Kolorowanie według liczb ujawnia wzorce arytmetyczne w ułamkach

Rok po rozpoczęciu doktoratu. z matematyki na Uniwersytecie McGill, Matt Bowen miał problem. „Zdałem egzaminy kwalifikacyjne i wypadłem na nich absolutnie okropnie” – powiedział. Bowen był pewien, że jego wyniki nie odzwierciedlają jego umiejętności matematycznych i postanowił to udowodnić. Zrobił to zeszłej jesieni, kiedy on i jego doradca, Marcina Saboka, opublikował znaczną zaliczkę w dziedzinie tzw Teoria Ramseya.

Od prawie wieku teoretycy Ramseya gromadzą dowody na to, że struktura matematyczna utrzymuje się w niesprzyjających okolicznościach. Mogą rozbijać duże zestawy liczb, takie jak liczby całkowite lub ułamki, lub rozdzielać połączenia między punktami w sieci. Następnie znajdują sposoby, aby udowodnić, że pewne struktury są nieuniknione, nawet jeśli próbujesz ich uniknąć, łamiąc lub krojąc w sprytny sposób.

Kiedy teoretycy Ramseya mówią o dzieleniu zbioru liczb, często używają języka kolorowania. Wybierz kilka kolorów: na przykład czerwony, niebieski i żółty. Teraz przypisz kolor do każdej liczby w kolekcji. Nawet jeśli zrobisz to w sposób losowy lub chaotyczny, pewne wzory nieuchronnie się pojawią, o ile użyjesz tylko skończonej liczby różnych kolorów, nawet jeśli ta liczba jest bardzo duża. Teoretycy Ramseya próbują znaleźć te wzorce, szukając ustrukturyzowanych zestawów liczb, które są „monochromatyczne”, co oznacza, że ​​wszystkim ich elementom przypisano ten sam kolor.

Pierwsze wyniki kolorowania sięgają końca XIX wieku. W 19 roku Issai Schur udowodnił, że niezależnie od tego, jak pokolorujesz dodatnie liczby całkowite (znane również jako liczby naturalne), zawsze znajdzie się para liczb x i y takie x, yi ich sumę x+y wszystkie są tego samego koloru. Przez cały XX wiek matematycy kontynuowali prace nad problemami z kolorowaniem. w 20 r. Neila Hindmana przedłużony wynik Schura zawierać nieskończony podzbiór liczb całkowitych. Podobnie jak twierdzenie Schura, twierdzenie Hindmana ma zastosowanie bez względu na to, jak pokolorowane są liczby naturalne (przy skończonej liczbie kredek). Nie tylko te liczby całkowite w zbiorze Hindmana są tego samego koloru, ale jeśli zsumujesz dowolny ich zbiór, wynik również będzie miał ten sam kolor. Takie zestawy przypominają liczby parzyste w tym, że tak jak każda suma liczb parzystych jest zawsze parzysta, tak też suma dowolnych liczb w jednym ze zbiorów Hindmana byłaby zawarta w tym zbiorze.

„Twierdzenie Hindmana jest zdumiewającym kawałkiem matematyki” — powiedział Sabok. „To historia, z której możemy zrobić film”.

Ale Hindman uważał, że więcej jest możliwe. Uważał, że można znaleźć dowolnie duży (ale skończony) zbiór monochromatyczny, który zawiera nie tylko sumy jego członków, ale także iloczyny. „Przez dziesięciolecia utrzymywałem, że to fakt” — powiedział, dodając: „Nie twierdzę, że mogę to udowodnić”.

Hipoteza Hindmana

Jeśli zrezygnujesz z sumy i chcesz tylko upewnić się, że iloczyny mają ten sam kolor, łatwo jest dostosować twierdzenie Hindmana, używając potęgowania do przekształcenia sum w iloczyny (podobnie jak robi to suwak logarytmiczny).

Zmaganie się jednocześnie z sumami i iloczynami jest jednak o wiele trudniejsze. „Bardzo trudno jest sprawić, by ta dwójka ze sobą rozmawiała” — powiedział Joela Moreiry, matematyk z University of Warwick. „Zrozumienie, w jaki sposób dodawanie i mnożenie są ze sobą powiązane, jest w pewnym sensie podstawą całej teorii liczb, prawie”.

Nawet prostsza wersja, którą Hindman po raz pierwszy zasugerował w latach 1970., okazała się wyzwaniem. Przypuszczał, że każde kolorowanie liczb naturalnych musi zawierać monochromatyczny zbiór postaci {x, y, xy, x+y} — dwie liczby x i y, a także ich sumę i iloczyn. „Ludzie tak naprawdę nie poczynili żadnych postępów w tej kwestii przez dziesięciolecia” — powiedział Bowen. „A potem nagle, około 2010 roku, ludzie zaczęli udowadniać coraz więcej rzeczy na ten temat”.

