A misteriosa matemática das mesas de bilhar | Revista Quanta

No filme da Disney de 1959 Donald na terra da matemática, Pato Donald, inspirado nas descrições do narrador sobre a geometria do bilhar, golpeia energeticamente a bola branca, fazendo-o ricochetear pela mesa antes de finalmente atingir as bolas pretendidas. Donald pergunta: “O que você acha disso para a matemática?”

Como as mesas de bilhar retangulares têm quatro paredes que se encontram em ângulos retos, as trajetórias de bilhar como a de Donald são previsíveis e bem compreendidas – mesmo que sejam difíceis de executar na prática. No entanto, os matemáticos pesquisadores ainda não conseguem responder a questões básicas sobre as possíveis trajetórias das bolas de bilhar em mesas no formato de outros polígonos (formas com lados planos). Mesmo os triângulos, os mais simples dos polígonos, ainda guardam mistérios.

É sempre possível acertar uma bola de modo que ela retorne ao ponto inicial viajando na mesma direção, criando a chamada órbita periódica? Ninguém sabe. Para outras formas mais complicadas, não se sabe se é possível acertar a bola de qualquer ponto da mesa para qualquer outro ponto da mesa.

Embora essas questões pareçam se encaixar perfeitamente nos limites da geometria ensinada no ensino médio, as tentativas de resolvê-las exigiram que alguns dos mais importantes matemáticos do mundo trouxessem ideias de campos díspares, incluindo sistemas dinâmicos, topologia e geometria diferencial. Tal como acontece com qualquer grande problema matemático, o trabalho sobre estes problemas criou uma nova matemática e retroalimentou e avançou o conhecimento nesses outros campos. No entanto, apesar de todo este esforço e da visão que os computadores modernos trouxeram, estes problemas aparentemente simples resistem teimosamente à resolução.

Aqui está o que os matemáticos aprenderam sobre o bilhar desde a tacada épica do Pato Donald.

Eles normalmente presumem que sua bola de bilhar é um ponto infinitamente pequeno e adimensional e que ricocheteia nas paredes com perfeita simetria, partindo no mesmo ângulo em que chega, como pode ser visto abaixo.

Sem atrito, a bola viaja indefinidamente, a menos que chegue a um canto, o que para a bola como uma caçapa. A razão pela qual o bilhar é tão difícil de analisar matematicamente é que duas tacadas quase idênticas caindo em cada lado de um canto podem ter trajetórias extremamente divergentes.

Um método fundamental para analisar o bilhar poligonal não é pensar na bola como se estivesse quicando na borda da mesa, mas sim imaginar que toda vez que a bola atinge uma parede, ela continua viajando para uma nova cópia da mesa que é virada de cabeça para baixo. borda, produzindo uma imagem espelhada. Esse processo (visto abaixo), denominado desdobramento da trajetória do bilhar, permite que a bola continue em trajetória retilínea. Ao dobrar as mesas imaginadas sobre suas vizinhas, você pode recuperar a trajetória real da bola. Este truque matemático torna possível provar coisas sobre a trajetória que de outra forma seriam difíceis de ver.

Por exemplo, pode ser usado para mostrar por que tabelas retangulares simples têm infinitas trajetórias periódicas através de cada ponto. Um argumento semelhante vale para qualquer retângulo, mas para ser mais concreto, imagine uma mesa que tenha o dobro da largura e do comprimento.

Suponha que você queira encontrar uma órbita periódica que cruze a mesa n vezes na direção longa e m vezes na direção curta. Como cada imagem espelhada do retângulo corresponde à bola quicando em uma parede, para que a bola retorne ao seu ponto inicial viajando na mesma direção, sua trajetória deve cruzar a mesa um número par de vezes em ambas as direções. Então m e n deve ser par. Disponha uma grade de retângulos idênticos, cada um visto como uma imagem espelhada de seus vizinhos. Desenhe um segmento de linha de um ponto na tabela original até o ponto idêntico em uma cópia n mesas afastadas na direção longa e m mesas afastadas na direção curta. Ajuste ligeiramente o ponto original se o caminho passar por um canto. Aqui está um exemplo onde n = 2 e m = 6. Quando dobrado para cima, o caminho produz uma trajetória periódica, conforme mostrado no retângulo verde.

