Introdução
Há mais de 2,000 anos, o matemático grego Eratóstenes criou um método para encontrar números primos que continua a repercutir na matemática até hoje. Sua ideia era identificar todos os primos até um determinado ponto, “peneirando” gradualmente os números que não são primos. Sua peneira começa riscando todos os múltiplos de 2 (exceto o próprio 2) e depois os múltiplos de 3 (exceto o próprio 3). O próximo número, 4, já está riscado, então o próximo passo é riscar os múltiplos de 5 e assim por diante. Os únicos números que sobrevivem são os primos – números cujos únicos divisores são 1 e eles próprios.
Eratóstenes estava focado no conjunto completo de primos, mas você pode usar variações de sua peneira para caçar primos com todos os tipos de características especiais. Quer encontrar “primos gêmeos”, que estão separados por apenas 2, como 11 e 13 ou 599 e 601? Existe uma peneira para isso. Quer encontrar números primos que sejam 1 maior que um quadrado perfeito, como 17 ou 257? Há uma peneira para isso também.
As peneiras modernas alimentaram muitos dos maiores avanços na teoria dos números em problemas que vão desde o Último Teorema de Fermat até a ainda não comprovada conjectura dos primos gêmeos, que diz que existem infinitos pares de primos gêmeos. Os métodos de peneira, escreveu o matemático húngaro Paul Erdős em 1965, são “talvez a nossa ferramenta elementar mais poderosa na teoria dos números”.
No entanto, este poder é limitado pela compreensão limitada dos matemáticos sobre como os números primos são distribuídos ao longo da reta numérica. É simples realizar uma peneira até um número pequeno, como 100. Mas os matemáticos querem entender o comportamento das peneiras quando os números ficam grandes. Eles não podem esperar listar todos os números que sobrevivem à peneira até um ponto de parada extremamente grande. Em vez disso, eles tentam estimar quantos números estão nessa lista.
Introdução
Para o crivo de Eratóstenes, esta estimativa depende da frequência com que os números inteiros são divisíveis por 2, ou 3, ou 5, e assim por diante – informação comparativamente fácil de obter. Mas para peneiras mais complicadas, como as dos primos gêmeos, a informação crucial geralmente diz respeito aos restos que os primos deixam quando divididos por números diferentes. Por exemplo, com que frequência os números primos deixam resto 1 quando divididos por 3? Ou um resto de 8 quando dividido por 15?
À medida que você avança ao longo da reta numérica, esses restos se estabelecem em padrões estatisticamente previsíveis. Em 1896, o matemático belga Charles-Jean de la Vallée Poussin provou que os restos gradualmente se igualam - por exemplo, se você colocar os números primos em um de dois baldes, dependendo se o resto deles é 1 ou 2 quando são divididos por 3, o dois baldes eventualmente conterão aproximadamente o mesmo número de números primos. Mas para extrair todo o potencial dos métodos de peneira, os matemáticos precisam saber não apenas se os baldes eventualmente se nivelam, mas também quando isso acontece.
Isso se mostrou um desafio. Depois de uma explosão de progresso na década de 1960 e outra na década de 1980, os novos desenvolvimentos praticamente desapareceram. Uma exceção notável ocorreu em 2013, quando Yitang Zhang publicou um prova de marco que existem infinitos pares de primos mais próximos uns dos outros do que algum limite finito. Mas o principal conjunto de trabalhos desenvolvidos nos anos 80 não registou praticamente nenhum progresso durante mais de três décadas.
Agora o assunto está passando por um renascimento, desencadeado por uma série of três papéis escrito pelo matemático de Oxford James Maynard em 2020 (dois anos antes de ser premiado com a Medalha Fields, a maior honra da matemática). Maynard analisou um número chamado “nível de distribuição”, que captura a rapidez com que os restos principais são distribuídos uniformemente em baldes (às vezes com referência a tipos específicos de peneiras). Para muitas peneiras comumente usadas, ele mostrou que o nível de distribuição é de pelo menos 0.6, batendo o recorde anterior de 0.57 da década de 1980.
O trabalho de Maynard e os estudos subsequentes que ele suscitou “estão dando nova vida à teoria analítica dos números”, disse John Friedlander da Universidade de Toronto, que desempenhou um papel importante nos desenvolvimentos da década de 1980. “É um verdadeiro renascimento.”
Introdução
Nos últimos meses, três dos alunos de pós-graduação de Maynard escrito papéis estendendo os resultados de Maynard e Zhang; um desses artigos, de Jared Duker Lichtman (agora pós-doutorado na Universidade de Stanford), elevou o nível de distribuição de Maynard para cerca de 0.617. Lichtman então usou esse aumento para calcular limites superiores aprimorados para o número de primos gêmeos até um determinado ponto de parada, e o número de “representações de Goldbach” – representações de números pares como a soma de dois primos.
