinuerlig snarere enn diskret kontekst, med et spesielt fokus på SLE-kurver. Hun var midt i et prosjekt som brukte SLE til å beregne eksponenter i en annen type tilfeldig modell, og Nolin begynte å mistenke at ekspertisen hennes også var relevant for den monokromatiske toarmseksponenten. Paret fant snart en enkel tilsynelatende ligning hvis løsning ville gi eksponenten, men den ligningen var avhengig av en mellomstor mengde som hadde å gjøre med rommet omsluttet av en SLE-kurve ved kanten av rutenettet. Nolin og Qian klarte ikke å feste det nummeret.
"Jeg gjorde mange beregninger, men jeg var fortsatt ikke i stand til å beregne denne egenskapen," sa Qian. "Jeg lyktes ikke, så jeg bare stoppet en stund."
"Vi nevnte det aldri for noen fordi vi ikke var sikre på om det ville være nyttig eller ikke," la Nolin til.
ryggradseksponenten
Den monokromatiske toarmseksponenten er spesielt interessant fordi den også beskriver "ryggraden" i et rutenett: samlingen av sekskanter som er koblet til to distinkte armer som strekker seg til to ikke-overlappende armer: en til kanten av labyrinten og en til sitt sentrum. Når disse sidene er farget inn, danner de et nett som strekker seg over hele rutenettet og kalles ryggraden. Når forskere modellerer spredningen av sykdom eller porøse fjellformasjoner, er ryggraden en motorvei som mikrober eller olje kan strømme langs. Eksponenten Nolin og Qian søkte avslører størrelsen på ryggraden og omtales som ryggradseksponenten.
Nolin og Qian var ikke de eneste etter ryggraden. Xin Sun, da ved University of Pennsylvania, hadde også forsøkt å beregne ryggradseksponenten. I løpet av de foregående årene hadde Sun og samarbeidspartnere, inkludert Nina Holden fra New York University, funnet ut en måte å studere SLE-kurver ved å bruke tilfeldige fraktale overflater. Disse viltvoksende, buede overflatene har skråkanter som strekker seg inn i lange ranker. Noen punkter er et kort hopp fra naboene, mens andre er en måneder lang reise. Noen steder er disse effektene for ekstreme til å kunne visualiseres. "Det er faktisk ikke mulig å tegne det" helt nøyaktig, sa Holden. "Du må liksom strekke overflaten mye."
Sommeren 2022 vervet Sun Zijie Zhuang, en andreårsstudent, til å bli med på studiet av den tilfeldige labyrinten med kritisk sannsynlighet. De vurderte tilfeldige labyrinter der sekskantene lå på en tilfeldig fraktal overflate, i stedet for på et flatt plan. Fordi tilfeldighetene bestemmer hvor og hvor mye overflaten strekkes og komprimeres, har overflaten unike egenskaper. (Disse egenskapene gjør også slike overflater nyttige for fysikere som studerer modeller av kvantetyngdekraften i et todimensjonalt univers, og gir dem navnet: Liouville kvantetyngdekraftsoverflater.) Hvis du for eksempel tar saks til en slik overflate, vil formene til to halvdeler er ikke avhengige av hverandre. "Den slags uavhengighet forenkler virkelig ting enormt," sa Scott Sheffield ved Massachusetts Institute of Technology. Når ting er tilfeldige, vet du mindre om dem, men det kan bety mindre informasjon å gjøre rede for.
Sun og Zhuang prøvde først å bestemme sannsynligheten for at det var en åpen bane som forbinder en liten sirkel rundt rutenettets sentrum til en større, omkringliggende sirkel. Etter at de svarte på det spørsmålet, foreslo Sun et steg opp i ambisjon: å beregne sjansen for at det var to baner som forbinder de nestede sirklene, noe som ville gitt dem en måte å beregne ryggradseksponenten på. Snart fikk de imidlertid vanskeligheter. "Vi prøvde denne tilnærmingen i flere måneder, men beregningen ser ikke ut til å være veldig gjennomførbar," skrev Zhuang i en e-post.
