Introdução
Em dezembro de 1977, um revolucionário papel apareceu silenciosamente no Journal d'Analyse Mathématique, uma revista especializada em matemática. O autor, Hillel Furstenberg, não reivindicou quaisquer resultados emocionantes – ou mesmo novos. Ele simplesmente ofereceu a prova de um teorema que outro matemático, Endre Szemerédi, já havia provado dois anos antes.
Apesar disso, o artigo de Furstenberg deixou uma marca duradoura na matemática. O seu novo argumento continha um núcleo de conhecimento com consequências de longo alcance: era possível reformular problemas como o que Szemerédi tinha resolvido, sobre conjuntos de números inteiros, em questões sobre pontos que se deslocam no espaço.
Nos anos seguintes, as técnicas de Furstenberg foram usadas repetidas vezes e, pouco a pouco, foram ajustadas e aprimoradas. No início deste ano, eles foram sobrecarregados, aparecendo em dois novos artigos que revelam padrões infinitos em conjuntos de números inteiros – progredindo aos trancos e barrancos além do teorema de Szemerédi, agora com 47 anos de idade.
Prova de Furstenberg
Szemerédi estava examinando conjuntos que contêm uma “fração positiva” de todos os inteiros. Tomemos, por exemplo, o conjunto que contém todos os múltiplos de 5. À medida que você olha para faixas cada vez maiores da reta numérica, múltiplos de 5 continuam a aparecer regularmente. Os matemáticos dizem que o conjunto que contém todos os múltiplos de 5 tem a fração de um quinto de todos os inteiros.
Em contraste, embora haja um número infinito de números primos, eles se tornam tão raros à medida que os números aumentam que o conjunto de todos os primos não contém uma fração positiva dos inteiros, ou dito de outra forma, não tem uma densidade positiva. . Em vez disso, diz-se que os primos têm densidade zero.
Szemerédi procurava exemplos das chamadas progressões aritméticas, ou cadeias de números espaçados uniformemente. Por exemplo, imagine que você tem uma sequência infinita de números, como os quadrados perfeitos: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,…}. Os quadrados perfeitos têm uma progressão aritmética de comprimento três escondida nos primeiros termos: {1, 25, 49}. Cada número nesta progressão é 24 a mais que seu antecessor.
Szemerédi provou que qualquer conjunto compreendendo uma fração positiva dos inteiros deve conter progressões aritméticas arbitrariamente longas. O resultado foi um marco no subcampo da matemática chamado combinatória aditiva.
A prova de Szémeredi, embora brilhante, era quase impossível de seguir. “Até hoje, acho que talvez apenas três ou quatro pessoas realmente entendam a prova [de Szemerédi]”, disse Terence tao, um matemático da Universidade da Califórnia, em Los Angeles.
Portanto, o argumento mais compreensível de Furstenberg foi bem-vindo. Para escrevê-lo, Furstenberg baseou-se em métodos de seu próprio campo da matemática, sistemas dinâmicos. Um sistema dinâmico é qualquer processo que muda com o tempo. Isso pode ser algo tão simples quanto uma bola de bilhar rolando em uma mesa de sinuca. Tudo que você precisa é de uma forma de representar matematicamente seu sistema e de uma regra de como ele evolui. Uma bola, por exemplo, pode ser descrita pela sua posição e velocidade. Esse sistema progride de maneira prescrita ao longo do tempo, seguindo as leis da física clássica.
Furstenberg estava mais interessado em algo chamado teoria ergódica. Em vez de observar o estado de um sistema em um determinado momento, os teóricos ergódicos estudam estatísticas durante longos períodos. Para uma bola de bilhar, isso pode significar descobrir se a bola acaba em alguns pontos da mesa mais do que em outros, devido à maneira como ela tende a quicar nas paredes.
