Tajemnicza matematyka stołów bilardowych | Magazyn Quanta

W filmie Disneya z 1959 r Donald w Mathmagic Land, Kaczor Donald, zainspirowany dokonanymi przez narratora opisami geometrii bilarda, energicznie uderza bilę białą, posyłając go rykoszetem po stole, zanim w końcu trafi w zamierzone piłki. Donald pyta: „Jak ci się podoba to w matematyce?”

Ponieważ prostokątne stoły bilardowe mają cztery ściany spotykające się pod kątem prostym, trajektorie bilardowe, takie jak trajektoria Donalda, są przewidywalne i dobrze zrozumiałe — nawet jeśli są trudne do przeprowadzenia w praktyce. Jednak matematycy naukowi nadal nie potrafią odpowiedzieć na podstawowe pytania dotyczące możliwych trajektorii kul bilardowych na stołach w kształcie innych wielokątów (kształtów o płaskich bokach). Nawet trójkąty, najprostszy z wielokątów, wciąż skrywają tajemnice.

Czy zawsze można tak uderzyć piłkę, aby wróciła do punktu wyjścia, poruszając się w tym samym kierunku, tworząc tzw. orbitę okresową? Nikt nie wie. W przypadku innych, bardziej skomplikowanych kształtów nie wiadomo, czy możliwe jest uderzenie piłki z dowolnego punktu na stole do dowolnego innego punktu na stole.

Chociaż pytania te wydają się dobrze wpisywać w ramy geometrii nauczanej w szkole średniej, próby ich rozwiązania wymagały od czołowych matematyków świata zaczerpnięcia pomysłów z różnych dziedzin, w tym układów dynamicznych, topologii i geometrii różniczkowej. Jak w przypadku każdego wielkiego problemu matematycznego, praca nad tymi problemami stworzyła nową matematykę, co wpłynęło na rozwój wiedzy z innych dziedzin. Jednak pomimo całego tego wysiłku i wiedzy, jaką wnoszą nowoczesne komputery, te pozornie proste problemy uparcie opierają się rozwiązaniu.

Oto, czego matematycy dowiedzieli się o bilardzie od czasu epicko splątanego strzału Kaczora Donalda.

Zwykle zakładają, że ich kula bilardowa jest nieskończenie małym, bezwymiarowym punktem i że odbija się od ścian z doskonałą symetrią, odlatując pod tym samym kątem, pod którym dociera, jak pokazano poniżej.

Bez tarcia piłka porusza się w nieskończoność, chyba że dotrze do narożnika, który zatrzymuje ją jak kieszeń. Powodem, dla którego bilard jest tak trudny do matematycznej analizy, jest to, że dwa prawie identyczne strzały lądujące po obu stronach narożnika mogą mieć bardzo różne trajektorie.

Kluczową metodą analizy bilarda wielokątnego nie jest myślenie o piłce jako o odbiciu się od krawędzi stołu, lecz wyobrażenie sobie, że za każdym razem, gdy piłka uderza w ścianę, wędruje do nowej kopii stołu, która jest odwrócona na drugą stronę. krawędzi, tworząc lustrzane odbicie. Proces ten (patrz poniżej), zwany rozkładaniem toru bilardowego, umożliwia piłce poruszanie się po linii prostej. Zkładając wyimaginowane stoły z powrotem na sąsiadów, możesz odzyskać rzeczywistą trajektorię piłki. Ta matematyczna sztuczka pozwala udowodnić rzeczy dotyczące trajektorii, które w innym przypadku byłyby trudne do zauważenia.

Można go na przykład wykorzystać do pokazania, dlaczego proste tabele prostokątne mają nieskończenie wiele okresowych trajektorii przechodzących przez każdy punkt. Podobny argument dotyczy dowolnego prostokąta, ale dla konkretności wyobraźmy sobie stół, który jest dwa razy szerszy niż długi.

Załóżmy, że chcesz znaleźć orbitę okresową, która przecina stół n razy w długim kierunku i m razy w krótkim kierunku. Ponieważ każdemu lustrzanemu odbiciu prostokąta odpowiada piłka odbijająca się od ściany, aby piłka powróciła do punktu początkowego, poruszając się w tym samym kierunku, jej trajektoria musi przecinać stół parzystą liczbę razy w obu kierunkach. Więc m i n musi być równo. Ułóż siatkę identycznych prostokątów, każdy oglądany jako lustrzane odbicie swoich sąsiadów. Narysuj odcinek linii od punktu na oryginalnej tabeli do identycznego punktu na kopii n Stoły dalej, w dłuższym kierunku i m stoliki dalej w krótkim kierunku. Dostosuj nieco pierwotny punkt, jeśli ścieżka przechodzi przez róg. Oto przykład, gdzie n = 2 i m = 6. Po złożeniu ścieżka tworzy okresową trajektorię, jak pokazano w zielonym prostokącie.