Introduksjon
I mellomtiden, selv om Nolin og Qian ikke hadde lyktes i å finne verdien av eksponenten, gjorde de fremgang på andre måter. Qian tok permisjon fra sin stilling ved det franske nasjonale senteret for vitenskapelig forskning og begynte i Nolin som professor ved City University of Hong Kong. (De giftet seg også.) Sommeren 2021 kom hun over noen få artikler fra Sun og hans samarbeidspartnere som fascinerte henne, så da pandemiske reiserestriksjoner ble opphevet, planla hun et besøk i desember 2022 til Institute for Advanced Study i Princeton , New Jersey, hvor Sun tilbrakte året.
Det viste seg å være et lønnsomt besøk. Da Qian beskrev ligningen hun og Nolin hadde funnet, begynte Sun å tenke at den kunne være mottagelig for hans og Zhuangs teknikk for å overlegge labyrinter på Liouville kvantetyngdekraftsoverflater. "Det er en slags tilfeldighet," sa Sun. "En fyr har en lås, en fyr har en nøkkel."
Zhuang var litt skeptisk. "Vi har ingen spådommer, og vi vet ikke engang om formelen vil ha en fin løsning," sa han og beskrev tingenes tilstand på den tiden. Sun og Zhuang brukte de neste månedene på å bruke Liouville kvantegravitasjonsteknikker – nøkkelen – for å låse opp den unnvikende mengden i Nolin og Qians ligning fra år tidligere – låsen.
Etter fire måneders arbeid hadde Sun og Zhuang åpnet den metaforiske låsen. Sun sendte en e-post til Zhuang, Qian og Nolin, og proklamerte: "Great News: Exact Formula for Backbone Exponent." Svaret, fant han, var et moderat komplisert uttrykk for kvadratrøtter og den trigonometriske sinusfunksjonen. Det var i samsvar med de tidligere estimatene, en endeløs strøm av sifre som begynte med 0.3566668.
De fire forvandlet arbeidet sitt til et skriftlig papir, og foredlet argumentasjonen til ideene fra Nolin og Qian på den ene siden, og Sun og Zhuang på den andre, kom sammen for å skape et bevis på at Sheffield, som var Suns doktorgradsrådgiver, kalte "en vakker perle." "Bevisstrategien er definitivt overraskende og veldig original, men når du ser den, er det også noe som føles litt naturlig," sa Holden.
Nolin beklager sin mistanke fra 2011 om at eksponenten var nøyaktig 17/48. "Vi villedet feltet en god stund. Jeg er ikke særlig stolt av det.» Ryggradens eksponent er slående forskjellig fra sine polykromatiske fettere. Ikke bare er det irrasjonelt, men det er også transcendentalt, noe som betyr at som $latex pi$ og e, kan den ikke skrives som løsningen på en enkel polynomligning.
"Beviset forklarer egentlig ikke hvor denne formelen kommer fra," sa han. "Vi har vist det til fysikere, og vi ser virkelig frem til deres innsikt."
Den transcendentale karakteren til ryggradseksponenten fanget oppmerksomheten til andre i feltet. Gregory Huber fra Chan Zuckerberg Biohub, som var medforfatter av en oppfølgingsartikkel om ryggradseksponenten, sa han at han tror resultatet er det "første glimtet av et nytt kontinent" innen statistisk mekanikk. Selv om det å kombinere SLE-kurver og Liouville kvantetyngdekraft er ekstremt teknisk, er det klare og enkle numeriske svaret som dukket opp, skrev han, "utrolig enkelt og elegant."
- SEO-drevet innhold og PR-distribusjon. Bli forsterket i dag.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Styrk deg selv. Tilgang her.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Kunnskap forsterket. Tilgang her.
- PlatoESG. Karbon, CleanTech, Energi, Miljø, Solenergi, Avfallshåndtering. Tilgang her.
- PlatoHelse. Bioteknologisk og klinisk etterretning. Tilgang her.
