Introduksjon
I 2009 kunngjorde et par astronomer ved Paris-observatoriet en oppsiktsvekkende oppdagelse. Etter å ha bygget en detaljert beregningsmodell av solsystemet vårt, kjørte de tusenvis av numeriske simuleringer, projiserer bevegelsene til planetene milliarder av år inn i fremtiden. I de fleste av disse simuleringene - som varierte Mercurys utgangspunkt over et område på i underkant av 1 meter - gikk alt som forventet. Planetene fortsatte å dreie rundt solen, og sporet ut ellipseformede baner som så ut mer eller mindre slik de har gjort gjennom menneskets historie.
Men rundt 1 % av tiden gikk ting sidelengs – bokstavelig talt. Formen på Merkurs bane endret seg betydelig. Dens elliptiske bane flatet gradvis ut, inntil planeten enten stupte ned i solen eller kolliderte med Venus. Noen ganger, når den skar sin nye vei gjennom verdensrommet, destabiliserte dens oppførsel også andre planeter: Mars, for eksempel, kan bli kastet ut fra solsystemet, eller den kan krasje inn i jorden. Venus og jorden kunne, i en langsom, kosmisk dans, utveksle baner flere ganger før de til slutt kolliderte.
Kanskje var ikke solsystemet så stabilt som folk en gang trodde.
I århundrer, helt siden Isaac Newton formulerte sine lover om bevegelse og tyngdekraft, har matematikere og astronomer slitt med dette problemet. I den enkleste modellen av solsystemet, som kun tar i betraktning gravitasjonskreftene som utøves av solen, følger planetene sine elliptiske baner som et urverk for evigheten. "Det er et slags trøstende bilde," sa Richard Moeckel, en matematiker ved University of Minnesota. "Det kommer til å fortsette for alltid, og vi vil være borte for lenge siden, men Jupiter vil fortsatt gå rundt."
Men når du gjør rede for gravitasjonstiltrekningen mellom planetene selv, blir alt mer komplisert. Du kan ikke lenger eksplisitt beregne planetenes posisjoner og hastigheter over lange tidsperioder, og må i stedet stille kvalitative spørsmål om hvordan de kan oppføre seg. Kan effekten av planetenes gjensidige tiltrekning hope seg opp og bryte urverket?
Detaljerte numeriske simuleringer, som de publisert av Paris Observatory's Jacques Laskar og Mickaël Gastineau i 2009, tyder på at det er en liten, men reell sjanse for at ting går galt. Men disse simuleringene, selv om de er viktige, er ikke det samme som et matematisk bevis. De kan ikke være helt presise, og som selve simuleringene viser, kan en liten unøyaktighet – i løpet av milliarder av simulerte år – føre til svært forskjellige utfall. Videre gir de ikke en underliggende forklaring på hvorfor visse hendelser kan utspille seg. "Du ønsker å forstå hvilke matematiske mekanismer som driver ustabilitet, og å bevise at de faktisk eksisterer," sa Marcel Guàrdia, matematiker ved universitetet i Barcelona.
Introduksjon
Nå i tre papirer det sammen over 150 sider, Guàrdia og to samarbeidspartnere har bevist for første gang at ustabilitet uunngåelig oppstår i en modell av planeter som kretser rundt en sol.
"Resultatet er virkelig veldig spektakulært," sa Gabriella Pinzari, en matematisk fysiker ved universitetet i Padua i Italia. "Forfatterne beviste et teorem som er en av de vakreste teoremene man kunne bevise." Det kan også bidra til å forklare hvorfor solsystemet vårt ser ut som det gjør.
Fire sider og en ny historie
For århundrer siden var det allerede klart at interaksjoner mellom planetene kunne ha langsiktige effekter. Tenk på Mercury. Det tar omtrent tre måneder å reise rundt solen på en elliptisk bane. Men den banen roterer også sakte - en grad hvert 600. år, en full rotasjon hver 200,000. Denne typen rotasjon, kjent som presesjon, er i stor grad et resultat av at Venus, Jorden og Jupiter trekker på Merkur.