Nierówność trójkąta

Bilard w trójkątach, który nie ma ładnej geometrii prostokątów pod kątem prostym, jest bardziej skomplikowany. Jak być może pamiętasz z geometrii w szkole średniej, istnieje kilka rodzajów trójkątów: trójkąty ostre, w których wszystkie trzy kąty wewnętrzne są mniejsze niż 90 stopni; trójkąty prostokątne, które mają kąt 90 stopni; i trójkąty rozwarte, które mają jeden kąt większy niż 90 stopni.

Stoły bilardowe w kształcie trójkątów ostrych i prostokątnych mają okresowe trajektorie. Ale nikt nie wie, czy to samo dotyczy trójkątów rozwartych.

Aby znaleźć okresową trajektorię w ostrym trójkącie, narysuj linię prostopadłą z każdego wierzchołka na przeciwną stronę, jak widać po lewej stronie poniżej. Połącz punkty, w których występują kąty proste, tworząc trójkąt, jak widać po prawej stronie.

Ten wpisany trójkąt to okresowa trajektoria bilardowa zwana orbitą Fagnano, nazwaną na cześć Giovanniego Fagnano, który w 1775 roku wykazał, że ten trójkąt ma najmniejszy obwód ze wszystkich wpisanych trójkątów.

Na początku lat 1990. Fred Holt z Uniwersytetu Waszyngtońskiego i Grzegorz Galperin i jego współpracownicy z Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego niezależnie pokazał że każdy trójkąt prostokątny ma orbity okresowe. Prostym sposobem pokazania tego jest odzwierciedlenie trójkąta wokół jednej nogi, a następnie drugiej, jak pokazano poniżej.

Zacznij od trajektorii ustawionej pod kątem prostym do przeciwprostokątnej (długiego boku trójkąta). Przeciwprostokątna i jej drugie odbicie są równoległe, więc łączący je odcinek prostopadły odpowiada trajektorii, która będzie się odbijać w tę i z powrotem w nieskończoność: Piłka opuszcza przeciwprostokątną pod kątem prostym, odbija się od obu nóg, wraca do przeciwprostokątnej po prawej stronie kąt, a następnie odtwarza swoją trasę.

Ale rozwarte trójkąty pozostają tajemnicą. W swojej pracy z 1992 roku Galperin i jego współpracownicy opracowali różne metody odzwierciedlania trójkątów rozwartych w sposób umożliwiający tworzenie orbit okresowych, ale metody te sprawdzały się tylko w niektórych szczególnych przypadkach. Następnie w 2008 r. Richard Schwartz na Brown University wykazały, że wszystkie trójkąty rozwarte z kąty 100 stopni lub mniejsze zawierają okresową trajektorię. Jego podejście polegało na rozbiciu problemu na wiele przypadków i weryfikacji każdego przypadku przy użyciu tradycyjnej matematyki i pomocy komputerowej. W 2018 roku Jacob Garber, Boyan Marinov, Kennetha Moore'a i George Tokarsky na Uniwersytecie Alberty przedłużył ten próg do 112.3 stopni. (Tokarski i Marinow spędził ponad dekadę dążę do tego celu.)

Zwrot topologiczny

Zastosowano inne podejście, aby wykazać, że jeśli wszystkie kąty są wymierne — to znaczy można je wyrazić w postaci ułamków — trójkąty rozwarte o jeszcze większych kątach muszą mieć okresowe trajektorie. Zamiast po prostu kopiować wielokąt na płaskiej płaszczyźnie, podejście to odwzorowuje kopie wielokątów na powierzchnie topologiczne, czyli pączki z jedną lub większą liczbą dziur.

Jeśli odbijesz prostokąt na jego krótszym boku, a następnie odbijesz oba prostokąty na ich najdłuższym boku, tworząc cztery wersje pierwotnego prostokąta, a następnie skleisz górę i dół razem oraz lewą i prawą stronę, otrzymasz pączek, lub torus, jak pokazano poniżej. Trajektorie bilardowe na stole odpowiadają trajektoriom na torusie i odwrotnie.

W przełomowym artykule z 1986 r. Howarda Masur wykorzystał tę technikę, aby pokazać, że wszystkie tablice wielokątne z wymiernymi kątami mają orbity okresowe. Jego podejście sprawdziło się nie tylko w przypadku rozwartych trójkątów, ale także w przypadku znacznie bardziej skomplikowanych kształtów: powiedzmy, nieregularne stoły o stu bokach lub wielokąty, których ściany wiją się i tworzą zakamarki, mają okresowe orbity, o ile kąty są racjonalne.

