Matemáticos eliminam ameaça de longa data à conjectura do nó

Mais de 60 anos atrás, Ralph Fox apresentou um problema sobre nós que assombra os matemáticos até hoje. a pergunta dele agora é frequentemente formulado como a “conjectura da fita de corte”, que postula que dois grupos aparentemente distintos de nós são na verdade os mesmos. Com sua sugestão de simplicidade elegante dentro do mundo dos nós, tornou-se um dos problemas de maior destaque na teoria dos nós. “Isso significaria que o mundo é um pouco mais estruturado do que você poderia esperar de outra forma”, disse Raio Arunima, um matemático do Instituto Max Planck de Matemática em Bonn.

Durante décadas, um determinado nó foi suspeito de ser uma possível rota para resolver a conjectura. Ainda em um papel postado no verão passado, cinco matemáticos descobriram que esse nó não vai funcionar afinal. Embora os argumentos que eles introduziram forneçam novos insights sobre uma classe mais ampla de nós, o trabalho como um todo deixa os matemáticos incertos sobre a conjectura. “Acho que há uma controvérsia legítima real sobre se isso será verdade ou não”, disse Kristen Hendricks, um matemático da Rutgers University.

A conjectura da fita de fatia diz respeito a dois tipos de nós: nós de fatia e nós de fita. Descobrir quais nós são cortados é “uma das questões fundamentais que giram em torno de nosso assunto”, disse Abhishek Mallick, um dos autores do novo artigo.

Um nó matemático pode ser pensado como um laço comum de barbante. Os matemáticos chamam um loop simples sem um nó de “nó”. (Embora este não seja um nó no sentido comum da palavra, os matemáticos consideram o nó sem nó como o exemplo mais simples de um nó.)

Os nós também definem o limite de uma forma que os matemáticos chamam de disco, embora nem sempre pareça um disco no sentido comum da palavra. O exemplo mais simples, o nó, forma o limite de um círculo – um “disco” que de fato se parece com um disco. Mas o loop forma o limite não apenas de um círculo que fica plano sobre uma mesa, mas também de uma tigela - que se estende em três dimensões - que é colocada de cabeça para baixo em cima da mesa. Os discos que os nós definem podem ser estendidos de três dimensões para quatro.

Se houver um nó na corda, os discos ficam mais complicados. No espaço tridimensional, esses discos têm singularidades — pontos onde se comportam mal matematicamente. Os nós fatia são aqueles para os quais é possível — em quatro dimensões — encontrar um disco sem tais singularidades. Os nós de fatia são os “próxima melhor coisa ao desatado”, como Peter Teichner, também do Instituto Max Planck, colocou isso.

Apesar disso, os discos limitados por nós de corte em três dimensões podem ser feios e difíceis de trabalhar. A conjectura da fatia de fita diz que eles não precisam necessariamente ser.

Nós de fita são nós cujos discos se assemelham a fitas. Em três dimensões, essas fitas podem passar por si mesmas, assim como uma fita comum pode ser puxada por um corte feito em seu centro. Matematicamente, tal passagem é chamada de singularidade de fita. Ao contrário de outros tipos de singularidades, a singularidade da fita pode ser facilmente eliminada movendo-se para quatro dimensões. Isso torna mais fácil para os matemáticos mostrarem que todos os nós da fita são cortados.

O inverso – que cada nó de fatia também é uma fita – é a conjectura da fita de fatia, que tem sido uma questão em aberto há décadas. (Para complicar ainda mais, os nós de fatia têm várias classificações relacionadas, incluindo “fatia suave” e “fatia topológica”.

Para refutar a conjectura, basta encontrar um nó que seja cortado suavemente, mas não uma fita. Durante décadas, os matemáticos estavam de olho em um candidato: o cabo (2, 1) do nó em oito, feito passando uma segunda corda ao longo de um nó em oito e depois fundindo as duas cordas para fazer um único nó.

Em 1980, Akio Kawauchi provou que esse nó é fatiado racional e algebricamente, propriedades que são semelhantes a fatias suaves, mas não exatamente iguais. Em 1994, Katura Miyazaki provou que não é fita, deixando uma abertura de suspense para os matemáticos. Se o resultado de Kawauchi pudesse ser reforçado apenas um toque para mostrar que o nó é cortado suavemente, isso refutaria a conjectura.

O novo artigo prova que o nó em questão não é cortado, afinal, fechando a porta com força.

“A conjectura da fatia de fita continua forte”, disse Hendricks, que trabalhou em estreita colaboração com dois dos autores do novo artigo. “Isso é muito empolgante, porque as pessoas tentam entender esse exemplo há muito tempo.”