Men forskning på 18-tallet av matematiske giganter som Pierre-Simon Laplace og Joseph-Louis Lagrange indikerte at, bortsett fra presesjon, er størrelsen og formen på ellipsen stabile. Det var ikke før på slutten av 19-tallet at denne intuisjonen begynte å endre seg, da Henri Poincaré fant ut at selv i en modell med bare tre kropper (for eksempel en stjerne som går i bane rundt to planeter), er det umulig å beregne eksakte løsninger til Newtons ligninger. "Himmelmekanikk er en delikat ting," sa Rafael de la Llave, en matematiker ved Georgia Institute of Technology. Endre startforholdene med et hår – for eksempel ved å forskyve den antatte posisjonen til én planet med bare en meter, slik Laskar og Gastineau gjorde i simuleringene sine – og over lange tidsskalaer kan systemet se veldig annerledes ut.
I trekroppsproblemet fant Poincaré et virvar av mulig atferd så komplisert at han først trodde han hadde gjort en feil. Når han først aksepterte sannheten om resultatene sine, var det ikke lenger mulig å ta solsystemets stabilitet for gitt. Men fordi det er så vanskelig å jobbe med Newtons ligninger, var det ikke klart om oppførselen til solsystemet kan være komplisert og kaotisk bare i liten skala - planeter kan havne i forskjellige posisjoner innenfor et forutsigbart bånd, for eksempel - eller hvis , som Guàrdia og hans samarbeidspartnere til slutt ville bevise i sin egen modell, kan størrelsen og formen på baner endre seg så mye at planeter kan tenkes å krasje inn i hverandre eller reise til det uendelige.
Så, i 1964, skrev matematikeren Vladimir Arnold en firesiders papir som etablerte det riktige språket for å formulere problemet. Han fant en spesifikk grunn til at nøkkelvariabler i et dynamisk system kan endre seg i stor grad. Først kokte han opp et kunstig eksempel, en merkelig blanding av en pendel og en rotor som ikke så langt liknet på noe du ville møte i naturen. I denne leketøysmodellen beviste han at gitt nok tid, kan visse mengder som vanligvis holder seg konstant endre seg i store mengder.
Arnold antok da at de fleste dynamiske systemer skulle vise denne typen ustabilitet. Når det gjelder solsystemet, kan dette bety at orbitalformene, eller eksentrisitetene, til visse planeter potensielt kan endre seg over milliarder av år.
Men mens matematikere og fysikere til slutt gjorde store fremskritt med å bevise at ustabilitet oppstår generelt, slet de med å vise det for himmelske modeller. Det er fordi gravitasjonseffekten til solen er så overveldende sterk at mange funksjoner ved urverkets planetmodell vedvarer selv når du tar i betraktning de ekstra kreftene som utøves av planetene. (I denne sammenhengen gir Newtonsk mekanikk en så god tilnærming av virkeligheten at disse modellene ikke trenger å vurdere effektene av generell relativitet.) Slik iboende stabilitet gjør ustabilitet vanskelig å oppdage.
Kan parametere som holdt seg så stabile i beregninger utført av Laplace, Lagrange og andre virkelig endre seg betydelig? "Du må håndtere en ustabilitet som er ekstremt svak," sa Laurent Niederman ved Paris-Saclay University. De vanlige metodene vil ikke fange det.
Numeriske simuleringer ga håp om at jakten på et slikt bevis ikke var forgjeves. Og det var foreløpige bevis. I 2016, for eksempel, de la Llave og to kolleger påvist ustabilitet i en forenklet himmelmekanikkmodell bestående av en sol, en planet og en komet, hvor kometen ble antatt å ikke ha noen masse og derfor ingen gravitasjonseffekt på planeten. Dette oppsettet er kjent som en "begrenset" n- kroppsproblem.
De nye papirene tar for seg en sann n-kroppsproblem — viser at ustabilitet oppstår i et planetsystem der tre små kropper kretser rundt en mye større sol. Selv om størrelsen og formen på banene kan bruke lang tid på å svinge rundt faste verdier, vil de til slutt endre seg dramatisk.
Dette hadde vært forventet - det var en utbredt oppfatning at stabilitet og ustabilitet eksisterer side om side i denne typen modeller - men matematikerne var de første som beviste det.
Den ultimate ustabiliteten
Sammen med Jacques Fejoz ved University of Paris Dauphine, forsøkte Guàrdia først å bevise ustabilitet i trekroppsproblemet (en sol, to planeter) i 2016. Selv om de var i stand til å vise at kaotisk dynamikk oppsto i smaken av Poincaré, kunne de ikke bevise at denne kaotiske oppførselen tilsvarte store og langsiktige endringer.
