Matemáticos maravilham-se com cortes 'malucos' em quatro dimensões | Revista Quanta

Os objetos centrais de estudo em topologia são espaços chamados variedades, que parecem planos quando você os amplia. A superfície de uma esfera, por exemplo, é uma variedade bidimensional. Os topologistas entendem muito bem essas variedades bidimensionais. E desenvolveram ferramentas que lhes permitem compreender variedades tridimensionais e aquelas com cinco ou mais dimensões.

Mas em quatro dimensões, “tudo fica um pouco maluco”, disse Sam Hughes, pesquisador de pós-doutorado na Universidade de Oxford. As ferramentas param de funcionar; surge um comportamento exótico. Como Tom Mrowka do Instituto de Tecnologia de Massachusetts explicou: “Há espaço suficiente para haver fenômenos interessantes, mas não tanto espaço a ponto de eles desmoronarem”.

No início da década de 1990, Mrowka e Pedro Kronheimer da Universidade de Harvard estavam estudando como superfícies bidimensionais podem ser incorporadas em variedades quadridimensionais. Eles desenvolveram novas técnicas para caracterizar essas superfícies, permitindo-lhes obter insights cruciais sobre a estrutura de outra forma inacessível das variedades quadridimensionais. Suas descobertas sugeriram que todos os membros de uma ampla classe de superfícies cortam sua variedade original de uma maneira relativamente simples, deixando uma propriedade fundamental inalterada. Mas ninguém poderia provar que isso sempre foi verdade.

Em fevereiro, juntamente com Daniel Rubermann da Universidade Brandeis, Hughes construiu uma sequência de contra-exemplos - superfícies bidimensionais “malucas” que dissecam suas variedades parentais de maneiras que os matemáticos acreditavam serem impossíveis. Os contra-exemplos mostram que as variedades quadridimensionais são ainda mais notavelmente diversas do que os matemáticos das décadas anteriores haviam percebido. “É realmente um papel lindo”, disse Mrowka. “Eu simplesmente fico olhando para isso. Há muitas coisinhas deliciosas lá.”

Fazendo uma lista

No final do ano passado, Ruberman ajudou a organizar uma conferência que criou uma nova lista dos problemas abertos mais significativos em topologia de baixa dimensão. Ao se preparar para isso, ele examinou uma lista anterior de importantes problemas topológicos não resolvidos de 1997. Ela incluía uma questão que Kronheimer havia colocado com base em seu trabalho com Mrowka. “Estava lá e acho que foi um pouco esquecido”, disse Ruberman. Agora ele achava que poderia responder.

Para entender a questão, é útil considerar primeiro duas ideias-chave: variedades simplesmente conexas e o grupo fundamental.

Variedades simplesmente conectadas são espaços sem furos passando por eles. Numa dimensão, uma linha infinita está simplesmente conectada, mas um círculo não. Em duas dimensões, um plano infinito e a superfície de uma esfera estão simplesmente conectados, mas a superfície de uma rosca não.

Os matemáticos tornam essa distinção rigorosa colocando loops em uma variedade e considerando como eles podem ser deformados. Se qualquer loop puder ser reduzido a um ponto, então um coletor será simplesmente conectado. Em um plano ou na superfície de uma esfera, por exemplo, isso é possível – pense em esticar uma corda. Mas se essa corda girar em torno de um círculo, ela não poderá encolher. Da mesma forma, na superfície de um donut, os laços que circundam ou passam pelo orifício central não podem ser deformados em um único ponto. O próprio donut atrapalha.

Os matemáticos classificam os espaços que não estão simplesmente conectados calculando o seu “grupo fundamental”, um objeto cuja estrutura reflete como os loops encolhem. Variedades simplesmente conectadas possuem um grupo fundamental “trivial” com apenas um elemento. Mas variedades com buracos têm grupos fundamentais mais complicados.

Variedades quadridimensionais simplesmente conectadas ainda podem ser bastante estranhas. Para compreendê-los, os matemáticos ponderam o que pode acontecer às superfícies bidimensionais nelas incorporadas.

Por analogia, pense em colocar um laço de barbante em um pedaço de papel. Não há muito que você possa fazer com isso. Mas levante-o para o espaço tridimensional e você poderá amarrá-lo em nós complicados. As maneiras pelas quais você pode manipular a corda — uma variedade unidimensional — esclarecem a natureza do espaço em que ela está inserida.