Uma desigualdade triangular

Bilhar em triângulos, que não possuem a bela geometria em ângulo reto dos retângulos, é mais complicado. Como você deve se lembrar da geometria do ensino médio, existem vários tipos de triângulos: triângulos agudos, onde todos os três ângulos internos são menores que 90 graus; triângulos retângulos, que possuem um ângulo de 90 graus; e triângulos obtusos, que têm um ângulo superior a 90 graus.

As mesas de bilhar em forma de triângulos agudos e retângulos têm trajetórias periódicas. Mas ninguém sabe se o mesmo se aplica aos triângulos obtusos.

Para encontrar uma trajetória periódica em um triângulo acutângulo, desenhe uma linha perpendicular de cada vértice ao lado oposto, como pode ser visto à esquerda abaixo. Junte os pontos onde ocorrem os ângulos retos para formar um triângulo, como pode ser visto à direita.

Este triângulo inscrito é uma trajetória periódica de bilhar chamada órbita de Fagnano, em homenagem a Giovanni Fagnano, que em 1775 mostrou que este triângulo tem o menor perímetro de todos os triângulos inscritos.

No início da década de 1990, Fred Holt, da Universidade de Washington e Gregório Galperin e seus colaboradores na Universidade Estadual de Moscou independentemente mostrou que todo triângulo retângulo tem órbitas periódicas. Uma maneira simples de mostrar isso é refletir o triângulo em torno de uma perna e depois da outra, conforme mostrado abaixo.

Comece com uma trajetória que forma um ângulo reto com a hipotenusa (o lado maior do triângulo). A hipotenusa e sua segunda reflexão são paralelas, então um segmento de reta perpendicular que as une corresponde a uma trajetória que irá saltar para frente e para trás para sempre: A bola sai da hipotenusa em ângulo reto, ricocheteia em ambas as pernas, retorna à hipotenusa em ângulo reto ângulo e, em seguida, refaz sua rota.

Mas os triângulos obtusos permanecem um mistério. No seu artigo de 1992, Galperin e os seus colaboradores criaram uma variedade de métodos para refletir triângulos obtusos de uma forma que permite criar órbitas periódicas, mas os métodos só funcionaram para alguns casos especiais. Então, em 2008, Richard Schwartz na Brown University mostrou que todos os triângulos obtusos com ângulos de 100 graus ou menos contém uma trajetória periódica. Sua abordagem envolveu dividir o problema em vários casos e verificar cada caso usando matemática tradicional e assistência computacional. Em 2018, Jacob Garber, Boyan Marinov, Kenneth Moore e George Tokarsky na Universidade de Alberta estendeu esse limite para 112.3 graus. (Tokarsky e Marinov passou mais de uma década perseguindo esse objetivo.)

Uma virada topológica

Outra abordagem foi usada para mostrar que se todos os ângulos são racionais — isto é, podem ser expressos como frações — triângulos obtusos com ângulos ainda maiores devem ter trajetórias periódicas. Em vez de apenas copiar um polígono em um plano plano, esta abordagem mapeia cópias de polígonos em superfícies topológicas, donuts com um ou mais furos.

Se você refletir um retângulo sobre seu lado mais curto e, em seguida, refletir ambos os retângulos sobre seu lado mais longo, formando quatro versões do retângulo original, e depois colar a parte superior e inferior e a esquerda e a direita juntas, você terá feito um donut, ou toro, conforme mostrado abaixo. As trajetórias do bilhar na mesa correspondem às trajetórias do toro e vice-versa.

Em um artigo marcante de 1986, Howard Masur usou esta técnica para mostrar que todas as tabelas poligonais com ângulos racionais têm órbitas periódicas. Sua abordagem funcionou não apenas para triângulos obtusos, mas também para formas muito mais complicadas: mesas irregulares de 100 lados, digamos, ou polígonos cujas paredes ziguezagueiam e criam cantos e recantos, têm órbitas periódicas, desde que os ângulos sejam racionais.