Andrew Clarke, en postdoktor som studerer under Guàrdia, ble med dem i september 2020, og de bestemte seg for å gi problemet en ny sjanse, denne gangen å legge til en ekstra planet til blandingen. I deres modell dreier tre planeter rundt en sol i stadig større avstander fra hverandre. Avgjørende er det at den innerste planeten begynner å gå i bane med en betydelig helning i forhold til den andre og tredje planeten, slik at dens bane praktisk talt danner en rett vinkel til deres.
Denne tilbøyeligheten gjorde det mulig for matematikerne å finne startforhold som resulterer i ustabilitet.
De viste eksistensen av baner som førte til stort sett enhver mulig eksentrisitet for den andre planeten: Over tid var det mulig for ellipsen å flate ut til den nesten så ut som en rett linje. I mellomtiden kan banene til den andre og tredje planeten, som hadde startet i samme plan, også ende opp vinkelrett på hverandre. Den andre planeten kunne til og med snudd hele 180 grader, slik at mens alle planetene først kunne ha beveget seg med klokken rundt solen, endte den andre opp med å bevege seg mot klokken. "Tenk deg at du ser frem en million år, og Mars går motsatt vei," sa Richard Montgomery ved University of California, Santa Cruz. "Det ville vært rart."
"Du kan ikke unngå veldig ville baner, selv i denne enkle setting," sa Niederman.
Likevel holdt størrelsene på banene seg stabile. Det er fordi planetene i denne modellen beveger seg rundt solen veldig raskt sammenlignet med hvor lang tid det tar for banene deres å presessere – slik at matematikerne kan skygge over de "raske" variablene knyttet til planetenes bevegelser. "Det er kjedelig å tenke på hva som skjer hvert år hvis det du virkelig er interessert i er hva som skjer over tusen år," sa Moeckel. Svingninger i størrelsen på hver ellipse (målt i form av dens lange radius, eller semimajor-akse) går gjennomsnittlig ut.
Dette var ikke overraskende. "Alminnelig kunnskap sier at tilbøyeligheten og eksentrisiteten bør være mer ustabil enn den semimajor-aksen," sa Guàrdia. Men så innså han og kollegene at hvis de plasserte den tredje planeten enda lenger unna solen, kunne de kanskje legge til mer ustabilitet i modellen deres.
Dette nye systemet og ligningene som styrte det var mer kompliserte, og matematikerne var ikke sikre på at de ville være i stand til å få noen resultater. Men "det var for mye å ignorere," sa Clarke. "Hvis det var en sjanse for å vise at halvstore økser kunne drive, så mener jeg, du må forfølge det."
Laskar, som har ledet mye av det numeriske arbeidet med ustabilitet i solsystemet, sa at hvis du overlagret denne typen solsystem på egen hånd, kan du kanskje se den første planeten plassert rett opp mot solen, den andre planeten der jorden ville være, og den tredje planeten helt ut ved Oort-skyen, ved vårt solsystems ytre grenser. (Som et resultat, la han til, representerer dette en "veldig ekstrem situasjon" - en han ikke nødvendigvis forventer å finne i vår egen galakse.)
Jo større avstand en planet har fra solen, jo lengre tid tar det å fullføre en bane. I dette tilfellet er den tredje planeten så langt unna at presesjonen til de to indre planetene skjer i en raskere hastighet. Det er ikke lenger mulig å gjennomsnittsberegne bevegelsen til den siste planeten - et scenario Lagrange og Laplace ikke tok for seg i sine beretninger om solsystemets stabilitet. "Dette vil endre strukturen til ligningen fullstendig," sa Alain Chenciner, en matematiker også ved Paris Observatory. Det var nå flere variabler å bekymre seg for.
Clarke, Fejoz og Guàrdia beviste at banene kan vokse seg vilkårlig store. "De får endelig størrelsen på banen til å øke, i motsetning til bare formen eller noe sånt," sa Moeckel. "Det er den ultimate ustabiliteten."
Selv om disse endringene akkumulerte veldig sakte, skjedde de fortsatt raskere enn man kunne ha forventet - noe som tyder på at i et realistisk planetsystem kan endringer akkumuleres over hundrevis av millioner år, i stedet for milliarder.