“Esses jovens estão acompanhando o que é realmente o tema quente agora”, disse André Granville da Universidade de Montreal.
Um aumento de 0.6 para 0.617 pode parecer de pouca importância para pessoas fora da teoria dos números. Mas, na teoria da peneira, disse Granville, “às vezes essas pequenas vitórias podem ter consequências devastadoras”.
Incluindo e Excluindo
Para estimar quantos números uma peneira remove até algum ponto de parada N, os matemáticos usam uma abordagem baseada em algo chamado inclusão/exclusão. Para ver como isso funciona, consideremos a peneira de Eratóstenes. Esta peneira começa removendo todos os múltiplos de 2 – isso é cerca de metade dos números até N. Em seguida, a peneira remove todos os múltiplos de 3 – cerca de 1/3 dos números até N. Então você pode pensar que até agora removeu cerca de 1/2 + 1/3 dos números até N.
Mas isso é uma contagem excessiva, porque você contou duas vezes números que são múltiplos de 2 e 3 (múltiplos de 6). Estes são cerca de 1/6 de todos os números até N, portanto, para corrigir a contagem duas vezes, você precisa subtrair 1/6, elevando o total acumulado do que você está removendo para 1/2 + 1/3 − 1/6.
Em seguida, você pode passar para múltiplos de 5 - isso adicionará 1/5 à contagem, mas você terá que subtrair 1/10 e 1/15 para corrigir números de contagem excessiva que são divisíveis por 2 e 5, ou ambos 3 e 5. Mesmo assim, você ainda não terminou - você acidentalmente corrigiu duas vezes os números que são divisíveis por 2, 3 e 5, então, para corrigir isso, você precisa adicionar 1/30 à sua contagem, totalizando o total corrente. para 1/2 + 1/3 - 1/6 + 1/5 - 1/10 - 1/15 + 1/30.
À medida que esse processo continua, a soma ganha cada vez mais termos, envolvendo frações com denominadores cada vez maiores. Para evitar que pequenos erros em aproximações como “cerca de 1/2” e “cerca de 1/3” se acumulem demais, os teóricos dos números geralmente interrompem o processo de adição e subtração antes de terem passado por toda a peneira e contentam-se com limites superior e inferior em vez de uma resposta exata.
Em teoria, um processo semelhante deveria funcionar para conjuntos de primos mais sofisticados, como primos gêmeos. Mas quando se trata de algo como primos gêmeos, a inclusão/exclusão não funcionará a menos que você saiba como os restos primos são distribuídos uniformemente em intervalos.
Introdução
Para ver isso, pense em como uma peneira principal dupla poderia funcionar. Você pode começar usando a peneira de Eratóstenes para encontrar todos os números primos até N. Em seguida, faça uma segunda rodada de peneiramento que remove todos os primos que não fazem parte de um par de primos gêmeos. Uma maneira de fazer isso é peneirar um número primo se o número que está dois pontos à sua esquerda não for primo (ou você pode olhar dois pontos à direita - qualquer uma das peneiras funcionará). Usando a peneira da esquerda, você manterá números primos como 13, já que 11 também é primo, mas riscará números primos como 23, já que 21 não é primo.
Você pode pensar nesta peneira como primeiro deslocando o conjunto de primos dois pontos para a esquerda na reta numérica e, em seguida, riscando os números no conjunto deslocado que não são primos (como 21). No conjunto deslocado, você riscará múltiplos de 3, depois múltiplos de 5 e assim por diante. (Você não precisa se preocupar com múltiplos de 2, pois os números no conjunto deslocado são todos ímpares, exceto o primeiro.)
Em seguida vem a inclusão/exclusão, para estimar quantos números você riscou. Na peneira de Eratóstenes, riscar múltiplos de 3 remove cerca de 1/3 de todos os números. Mas no conjunto menor de primos deslocados, é mais difícil prever quantos cairão quando riscamos múltiplos de 3.
Qualquer número k no conjunto deslocado é 2 a menos que algum primo. Então se k é um múltiplo de 3, então seu primo correspondente, k + 2, tem resto de 2 quando dividido por 3. Os números primos têm resto de 1 ou 2 quando dividido por 3 (exceto o próprio 3), então você pode adivinhar que metade dos primos até N tem um resto de 1 e metade tem um resto de 2. Isso significaria que nesta etapa da peneira você está riscando aproximadamente metade dos números no conjunto deslocado (em vez de 1/3 como na peneira de Eratóstenes). Então você escreveria 1/2 termo em sua soma de inclusão/exclusão.