Curiosamente, a existência de uma órbita periódica num polígono implica a existência de infinitas; mudar um pouco a trajetória produzirá uma família de trajetórias periódicas relacionadas.

O problema da iluminação

Formas com cantos e recantos levantam uma questão relacionada. Em vez de perguntar sobre trajetórias que retornam ao seu ponto de partida, este problema pergunta se as trajetórias podem visitar todos os pontos de uma determinada tabela. Isso é chamado de problema de iluminação porque podemos pensar nisso imaginando um feixe de laser refletido nas paredes espelhadas que circundam a mesa de bilhar. Perguntamos se, dados dois pontos em uma determinada mesa, você sempre pode direcionar um laser (idealizado como um raio de luz infinitamente fino) de um ponto a outro. Dito de outra forma, se colocássemos uma lâmpada, que brilha em todas as direções ao mesmo tempo, em algum ponto da mesa, ela iluminaria toda a sala?

Houve duas linhas principais de pesquisa sobre o problema: encontrar formas que não podem ser iluminadas e provar que grandes classes de formas podem ser. Enquanto encontrar formas estranhas que não podem ser iluminadas pode ser feito através de uma aplicação inteligente de matemática simples, provar que muitas formas podem ser iluminadas só foi possível através do uso de maquinaria matemática pesada.

Em 1958, Roger Penrose, um matemático que venceu o Prêmio Nobel de Física 2020, encontrou uma tabela curva na qual qualquer ponto de uma região não poderia iluminar nenhum ponto de outra região. Durante décadas, ninguém conseguiu criar um polígono que tivesse a mesma propriedade. Mas em 1995, Tokarsky usou um fato simples sobre triângulos para criar um polígono em bloco de 26 lados com dois pontos que são mutuamente inacessíveis, mostrado abaixo. Ou seja, um raio laser disparado de um ponto, independente de sua direção, não pode atingir o outro ponto.

A ideia principal que Tokarsky usou ao construir sua mesa especial foi que se um feixe de laser começar em um dos ângulos agudos de um triângulo de 45°-45°-90°, ele nunca poderá retornar a esse canto.

Sua mesa recortada é composta por 29 desses triângulos, dispostos para fazer uso inteligente desse fato. Em 2019 Amit Wolecki, então estudante de pós-graduação na Universidade de Tel Aviv, aplicou essa mesma técnica para produzir uma forma com 22 lados (mostrados abaixo), que ele provou ser o menor número possível de lados para uma forma que tinha dois pontos internos que não se iluminam.

Provar resultados na outra direção tem sido muito mais difícil. Em 2014, Maryam Mirzakhani, matemática da Universidade de Stanford, tornou-se a primeira mulher a ganhar a medalha Fields, o prêmio de maior prestígio da matemática, por seu trabalho nos espaços de módulos das superfícies de Riemann - uma espécie de generalização dos donuts que Masur usou para mostrar que todas as tabelas poligonais com ângulos racionais têm órbitas periódicas. Em 2016, Samuel Lelievre da Universidade Paris-Saclay, Thierry Monteil do Centro Nacional Francês de Pesquisa Científica e Barak Weiss da Universidade de Tel Aviv aplicou vários resultados de Mirzakhani para mostrar que qualquer ponto em um polígono racional ilumina todos os pontos, exceto um número finito. Pode haver manchas escuras isoladas (como nos exemplos de Tokarsky e Wolecki), mas não há regiões escuras como no exemplo de Penrose, que tem paredes curvas em vez de retas. Em Artigo de Wolecki de 2019, ele reforçou esse resultado provando que existem apenas um número finito de pares de pontos não ilumináveis.

Infelizmente, Mirzakhani morreu em 2017, aos 40 anos, após uma luta contra o câncer. Seu trabalho parecia muito distante dos truques em salões de sinuca. E, no entanto, a análise das trajetórias do bilhar mostra como até a matemática mais abstrata pode se conectar ao mundo em que vivemos.