Introduksjon
Resultatene gir en potensiell forklaring på hvorfor planetene i solsystemet vårt har baner som alle ligger nesten i samme plan. Det viser at noe så enkelt som en stor helningsvinkel kan være en kilde til mye ustabilitet, på flere punkter. "Hvis du starter med en situasjon der de gjensidige tilbøyelighetene er ganske store, vil du ødelegge systemet ganske 'raskt'," sa Chenciner. "Det ville blitt ødelagt for hundrevis, tusenvis av århundrer siden."
Høydimensjonale motorveier
Disse bevisene krevde en smart kombinasjon av teknikker fra geometri, analyse og dynamikk - og en tilbakevending til grunnleggende definisjoner.
Matematikerne representerte hver konfigurasjon av deres planetsystem (posisjonene og hastighetene til planetene) som et punkt i et høydimensjonalt rom. Målet deres var å vise eksistensen av "motorveier" gjennom rommet som tilsvarer, for eksempel, store endringer i den andre planetens eksentrisitet, eller i den tredje planetens semimajor-akse.
For å gjøre det, måtte de først uttrykke hvert punkt i form av koordinater som var så esoteriske og komplekse at knapt noen engang hadde hørt om dem, enn si prøvd å bruke dem. (Koordinatene ble oppdaget på begynnelsen av 1980-tallet av den belgiske astronomen André Deprit, deretter glemt og senere uavhengig oppdaget av Pinzari i 2009 mens hun jobbet med doktorgradsavhandlingen sin. De har knapt blitt brukt siden.)
Ved å bruke Deprits koordinater for å beskrive deres høydimensjonale rom av planetariske konfigurasjoner, fikk matematikerne en dypere forståelse av strukturen. "Det er en del av skjønnheten med beviset: å klare å håndtere denne 18-dimensjonale geometrien," sa Fejoz.
Fejoz, Clarke og Guàrdia fant motorveier som krysset flere spesielle regioner i det området. De brukte deretter sin nyvunne geometriske forståelse for å bevise at motorveiene tilsvarte ustabil dynamikk i størrelsen og formen til planetenes baner.
«Da jeg var ferdig med Ph.D. For 30 år siden," sa Niederman, "var vi ekstremt, ekstremt langt unna denne typen resultater."
"Det er et så komplisert system at du har en følelse av at alt som ikke er åpenbart forbudt bør skje," sa Chenciner. "Men det er vanligvis veldig vanskelig å bevise det."
Matematikere håper nå å bruke Clarke, Fejoz og Guàrdias teknikker for å bevise ustabilitet i modeller som ligner mer på vårt eget solsystem. Denne typen resultater blir spesielt meningsfulle ettersom astronomer avdekker flere og flere eksoplaneter som kretser rundt andre stjerner, og viser et bredt spekter av konfigurasjoner. "Det er som et åpent laboratorium," sa Marian Gidea, en matematiker ved Yeshiva University. "Å forstå på papiret hvilke typer utviklinger av planetsystemer som kan skje, og å sammenligne det med det du er i stand til å observere - det er veldig spennende. Det gir mye informasjon om fysikken i universet vårt, og om hvor mye av dette matematikken vår er i stand til å fange opp gjennom relativt enkle modeller.»
I håp om å gjøre en slik sammenligning, har Fejoz snakket med et par astronomer om å identifisere ekstrasolare systemer som ligner, selv løst, modellen han og kollegene hans utviklet. Andre forskere, inkludert Gidea, sier at arbeidet kan være nyttig for å designe effektive baner for kunstige satellitter, eller for å finne ut hvordan man kan flytte partikler i høye hastigheter gjennom en partikkelakselerator. Som Pinzari sa, "Forskning i himmelmekanikk er fortsatt veldig levende."
Det endelige målet ville være å bevise ustabilitet i vårt eget solsystem. "Jeg våkner midt på natten og tenker på det," sa Clarke. "Jeg vil si at det ville være den virkelige drømmen, men det ville være et mareritt, ikke sant? Fordi vi ville blitt skrudd."
Korreksjon: Kan 16, 2023
Denne artikkelen ble revidert for å gjenspeile at Marcel Guàrdia er professor ved universitetet i Barcelona. Han flyttet fra Polytechnic University of Catalonia sommeren 2022.