A ideia chave de Furstenberg era ver conjuntos de inteiros não como objetos fixos, mas como estados momentâneos num sistema dinâmico. Pode parecer uma pequena mudança de perspectiva, mas permitiu-lhe usar ferramentas da teoria ergódica para provar resultados em combinatória. Na época, Furstenberg não tinha ideia de que suas ideias ganhariam vida própria. “Acontece que eu gostava de ter essa outra prova”, disse ele. Mas outros viram a promessa da ligação entre a teoria ergódica e a combinatória. “Toda uma geração de teóricos ergódicos começou a investir na combinatória e a resolver todos esses problemas, e vice-versa”, disse Tao.
Nos últimos anos, quatro matemáticos - Bryna Kra, Joel Moreira, Florian Richter e Donald Robertson - desenvolveram as técnicas de Furstenberg para encontrar não apenas progressões arbitrariamente longas dentro de qualquer conjunto contendo uma fração positiva dos inteiros, mas também versões infinitas de estruturas chamadas somas.
“Sumsets são muito menos específicos que progressões; eles têm uma aparência muito menos especial”, disse Robertson. “Mas é mais interessante e mais delicado, porque os conjuntos são configurações infinitas, enquanto as progressões são finitas.”
Se Furstenberg construiu uma ponte entre a teoria ergódica e a combinatória, Kra, Moreira, Richter e Robertson ampliaram-na para “uma autoestrada de seis pistas”, disse Tao.
B + C conjetura
O teorema de Szemerédi foi proposto pela primeira vez, mas não provado, em 1936, por dois matemáticos. Um deles foi um matemático húngaro famoso por fazer conjecturas: Paul Erdős. Em 2016, enquanto Moreira trabalhava em sua tese de doutorado na Ohio State University, ele se deparou com outra conjectura que Erdős fez sobre as estruturas chamadas sumsets.
Um sumset é feito de dois outros conjuntos; ligue para aqueles B e C. O sumset, escrito como B + C, é construído somando todos os pares possíveis de números, retirando um número de B e o outro de C. Erdős conjecturou que para qualquer conjunto A que contém uma fração positiva de inteiros, existem outros conjuntos infinitos B e C cujo sumset está contido dentro A. No artigo que Moreira estava lendo, os autores provaram a conjectura de Erdős quando A contém uma grande fração dos inteiros. Mas para conjuntos menores de densidade positiva, o resultado ainda era desconhecido. “Assim que li o comunicado, achei que era uma pergunta muito boa, porque é muito simples”, disse Moreira. “Ou é falso ou não deveria ser difícil. O que, claro, estava errado. Não foi falso nem fácil.”
Moreira trouxe Richter e Robertson, amigos seus da pós-graduação, para o projeto. Robertson, agora na Universidade de Manchester, formou-se um ano antes de Moreira, e Richter estava alguns anos atrasado. Todos os três eram bem versados na aplicação de técnicas da teoria ergódica à combinatória. Mas este problema colocou novos desafios.
“Praticamente não havia precedente para encontrar somas infinitas dentro de um conjunto de densidade positiva”, disse Daniel Glasscock, um matemático da Universidade de Massachusetts, Lowell, que fez pós-graduação com Moreira, Richter e Robertson.
Talvez por essa razão, o problema sumset tenha se mostrado difícil de resolver. “Temos que forçar um pouco a concretização da teoria ergódica”, disse Moreira. Seus esforços acabaram valendo a pena, e no que Marcin Sabok da Universidade McGill chamou de “realização surpreendente”, eles conseguiram provar a conjectura de Erdős em 2018. A prova foi posteriormente publicado no Anais de Matemática, uma das revistas de matemática mais prestigiadas.
As novas provas
Esse artigo deixou duas grandes questões em aberto. Uma delas foi outra conjectura sumset de Erdős chamada de B + B + t conjetura.
Moreira, Richter e Robertson também levantaram uma questão: se você tiver um conjunto de densidade positiva A, você pode encontrar três conjuntos infinitos - B, C e agora D - onde B + C + D está dentro A? E quanto a quatro conjuntos infinitos? Cinco?