A nova prova é baseada em algo chamado cobertura dupla ramificada. Você pode visualizar uma cobertura dupla ramificada pensando em uma esfera oca, como uma bola de basquete. Para fazer uma cobertura dupla ramificada de uma bola de basquete, abra-a de cima para baixo ao longo de uma das linhas de longitude. Agora, puxe um lado da borracha onde você cortou, esticando-o ao longo do equador até que o material envolva toda a volta. Depois de terminar essa transformação, você terá uma bola de basquete feita de duas camadas intercambiáveis ​​de material, daí a “cobertura dupla”. (Nesse cenário, a borracha pode ser esticada e torcida da maneira que você quiser, sem quebrar ou amassar.)

O “ramificado” em “cobertura dupla ramificada” vem de uma peculiaridade da transformação. Como você esticou horizontalmente, ainda há apenas uma camada nos pontos superior e inferior da bola, os pólos norte e sul. Esses pontos são chamados de pontos de ramificação e sua presença transforma a cobertura dupla em uma cobertura dupla ramificada.

Quando se trata de nós, a cobertura dupla ramificada é montada de forma que os pontos de ramificação sejam o próprio nó: os pontos que, como os pólos norte e sul da bola de basquete, são percorridos apenas uma vez.

“Historicamente, olhar para capas duplas tem sido uma ferramenta padrão do comércio”, disse Jennifer Hom, um matemático do Instituto de Tecnologia da Geórgia que trabalhou com dois dos autores do novo artigo. Isso ocorre porque - assim como uma bola de basquete envolve uma bola de ar - a cobertura dupla ramificada de um nó de fatia envolve uma certa forma quadridimensional. Se os matemáticos puderem mostrar que a cobertura dupla ramificada de um nó não envolve a forma 4D correta, eles podem descartar a possibilidade de que o nó seja cortado.

Mas isso não funciona bem para o cabo (2, 1) do nó em forma de oito: sua cobertura dupla ramificada envolve o tipo certo de forma quadridimensional. Mostrar que o cabo (2, 1) do nó em forma de oito não é uma fatia depende de uma simetria frequentemente negligenciada da forma.

Quando você estica a superfície de uma bola de basquete para formar uma cobertura dupla ramificada, pode se imaginar fazendo algo análogo à bola tridimensional de ar dentro dela. Conforme você puxa a borracha ao redor da bola, apenas puxe o ar junto com ela. Assim como as duas camadas de borracha são intercambiáveis, existem dois hemisférios na bola de ar que terminam no mesmo lugar. Em outras palavras, a simetria de fora da bola se estende para dentro.

Da mesma forma, as simetrias na cobertura dupla ramificada de um nó de fatia alcançam o espaço 4D interno. Os matemáticos geralmente desconsideram essa simetria ao tentar mostrar que os nós não são cortados. Mas, neste caso, era essencial. Se os autores do novo trabalho pudessem mostrar que não havia tal simetria, poderiam concluir que o nó não é cortado.

“Como a pergunta não se refere a nenhuma simetria, você pensaria: bem, como a simetria entra em cena para dizer alguma coisa sobre ela? Mas de alguma forma, magicamente, neste caso a simetria vem à tona e resolve o problema para você”, disse Mallick, autor do novo artigo com Irving Dai da Universidade de Stanford, Parque JungHwan do Instituto Avançado de Ciência e Tecnologia da Coreia, Mateus Stoffregen da Universidade Estadual de Michigan e Sung Kyung Kang do Instituto de Ciências Básicas da Coreia do Sul.

“Sabíamos que aquela estrutura estava lá. Mas parte do motivo pelo qual as pessoas não o estudavam é que não tínhamos como acompanhar essa estrutura”, disse Ray. “Você precisa de uma ferramenta sofisticada e de alta potência para detectar isso.”

Para fazer o argumento, a equipe teve que usar matemática profunda e complicada relacionada ao nó e seu espaço circundante, contando com simetrias mais sutis até mesmo do que as da cobertura dupla ramificada. Em dois papéis anteriores, Dai, Mallick e Stoffregen calcularam algumas dessas propriedades. Quando Kang fez uma visita a Stoffregen no estado de Michigan no verão passado, o cabo (2, 1) do nó em forma de oito ainda em sua mente, os pesquisadores rapidamente perceberam que essas fórmulas resolveriam o problema de sua fatia. “Existe uma intuição que me disse que esse cálculo deveria funcionar”, disse Kang. “E apenas computá-lo, devemos ser capazes de resolver este problema agora.”

No final de julho, o artigo foi publicado online, provando que o nó não era, de fato, cortado. As ideias do artigo, disse Park, devem ser aplicáveis ​​a muitos nós cuja fatia está atualmente em questão. “Este é apenas o começo”, disse ele. Embora este artigo se concentre em um nó específico, Park disse que as ferramentas desenvolvidas funcionarão para famílias de nós muito mais gerais. A não-fatia do nó original, no entanto, garante que a conjectura da fita de fatia permanecerá incerta por enquanto.