- SEO-drevet innhold og PR-distribusjon. Bli forsterket i dag.
- PlatoAiStream. Web3 Data Intelligence. Kunnskap forsterket. Tilgang her.
- Minting the Future med Adryenn Ashley. Tilgang her.
- Kjøp og selg aksjer i PRE-IPO-selskaper med PREIPO®. Tilgang her.
- kilde: https://www.quantamagazine.org/new-math-shows-when-solar-systems-become-unstable-20230516/
- : har
- :er
- :ikke
- :hvor
- ][s
- $OPP
- 000
- 1
- 200
- 2016
- 2020
- 2022
- 30
- a
- I stand
- Om oss
- om det
- akselerator
- akseptert
- Logg inn
- kontoer
- Akkumulere
- akkumulert
- faktisk
- legge til
- la til
- legge
- Ytterligere
- Etter
- mot
- siden
- Alle
- tillate
- alene
- allerede
- også
- blant
- beløp
- an
- analyse
- og
- annonsert
- En annen
- noen
- noen
- hva som helst
- ca
- ER
- rundt
- Artikkel
- kunstig
- AS
- antatt
- At
- forsøkt
- tiltrekning
- forfattere
- gjennomsnittlig
- unngå
- borte
- AKSER
- Axis
- BAND
- barcelona
- grunnleggende
- BE
- vakker
- Beauty
- fordi
- bli
- bli
- vært
- før du
- antatt
- mellom
- Stor
- milliarder
- Blend
- organer
- pin
- Break
- bred
- Bygning
- men
- by
- beregne
- california
- CAN
- kan ikke
- fangst
- saken
- Catch
- århundrer
- Århundre
- viss
- sjanse
- endring
- endret
- Endringer
- fjerne
- urverk
- Cloud
- kollegaer
- kombinasjon
- Komet
- sammenligne
- sammenlignet
- sammenligning
- fullføre
- helt
- komplekse
- komplisert
- beregninger
- Beregn
- forhold
- Konfigurasjon
- Vurder
- anser
- Består
- konstant
- kontekst
- fortsatte
- kokt
- kunne
- Par
- Kurs
- Crash
- avgjørende
- Kutt
- danse
- avtale
- besluttet
- dypere
- Grad
- beskrive
- utforme
- ødelegge
- ødelagt
- detaljert
- utviklet
- gJORDE
- forskjellig
- vanskelig
- oppdaget
- Funnet
- avstand
- do
- gjør
- ikke
- gjort
- ikke
- dramatisk
- drøm
- stasjonen
- dynamikk
- hver enkelt
- Tidlig
- jord
- effekt
- effekter
- effektiv
- enten
- slutt
- nok
- ligninger
- etablert
- Selv
- hendelser
- etter hvert
- NOEN GANG
- Hver
- alt
- evolusjoner
- eksempel
- utveksling
- spennende
- viser
- eksisterer
- forvente
- forventet
- Forklar
- forklaring
- ekspress
- ekstra
- ekstrem
- ekstremt
- langt
- raskere
- Egenskaper
- Endelig
- Finn
- Først
- første gang
- fikset
- Flip
- følge
- Til
- Krefter
- for alltid
- skjemaer
- Forward
- funnet
- fra
- fullt
- Dess
- framtid
- Galaxy
- general
- Georgia
- få
- Gi
- gitt
- gir
- Go
- mål
- skal
- god
- styrt
- gradvis
- innvilget
- gravitasjons
- gravitasjon
- flott
- større
- Grow
- HAD
- Hår
- håndtere
- skje
- Skjer
- Hard
- Ha
- he
- hørt
- hjelpe
- her
- Høy
- motorveier
- hans
- historie
- håp
- håper
- Hvordan
- Hvordan
- HTTPS
- menneskelig
- Hundrevis
- hundrevis av millioner
- jakten
- i
- identifisering
- if
- viktig
- umulig
- in
- Inkludert
- Øke
- stadig
- uavhengig av hverandre
- indikert
- uunngåelig
- Uendelighet
- informasjon
- iboende
- innledende
- ustabilitet
- f.eks
- i stedet
- Institute
- interaksjoner
- interessert
- inn
- utstedelse
- IT
- Italia
- DET ER
- ble med
- Jupiter
- bare
- nøkkel
- Type
- kunnskap
- kjent
- lab
- Språk
- stor
- i stor grad
- større
- Siste
- Late
- seinere
- Lover
- føre
- Led
- mindre
- la
- i likhet med
- grenser
- linje
- Lang
- lang tid
- langsiktig
- lenger
- Se
- så
- UTSEENDE
- Lot
- laget
- magazine
- GJØR AT
- Making
- administrer
- mange
- Mars
- Mass
- math
- matematiske
- matematikk
- Kan..