Depois de apresentarem a versão multiconjunto, os matemáticos ficaram paralisados por um tempo. Parecia que as técnicas usadas para a conjectura dos dois conjuntos haviam atingido o limite.
“Não conseguimos encontrar uma reformulação dinâmica deste problema”, disse Richter. A abordagem deles, disse ele, “simplesmente falhou logo no início”.
Dois anos se passaram antes que eles vissem um progresso real. Nessa época, Richter era pós-doutorado na Northwestern University, onde Bryna Kra era professor. Em 2020, impedidos de se encontrarem pessoalmente pela pandemia de Covid-19, Kra e Richter discutiram o problema do sumset no Zoom.
“Eventualmente, criamos algumas outras variações que entendemos”, disse Kra.
Kra e Richter passaram a conversar semanalmente com Moreira e Robertson, reexaminando a prova de 2018.
“O que tivemos que fazer foi repensar cada passo da prova, começando com a tradução para um sistema dinâmico”, disse Kra.
Útil para sua causa foi um 2019 papel por um matemático francês chamado Bernardo Anfitrião. Host provou novamente o resultado de Moreira, Richter e Robertson e descobriu como fazer a teoria ergódica funcionar. Na opinião de Moreira, Host “viu como escrever a nossa prova da forma como deveria ter sido escrita”.
Com as melhorias de Host em mãos, Kra, Moreira, Richter e Robertson continuaram a ajustar suas provas, tentando extrair o argumento mais simples e elegante possível. “Estávamos apenas dissecando isso, eu acho, uma e outra vez, para realmente ver: qual é o cerne da questão?” disse Richter. “No final, tivemos uma prova que tinha muito pouca semelhança com a prova inicial.”
A prova que obtiveram, como a de Furstenberg, era que os conjuntos infinitos de números inteiros eram carimbos de data e hora em um sistema dinâmico. Este sistema dinâmico, porém, é melhor visualizado como pontos saltando no espaço.
Aqui está uma imagem aproximada de como funciona: comece ficando em um canto de uma sala fechada, chame-o de Canto 0. Você está equipado com uma lista de horários. A. Esse conjunto, A, é um conjunto de inteiros de densidade positiva.
Você também está equipado com uma regra para se movimentar pela sala. A cada segundo, você se move para um novo local, com base em onde estava. A regra exata que você segue será projetada para corresponder ao seu conjunto de horários A — sempre que o carimbo de data/hora estiver em A, você se encontrará em uma área especial da sala.
Por exemplo, digamos A consiste em todos os números divisíveis por 4 e, a cada segundo, você se move no sentido horário para o próximo canto da sala. Após um segundo, você passa para o canto 1; após dois segundos, Canto 2 e assim por diante. Então, a cada quatro etapas - ou seja, para cada vez que estiver UMA - você terá retornado ao canto 0 original.
Esse processo continua para sempre. Viajando de canto a canto em um círculo no sentido horário, você visitará cada canto infinitamente muitas vezes. Um ponto do qual você se aproxima um número infinito de vezes é chamado de ponto de acumulação.
Kra, Moreira, Richter e Robertson provaram que você pode escolher habilmente um desses locais para encontrar o seu conjunto B + C. No exemplo do canto, pegue o canto 1. Você chega lá nos tempos 1, 5, 9 e 13 – tempos que parecem 4n + 1 para algum número inteiro n. Deixei B seja o conjunto daqueles tempos.
Agora imagine que, em vez de começar no canto 0, você começa no canto 1. Isso significa que, às vezes divisível por 4, você estará de volta ao canto 1 e chegará ao canto 0 três passos depois: às vezes 3, 7, 11 ou qualquer número da forma 4n + 3. Chame o conjunto desses tempos C.