Bowen dowiedział się o {x, y, xy, x+y} problem w 2016 roku, na drugim semestrze studiów, kiedy jeden z jego profesorów na Uniwersytecie Carnegie Mellon opisał problem na zajęciach. Bowen był zdumiony swoją prostotą. „To jedna z tych fajnych rzeczy, w których jest tak, że nie znam się na matematyce, ale mogę to trochę zrozumieć” – powiedział.

Moreira w 2017 r okazały że ty mogą zawsze znajdź zestaw monochromatyczny zawierający trzy z czterech pożądanych elementów: x, xy, x + y. W międzyczasie Bowen zaczął od niechcenia majstrować przy pytaniu podczas ostatniego roku. „Nie mogłem właściwie rozwiązać problemu” — powiedział. „Ale wracałbym do tego mniej więcej co sześć miesięcy”. Po jego słabym występie na doktoracie. egzaminów kwalifikacyjnych w 2020 roku zdwoił wysiłki. Kilka dni później udowodnił {x, y, xy, x+y} przypuszczenie dla przypadku dwóch kolorów, wynik, który Ron Graham udowodnił już w latach siedemdziesiątych za pomocą komputera.

Po tym sukcesie Bowen współpracował z Sabokiem, aby rozszerzyć wynik na dowolną liczbę kolorów. Szybko jednak zaplątali się w szczegóły techniczne. „Złożoność problemu wymyka się spod kontroli, gdy liczba kolorów jest duża” — powiedział Sabok. Przez 18 miesięcy próbowali się wydostać, ale bez powodzenia. „W ciągu tego półtora roku mieliśmy około miliona błędnych dowodów” – powiedział Sabok.

W szczególności jedna trudność powstrzymywała tych dwóch matematyków przed postępem. Jeśli wybierzesz losowo dwie liczby całkowite, prawdopodobnie nie będziesz w stanie ich podzielić. Dzielenie działa tylko w rzadkich przypadkach, gdy pierwsza liczba jest wielokrotnością drugiej. Okazało się to bardzo ograniczające. Zdając sobie z tego sprawę, Bowen i Sabok skupili się na udowodnieniu {x, y, xy, x+y} przypuszczenia w liczbach wymiernych (jak matematycy nazywają ułamki). Tam liczby można dzielić bez pośpiechu.

Dowód Bowena i Saboka jest najbardziej elegancki, gdy wszystkie zaangażowane kolory pojawiają się często w liczbach wymiernych. Kolory mogą pojawiać się „często” na kilka różnych sposobów. Każdy z nich może obejmować duże fragmenty osi liczbowej. Lub może to oznaczać, że nie możesz podróżować zbyt daleko wzdłuż osi liczbowej, nie widząc każdego koloru. Zwykle jednak kolory nie odpowiadają takim zasadom. W takich przypadkach można skupić się na małych obszarach w obrębie liczb wymiernych, w których kolory pojawiają się częściej, wyjaśnił Sabok. „Tutaj przyszła większość pracy” – powiedział.

W październiku 2022 roku Bowen i Sabok opublikowali dowód, że jeśli pokolorujesz liczby wymierne skończoną liczbą kolorów, powstanie zbiór postaci {x, y, xy, x+y}, którego wszystkie elementy mają ten sam kolor. „To niezwykle sprytny dowód” – powiedział Imre Lider z Uniwersytetu Cambridge. „Wykorzystuje znane wyniki. Ale łączy je w absolutnie genialny, bardzo oryginalny, bardzo innowacyjny sposób”.

Pozostaje wiele pytań. Czy trzeci numer z zostać dodany do kolekcji wraz z wynikającymi z tego sumami i produktami? Spełnienie najśmielszych przewidywań Hindmana oznaczałoby dodanie czwartej, piątej, a ostatecznie arbitralnie wielu nowych liczb do sekwencji. Wymagałoby to również przejścia od liczb wymiernych do liczb naturalnych i znalezienia sposobu na obejście zagadki dzielenia, która utrudniała wysiłki Bowena i Saboka.

Leader wierzy, że skoro Moreira, Bowen i Sabok pracują nad rozwiązaniem problemu, dowód może być już niedaleko. „Ci faceci wydają się szczególnie błyskotliwi w znajdowaniu nowych sposobów robienia rzeczy” — powiedział. „Jestem więc optymistą, że oni lub niektórzy z ich kolegów mogą to znaleźć”.

Sabok jest ostrożniejszy w swoich przewidywaniach. Ale niczego nie wyklucza. „Jednym z uroków matematyki jest to, że zanim zdobędziesz dowód, wszystko jest możliwe” – powiedział.