- kilde: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
- : har
- :er
- :ikke
- :hvor
- ][s
- $OPP
- 2001
- 2008
- 2011
- 2017
- 2018
- 2021
- 2022
- 35%
- a
- I stand
- Om oss
- ovenfor
- AC
- accord
- Logg inn
- nøyaktig
- tvers
- faktisk
- legge til
- la til
- legge
- avansert
- Affairs
- Etter
- en gang til
- siden
- AIR
- Alle
- langs
- også
- ambisjon
- mottagelig
- an
- analyser
- og
- En annen
- besvare
- noen
- søknader
- tilnærming
- tilnærmer
- ER
- argument
- ARM
- armer
- rundt
- AS
- tildelt
- At
- oppmerksomhet
- tilbake
- Backbone
- Balansere
- BE
- vakker
- ble
- fordi
- vært
- før du
- begynte
- Begynnelsen
- under
- mellom
- Stor
- Bit
- Svart
- Blå
- kroppen
- både
- brakte
- bygge
- men
- by
- beregne
- beregnet
- beregning
- beregningen
- beregninger
- som heter
- Samtaler
- cambridge
- kom
- CAN
- kan ikke
- saken
- fanget
- Celler
- Celsius
- sentrum
- sentral
- Århundre
- viss
- utfordrende
- chan
- sjanse
- sjansene
- endring
- Endringer
- karakter
- karakteriserer
- Circle
- sirkler
- City
- City University of Hong Kong
- fjerne
- Lukke
- stengt
- Cluster
- tilfeldighet
- samarbeidspartnere
- samling
- Kolonne
- kombinert
- kombinere
- Kom
- kommer
- begå
- helt
- komplisert
- beregningen
- beregninger
- Beregn
- betong
- formodninger
- tilkoblet
- Tilkobling
- ansett
- konstant
- stadig
- kontekst
- kontinuerlig
- kontrast
- Samtale
- korrigere
- kunne
- skape
- opprettet
- kritisk
- Kryss
- skjøger
- mørk
- død
- tiår
- Desember
- helt sikkert
- Grad
- avhenge
- beskrevet
- beskriver
- beskrive
- utforming
- detalj
- Bestem
- bestemmes
- gJORDE
- forskjellig
- vanskeligheter
- sifre
- avtagende
- sykdom
- sykdommer
- distinkt
- do
- ikke
- Dominere
- ikke
- Av
- Dobler
- ned
- drastisk
- tegne
- hver enkelt
- Tidligere
- enklere
- lett
- Edge
- effektivt
- effektivitet
- effekter
- enten
- emalje
- dukket
- framgår
- slutt
- Endless
- slutter
- England
- Hele
- etablerer
- anslått
- estimater
- Selv
- etter hvert
- Hver
- alt
- nøyaktig
- forvente
- ekspertise
- Forklar
- utforske
- uttrykk
- utvide
- strekker
- ekstrem
- ekstremt
- Mislyktes
- falsk
- føles
- Noen få
- felt
- tenkte
- fylt
- Endelig
- Finn
- finne
- Først
- flate
- flyten
- Fokus
- Til
- skjema
- formel
- Forward
- funnet
- fire
- Frankrike
- Fransk
- fra
- fullt
- funksjon
- GAS
- Gem
- generert
- få
- Gi
- gitt
- Giving
- Glimpse
- god
- fikk
- oppgradere
- graf
- gravitasjon
- flott
- Grid
- Grow
- Vokser
- Guy
- HAD
- Halvparten
- hånd
- Ha
- å ha
- he
- tungt
- her
- høyere
- Hovedvei
- hans
- Hits
- Hong
- Hong Kong
- Hvordan
- Men
- HTML
- http
- HTTPS
- stort
- i
- ICE
- Ideer
- if
- forestille
- in
- I andre
- Inkludert
- Øke
- uavhengighet
- uavhengig
- smittsomme
- Smittsomme sykdommer
- informasjon
- innsiden
- innsikt
- f.eks
- i stedet
- Institute
- interessant
- inn
- introdusert
- uvurderlig
- alltid
- irrasjonell
- IT
- DET ER
- selv
- jersey
- bli medlem
- ble med
- reise
- bare
- holdt
- nøkkel
- Type
- slag
- Vet
- kunnskap
- kjent
- vet
- Kong
- stor
- større
- største
- Siste
- lå
- Permisjon
- forlater
- venstre
- Lengde
- mindre
- løgn
- Løftet
- lett
- i likhet med
- LINK
- Flytende
- låse
- Lang
- ser
- taper
- Lot
- lavere
- laget
- magazine
- gjøre
- Making
- masker
- massachusetts
- Massachusetts Institute of Technology
- massive
- math
- matematiske
- matematikk
- kan være
- bety
- betyr
- mekanikk
- Møt
- nevnt
- kunne
- millioner
- MIT
- modell
- modeller
- moderat
- måneder
- mer
- mest
- flyttet
- mye
- flere
- må
- navn
- nasjonal
- Naturlig
- Natur
- Nær
- nødvendig
- naboer
- Ingen
- aldri
- Ny
- New Jersey
- New York
- nyheter
- neste
- fint
- Nei.