Da mesma forma, no mundo mais complicado das quatro dimensões, as superfícies bidimensionais são “uma espécie de chave para todo o negócio, de muitas maneiras diferentes”, disse Ruberman. “As superfícies dizem muito mais sobre uma variedade quadridimensional do que você tem o direito de esperar.” As superfícies permitem distinguir entre variedades: se uma superfície pode viver dentro de uma variedade, mas não de outra, você sabe que as variedades são diferentes. E as superfícies podem ser usadas para construir novas variedades a partir das antigas.

As superfícies também possuem grupos fundamentais correspondentes. E o mesmo acontece com seus complementos – a parte de uma variedade que sobra quando você remove a superfície. Remova o equador de variedades bidimensionais como a superfície de uma esfera ou donut, por exemplo, e você terá dois hemisférios desconectados. Mas a superfície do donut permanece inteira se você remover um anel vertical em vez de um horizontal. Da mesma forma, dependendo de como você corta uma superfície de uma variedade quadridimensional, você pode obter diferentes tipos de complementos.

Na década de 1990, Mrowka e Kronheimer investigaram o que acontece quando você extrai uma superfície bidimensional de uma variedade quadridimensional. Se a variedade em si for simplesmente conexa, que condições devem as superfícies satisfazer para garantir que os seus complementos também devem ser simplesmente conexos?

Kronheimer e Mrowka sabiam que alguns tipos de superfícies poderiam ter complementos que não estivessem simplesmente conectados. Mas o seu trabalho parecia indicar que outra ampla classe de superfícies deve sempre ter complementos simplesmente conectados.

Durante quase três décadas, ninguém conseguiu encontrar um exemplo de superfície nessa classe cujo complemento não fosse simplesmente conectado. Mas no outono de 2023, depois de se deparar com o problema, Ruberman pensou que sim. Em vez de começar com uma variedade quadridimensional e recortar uma superfície, ele começou com uma superfície bidimensional que tinha as propriedades necessárias e construiu uma variedade em torno dela.

Primeiro, ele transformou a superfície em uma bolha quadridimensional. Esta bolha quadridimensional tinha um limite tridimensional, assim como um objeto tridimensional como uma bola tem um limite bidimensional. Ruberman queria anexar uma variedade quadridimensional cuidadosamente escolhida ao outro lado da fronteira, que serviria como complemento da superfície. Se a estratégia funcionasse, então esta variedade teria um grupo fundamental complicado, mas o grupo fundamental de tudo considerado em conjunto seria trivial. O coletor quadridimensional recém-construído seria, portanto, simplesmente conectado.

Mas para conseguir juntar tudo da maneira correta, ele teve que mostrar que o grupo fundamental da nova adição satisfazia todos os tipos de propriedades. “Eu não tinha ideia de como fazer isso”, disse Ruberman.

Então, em janeiro, Hughes – um teórico de grupo – deu uma palestra em Brandeis. Ruberman estava na plateia. Ele reconheceu que Hughes poderia ter a peça que faltava que procurava. Os dois se encontraram no dia seguinte e, em poucas horas, elaboraram as ideias principais de que precisavam. O que Ruberman estava faltando “é algo que os teóricos de grupo vêm computando há 70, 80 anos neste momento”, disse Hughes. “Estamos nisso desde sempre.” No final da semana, eles tinham uma prova concluída.

“Eu sabia algumas coisas, e ele sabia algumas coisas, e nós dois sabíamos o suficiente para fazer isso”, disse Ruberman.

Devido à forma como a teoria dos grupos é usada na prova, “é um pouco incomum”, disse Maggie Miller da Universidade do Texas, Austin. “Está escrito um pouco diferente do que a maioria dos topologistas quadridimensionais se sentiria confortável.”

O resultado é mais um exemplo de como a topologia quadridimensional pode ser complicada. “Existem incrustações de superfícies mais interessantes do que pensávamos”, disse Hughes. Isso torna mais difícil classificar variedades e mais difícil provar outros tipos de resultados sobre elas.

Mesmo assim, em março, İnanç Baykur da Universidade de Massachusetts, Amherst, que organizou a conferência de elaboração de listas do ano passado com Ruberman, anunciou a solução para outro problema envolvendo variedades quadridimensionais simplesmente conectadas da lista de 1997.

Parece que os topologistas estão limpando a casa.