Agora, reinicie seu processo a partir do Canto 0. Desta vez, veja o que acontece se você pegar um número de B e um número de C - digamos, 13 de B e 3 de C - e some-os.
Isso levaria 13 + 3 = 16 segundos. Como 16 é múltiplo de 4, está em A. Mas você também pode prever que 13 + 3 será divisível por 4 e, portanto, em A, sem realmente adicionar 13 e 3. Basta acompanhar o que acontece no sistema dinâmico quando você espera 13 + 3 segundos: Primeiro, passam 13 segundos. Nesse ponto, você se encontra no Canto 1. Depois, partindo do Canto 1, você dá mais três passos, o que o leva de volta ao Canto 0. Como você começou no Canto 0 e acabou lá atrás, você deve ter esperado um múltiplo de quatro segundos, o que significa que a quantidade total de tempo era um número no conjunto original A.
Para fazer esse argumento funcionar, o grupo teve que lidar com muitos detalhes matemáticos delicados. Por exemplo, na maioria dos casos você tem um número infinito de locais disponíveis para se mover, e não apenas quatro cantos. Isso significa que você não retornará a um local infinitamente muitas vezes; você só chegará perto dele infinitas vezes. Isso introduziu novas complicações matemáticas no argumento. Mas assim que descobriram como o processo funcionaria, eles sabiam que seriam capazes de enfrentar as questões mais difíceis que procuravam.
“Nós criamos esta prova aqui e ficou imediatamente claro como generalizá-la”, disse Richter, que agora trabalha no Instituto Federal Suíço de Tecnologia de Lausanne. Para provar a versão multiconjunto da conjectura, por exemplo, os pesquisadores poderiam simplesmente adicionar um ponto de acumulação ao caminho. O argumento geral era o mesmo, apenas com uma nova camada de complicação.
Resolver todos os detalhes técnicos não foi fácil. Depois de definirem sua configuração dinâmica, Kra, Moreira, Richter e Robertson levaram mais de um ano para elaborar provas das conjecturas mais difíceis. Em junho deste ano, o grupo finalmente publicou dois artigos. Um provou a versão multiconjunto da conjectura sumset. A outra provou o B + B + t versão da conjectura, que exige que o segundo conjunto C ser igual ao primeiro conjunto B, deslocado por alguma constante, t.
Próximos Passos
Embora os artigos de junho resolvam duas questões sobre sumsets, Kra, Moreira, Richter e Robertson vislumbram um longo futuro para sua linha de pesquisa. “Tal como acontece com tudo o que Erdős pediu, ele só quer que coloquemos o pé na porta”, disse Moreira, agora na Universidade de Warwick. “Mas agora precisamos abrir a porta e explorar o que mais existe.”
Nos seus novos artigos, os quatro matemáticos expõem diversas direções possíveis de exploração, na forma de questões ainda sem resposta. Baseia-se no fato de que, embora qualquer conjunto de densidade positiva A contém uma soma infinita B + C, não contém necessariamente os dois componentes B e C. Quando você pode insistir nisso B e C também deve estar contido dentro A? Os autores também desafiam os matemáticos a descobrir se conseguem encontrar uma sequência infinita de conjuntos infinitos cujas somas estão contidas em A.
Outra questão em aberto na área já foi respondida por Matt Bowen, aluno de graduação de Sabok na Universidade McGill. Em outubro, ele publicado uma prova de que se você atribuir a cada número inteiro uma de algumas cores, poderá encontrar um conjunto de soma B + C e um produto de conjuntos BC dentro de apenas uma das cores.
Ainda não se sabe exatamente aonde mais o novo trabalho de Kra, Moreira, Richter e Robertson irá levar. Mas Tao, pelo menos, está otimista em relação às novas técnicas que o grupo desenvolveu. O que eles conseguem com seus métodos é “realmente incrível”, disse ele. “Existem outras questões envolvendo conjuntos infinitos que antes eram consideradas sem esperança, agora ao nosso alcance.”