Graças a de la Vallée Poussin, sabemos que eventualmente metade de todos os primos terá um resto de 1 e metade terá um resto de 2 quando você dividir por 3. Mas para fazer inclusão/exclusão, não é suficiente saber que os baldes restantes se equilibram eventualmente - você precisa saber que eles se equilibram por N. Caso contrário, você não poderá ter nenhuma confiança no “1/2” da soma de inclusão/exclusão. Talvez, os matemáticos se preocupem há mais de um século, a distribuição dos primos tem peculiaridades estranhas que prejudicam algumas das contagens necessárias para a nossa soma de inclusão/exclusão.
“Se você não tem teoremas de distribuição, não consegue entender o que acontece quando você termina sua peneira”, disse Terence tao da Universidade da Califórnia, Los Angeles.
Um ponto de referência fundamental
Uma previsão sobre a rapidez com que os baldes começam a se equilibrar estava disponível para os teóricos dos números na forma do mais célebre problema não resolvido da teoria dos números – a hipótese generalizada de Riemann. Esta hipótese, se verdadeira, implicaria que se olharmos para todos os primos até um número muito grande N, então os restos primos são distribuídos uniformemente em intervalos para qualquer divisor até aproximadamente a raiz quadrada de N. Então, por exemplo, se você estiver olhando para números primos menores que 1 trilhão, você esperaria que eles fossem distribuídos uniformemente nos intervalos restantes quando você os dividisse por 120, ou 7,352, ou 945,328 - qualquer divisor menor que cerca de 1 milhão ( a raiz quadrada de 1 trilhão). Os matemáticos dizem que a hipótese generalizada de Riemann prevê que o nível de distribuição dos primos é pelo menos 1/2, uma vez que outra maneira de escrever a raiz quadrada de N é como N1/2.
Introdução
Se esta hipótese estiver correta, isso significaria que quando você está peneirando até 1 trilhão, você pode riscar múltiplos de 2, depois 3, depois 5, e continuar até que a soma de inclusão/exclusão comece a envolver divisores acima de 1 milhões - além desse ponto, você não pode calcular os termos da sua soma. Em meados da década de 1900, os teóricos dos números provaram muitos teoremas de peneira da forma: “Se a hipótese generalizada de Riemann estiver correta, então…”
Mas muitos desses resultados não precisavam realmente de toda a força da hipótese generalizada de Riemann - seria suficiente saber que os números primos estavam bem distribuídos em grupos para quase todos os divisores, em vez de para todos os divisores individuais. Em meados da década de 1960, Enrico Bombieri e Askold Vinogradov separadamente gerenciados para provar exatamente isso: os números primos têm um nível de distribuição de pelo menos 1/2, se nos contentarmos em saber que os intervalos são iguais para quase todos os divisores.
O teorema de Bombieri-Vinogradov, que ainda é amplamente utilizado, provou instantaneamente muitos dos resultados que anteriormente se baseavam na hipótese generalizada não provada de Riemann. “É uma espécie de padrão-ouro dos teoremas de distribuição”, disse Tao.
Mas os matemáticos há muito que suspeitam — e a evidência numérica sugere — que o verdadeiro nível de distribuição dos números primos é muito mais elevado. No final da década de 1960, Peter Elliot e Heini Halberstam conjecturado que o nível de distribuição dos números primos é apenas um tom abaixo de 1 - em outras palavras, se você estiver olhando para números primos até um número enorme, eles devem ser distribuídos uniformemente em intervalos, mesmo para divisores muito próximos em tamanho do número enorme . E esses grandes divisores são importantes quando você está fazendo inclusão/exclusão, pois eles surgem quando você está corrigindo contagens excessivas. Portanto, quanto mais próximos os matemáticos conseguirem chegar do nível de distribuição previsto por Elliott e Halberstam, mais termos poderão calcular na soma de inclusão/exclusão. Provar a conjectura de Elliott-Halberstam, disse Tao, é “o sonho”.
Até hoje, porém, ninguém foi capaz de superar o nível 1/2 de distribuição no grau total de generalidade alcançado pelo teorema de Bombieri-Vinogradov. Os matemáticos passaram a chamar este obstáculo de “barreira da raiz quadrada” para os números primos. Esta barreira, disse Lichtman, é “um tipo fundamental de ponto de passagem na nossa compreensão dos números primos”.
Novos recordes mundiais
No entanto, para muitos problemas de peneira, é possível progredir mesmo com informações incompletas sobre como os números primos se dividem em compartimentos. Vejamos o problema dos primos gêmeos: peneirar um primo se o número dois pontos à sua esquerda for divisível por 3, 5 ou 7 é o mesmo que perguntar se o próprio primo tem resto 2 quando dividido por 3, 5 ou 7 - em outras palavras, se o primo cai no intervalo “2” para qualquer um desses divisores. Portanto, você não precisa saber se os números primos estão distribuídos uniformemente em todos os intervalos desses divisores — você só precisa saber se cada intervalo “2” contém o número de números primos que esperamos.