Co nieco niezwykłe, istnienie jednej orbity okresowej w wielokącie implikuje istnienie nieskończenie wielu orbit; niewielkie przesunięcie trajektorii da rodzinę powiązanych trajektorii okresowych.

Problem iluminacji

Kształty z zakamarkami i zakamarkami rodzą powiązane pytanie. Zamiast pytać o trajektorie powracające do punktu początkowego, problem ten dotyczy tego, czy trajektorie mogą odwiedzić każdy punkt na danej tabeli. Nazywa się to problemem oświetlenia, ponieważ możemy o nim pomyśleć, wyobrażając sobie wiązkę lasera odbijającą się od lustrzanych ścian otaczających stół bilardowy. Pytamy, czy mając dwa punkty na konkretnym stole, zawsze możesz skierować laser (idealny jako nieskończenie cienki promień światła) z jednego punktu do drugiego. Inaczej mówiąc, jeśli umieścimy na stole żarówkę, która świeci we wszystkich kierunkach na raz, czy oświetliłaby cały pokój?

Badania tego problemu dotyczyły dwóch głównych kierunków: znajdowania kształtów, których nie można oświetlić, oraz udowadniania, że ​​można oświetlić duże klasy kształtów. Podczas gdy znajdowanie dziwnych kształtów, których nie można oświetlić, można przeprowadzić poprzez sprytne zastosowanie prostej matematyki, udowodnienie, że wiele kształtów można oświetlić, było możliwe jedynie przy użyciu ciężkich maszyn matematycznych.

W 1958, Roger Penrose, matematyk, który wygrał konkurs 2020 Nagroda Nobla w dziedzinie fizyki, znaleźli zakrzywiony stół, w którym żaden punkt w jednym obszarze nie mógł oświetlić żadnego punktu w innym obszarze. Przez dziesięciolecia nikt nie był w stanie wymyślić wielokąta o tej samej właściwości. Ale w 1995 roku Tokarsky wykorzystał prosty fakt dotyczący trójkątów, aby stworzyć blokowy wielokąt o 26 bokach z dwoma wzajemnie niedostępnymi punktami, jak pokazano poniżej. Oznacza to, że wiązka lasera wystrzelona z jednego punktu, niezależnie od kierunku, nie może trafić w drugi punkt.

Kluczową ideą, którą Tokarsky zastosował podczas budowy swojego specjalnego stołu, było to, że jeśli wiązka lasera zaczyna się pod jednym z ostrych kątów w trójkącie 45°-45°-90°, nigdy nie może powrócić do tego narożnika.

Jego postrzępiony stół składa się z 29 takich trójkątów ułożonych tak, aby sprytnie wykorzystać ten fakt. W 2019 r Amita Woleckiego, wówczas absolwent Uniwersytetu w Tel Awiwie, zastosował tę samą technikę wytworzyć kształt z 22 bokami (pokazane poniżej), co, jak udowodnił, jest najmniejszą możliwą liczbą boków dla kształtu, który ma dwa wewnętrzne punkty, które nie oświetlają się nawzajem.

Udowodnienie wyników w drugą stronę było znacznie trudniejsze. W 2014 roku Maryam Mirzakhani, matematyczka z Uniwersytetu Stanforda, została pierwszą kobietą, która zdobyć medal Fieldsa, najbardziej prestiżowa nagroda matematyczna, za pracę nad przestrzeniami modułów powierzchni Riemanna — rodzaj uogólnienia twierdzeń, których Masur użył, aby wykazać, że wszystkie wielokątne tablice z kątami wymiernymi mają orbity okresowe. W 2016 r. Samuela Lelièvre’a Uniwersytetu Paris-Saclay, Thierry’ego Monteila francuskiego Narodowego Centrum Badań Naukowych i Baraka Weissa z Uniwersytetu w Tel Awiwie zastosował szereg wyników Mirzakhaniego pokazać że dowolny punkt wymiernego wielokąta oświetla wszystkie punkty z wyjątkiem skończenie wielu. Mogą istnieć pojedyncze ciemne plamy (jak w przykładach Tokarskiego i Woleckiego), ale nie ma ciemnych obszarów, jak w przykładzie Penrose'a, który ma zakrzywione ściany, a nie proste. W Artykuł Woleckiego z 2019 roku, wzmocnił ten wynik, udowadniając, że istnieje tylko skończenie wiele par nieoświetlonych punktów.

Niestety, Mirzakhani zmarł w 2017 roku w wieku 40 lat, po walce z chorobą nowotworową. Jej prace wydawały się dalekie od trików w salach bilardowych. A jednak analiza trajektorii gry w bilard pokazuje, jak nawet najbardziej abstrakcyjna matematyka może powiązać się ze światem, w którym żyjemy.