- bety
- meningsfylt
- Mellomtiden
- mekanikk
- mekanismer
- Mercury
- bare
- metoder
- Middle
- kunne
- millioner
- millioner
- feil
- modell
- modeller
- måneder
- mer
- mest
- bevegelse
- bevegelser
- flytte
- flytting
- mye
- flere
- må
- gjensidig
- my
- Natur
- nesten
- nødvendigvis
- Trenger
- Ny
- Newton
- natt
- Nei.
- nå
- observatorium
- observere
- forekom
- of
- off
- tilbudt
- on
- gang
- ONE
- bare
- åpen
- motsetning
- motsatt
- or
- betatt
- bane rundt
- Annen
- andre
- vår
- ut
- utfall
- enn
- egen
- par
- Papir
- papirer
- parametere
- paris
- del
- spesielt
- banen
- Ansatte
- perioder
- Fysikk
- bilde
- planet
- Planetene
- plato
- Platon Data Intelligence
- PlatonData
- Point
- posisjon
- stillinger
- mulig
- potensiell
- potensielt
- praktisk talt
- presis
- Forutsigbar
- pen
- Problem
- Professor
- Progress
- bevis
- bevis
- Bevis
- beviste
- gi
- PSL
- publisert
- trekke
- kvalitativ
- spørsmål
- raskt
- område
- Sats
- heller
- ekte
- realistisk
- Reality
- realisert
- virkelig
- grunnen til
- reflektere
- regioner
- i slekt
- relativt
- relativt
- representert
- representerer
- påkrevd
- forskning
- forskere
- resultere
- Resultater
- retur
- ikke sant
- Sa
- samme
- Nisse
- satellitter
- sier
- sier
- Skala
- scenario
- Sekund
- se
- September
- innstilling
- oppsett
- flere
- Form
- figurer
- hun
- skift
- SKIFTENDE
- bør
- Vis
- utstillingsvindu
- viste
- Viser
- sidelengs
- signifikant
- betydelig
- Enkelt
- forenklet
- siden
- situasjon
- Størrelse
- størrelser
- langsom
- Sakte
- liten
- So
- så langt
- solenergi
- Solsystemet
- Solutions
- noe
- kilde
- Rom
- sett
- spesiell
- spesifikk
- spektakulær
- hastigheter
- bruke
- Stabilitet
- stabil
- Stjerne
- Stjerner
- Begynn
- startet
- Start
- starter
- opphold
- oppholdt seg
- Still
- rett
- sterk
- struktur
- Studerer
- slik
- foreslår
- sommer
- Sol
- overrask
- system
- Systemer
- takle
- Ta
- tar
- teknikker
- Teknologi
- vilkår
- enn
- Det
- De
- Fremtiden
- deres
- Dem
- seg
- deretter
- Der.
- derfor
- Disse
- avhandlingen
- de
- ting
- ting
- tror
- tenker
- Tredje
- denne
- De
- selv om?
- trodde
- tusener
- tre
- Gjennom
- hele
- tid
- ganger
- til
- også
- Sporing
- bane
- reiser
- prøvd
- sant
- Sannhet
- to
- typer
- ultimate
- avdekke
- etter
- underliggende
- forstå
- forståelse
- Universe
- universitet
- University of California
- til
- bruke
- brukt
- ved hjelp av
- vanligvis
- forgjeves
- Verdier
- Venus
- veldig
- Wake
- Våkn opp
- ønsker
- var
- Vei..
- webp
- VI VIL
- gikk
- var
- Hva
- når
- hvilken
- mens
- HVEM
- hvorfor
- allment
- Wild
- vil
- med
- innenfor
- Arbeid
- arbeid
- bekymring
- ville
- år
- år
- Du
- zephyrnet