- ingenting
- nå
- Antall
- odds
- of
- ofte
- Olje
- on
- ONE
- seg
- bare
- åpen
- åpnet
- åpner
- or
- original
- Annen
- andre
- ut
- enn
- par
- pandemi
- Papir
- papirer
- spesielt
- banen
- baner
- Pennsylvania
- Peter
- fysiker
- steder
- fly
- planlagt
- plato
- Platon Data Intelligence
- PlatonData
- lommer
- Point
- poeng
- poserte
- posisjon
- mulig
- postet
- Praktisk
- forut
- spådd
- prediksjon
- Spådommer
- Princeton
- sannsynligvis
- Problem
- Professor
- lønnsom
- Progress
- prosjekt
- bevis
- egenskaper
- eiendom
- stolt
- beviste
- Quantamagazin
- kvantitet
- Quantum
- spørsmål
- spørsmål
- raskt
- ganske
- tilfeldig
- tilfeldig generert
- heller
- Når
- virkelig
- redefineres
- referert
- raffinering
- i slekt
- relevant
- behov
- forskning
- forskere
- restriksjoner
- resultere
- avslører
- Rock
- røtter
- runde
- Sa
- samme
- sier
- scenario
- vitenskapelig
- søker
- se
- synes
- sendt
- separat
- flere
- Form
- figurer
- hun
- Kort
- viste
- side
- Enkelt
- forenkler
- simuleringer
- sitte
- Nettsteder
- Størrelse
- skeptisk
- liten
- mindre
- So
- solid
- løsning
- noen
- noe
- noen ganger
- snart
- ettertraktet
- Rom
- spesiell
- utgifter
- brukt
- viltvoksende
- spre
- kvadrat
- Start
- Tilstand
- statistisk
- Trinn
- Still
- Stopp
- stoppet
- Strategi
- stream
- struktur
- Student
- studert
- studier
- Studer
- Studerer
- i det vesentlige
- lykkes
- slik
- plutselig
- sommer
- Sol
- sikker
- overflaten
- overrask
- rundt
- Mistenksomt
- Ta
- Teknisk
- teknikk
- teknikker
- Teknologi
- enn
- Det
- De
- Grafen
- Staten
- deres
- Dem
- deretter
- Der.
- Disse
- de
- tynn
- ting
- tror
- tenker
- denne
- De
- selv om?
- trodde
- Gjennom
- tid
- til
- sammen
- også
- tok
- Topper
- Trace
- overgang
- oversette
- reiser
- enormt
- prøvd
- sant
- prøver
- snudde
- to
- typen
- under
- unik
- Universe
- universitet
- University of Cambridge
- låse opp
- til
- bruke
- brukt
- nyttig
- ved hjelp av
- verdi
- veldig
- vincent
- Besøk
- ønsket
- var
- washington
- Vann
- Vei..
- måter
- we
- web
- webp
- Nettsted
- VI VIL
- var
- Hva
- når
- om
- hvilken
- mens
- HVEM
- hvem sin
- vil
- med
- innenfor
- uten
- Arbeid
- arbeid
- ville
- ville gitt
- skrevet
- skrev
- år
- år
- york
- Du
- Din
- zephyrnet
- null
- Zuckerberg