Na década de 1980, os matemáticos começaram a descobrir como provar teoremas de distribuição que se concentram em um determinado intervalo. Este trabalho culminou em um papel 1986 por Bombieri, Friedlander e Henryk Iwaniec isso elevou o nível de distribuição para 4/7 (cerca de 0.57) para baldes únicos, não para todas as peneiras, mas para uma ampla classe delas.
Tal como acontece com o teorema de Bombieri-Vinogradov, o conjunto de ideias desenvolvido na década de 1980 encontrou uma série de aplicações. Mais notavelmente, permitiu uma enorme saltar na compreensão dos matemáticos do Último Teorema de Fermat, que diz que a equação an + bn = cn não tem soluções de números naturais para nenhum expoente n superior a 2. (Isto foi provado mais tarde em 1994, utilizando técnicas que não se baseavam em teoremas de distribuição.) Após a excitação da década de 1980, contudo, houve pouco progresso no nível de distribuição dos números primos durante várias décadas.
Então, em 2013, Zhang descobriu como ultrapassar a barreira da raiz quadrada numa direção diferente daquela de Bombieri, Friedlander e Iwaniec. Ele investigou métodos antigos e fora de moda do início da década de 1980 para obter as menores melhorias no nível 1/2 de distribuição de Bombieri e Vinogradov em um contexto onde você está peneirando apenas números “suaves” – aqueles que não têm grandes fatores primos . Esta pequena melhoria permitiu a Zhang provar a conjectura de longa data que, à medida que você avança ao longo da reta numérica, continuará encontrando pares de números primos que estão mais próximos do que um limite fixo. (Posteriormente, Maynard e Tao, cada um separadamente surgiu outra prova deste teorema, usando uma peneira melhorada em vez de um nível de distribuição melhorado.)
O resultado de Zhang baseou-se numa versão da hipótese de Riemann que vive no mundo da geometria algébrica. O trabalho de Bombieri, Friedlander e Iwaniec, por sua vez, baseou-se no que Maynard chama de “conexão um tanto mágica” com objetos chamados formas automórficas, que têm sua própria versão da hipótese de Riemann. As formas automórficas são objetos altamente simétricos que, diz Tao, pertencem ao “fim de alta potência da teoria dos números”.
Há alguns anos, Maynard convenceu-se de que deveria ser possível extrair mais energia destes dois métodos, combinando as suas ideias. Em sua série de três artigos em 2020, que Granville rotulou de “tour de force”, Maynard conseguiu elevar o nível de distribuição para 3/5, ou 0.6, em um contexto um pouco mais restrito do que aquele estudado por Bombieri, Friedlander e Iwaniec .
Agora, os alunos de Maynard estão aprimorando ainda mais essas técnicas. Lichtman descobri recentemente como estender o nível de distribuição de Maynard para cerca de 0.617. Ele então aproveitou esse aumento em novos limites superiores nas contagens de primos gêmeos e nas representações de Goldbach de números pares como a soma de dois primos. Para este último, é a primeira vez que alguém consegue usar um nível de distribuição além de 1/2 do clássico teorema de Bombieri-Vinogradov.
Outro aluno de Maynard, Alexandru Pascadi, tem correspondeu ao valor de 0.617 para o nível de distribuição não de números primos, mas de números suaves. Assim como os números primos, os números suaves aparecem em toda a teoria dos números, e os resultados sobre seu nível de distribuição e o dos números primos geralmente andam de mãos dadas.
Enquanto isso, um terceiro aluno, Julia Stadlmann, tem impulsionou o nível de distribuição de primos no cenário que Zhang estudou, no qual os divisores (em vez dos números serem divididos) são números suaves. Zhang venceu por pouco a barreira da raiz quadrada neste contexto, atingindo um nível de distribuição de 0.5017, e depois uma colaboração online chamada projeto Polymath aumentou esse número para 0.5233; Stadlmann aumentou agora para 0.525.
Outros matemáticos provocam os teóricos analíticos dos números, disse Tao, por sua obsessão por pequenos avanços numéricos. Mas estas pequenas melhorias têm um significado que vai além dos números em questão. “É como a corrida de 100 metros ou algo assim, [onde] você reduz de 3.96 segundos para 3.95 segundos”, disse ele. Cada novo recorde mundial é “uma referência para o quanto seus métodos progrediram”.
No geral, “as técnicas estão ficando mais claras e mais unificadas”, disse ele. “Está ficando claro, uma vez que você avança em um problema, como adaptá-lo a outro problema.”
Ainda não existe uma aplicação bombástica para estes novos desenvolvimentos, mas o novo trabalho “definitivamente muda a forma como pensamos”, disse Granville. “Isso não é apenas bater um prego com mais força – na verdade, é obter um martelo mais atualizado.”
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- Fonte: https://www.quantamagazine.org/a-new-generation-of-mathematicians-pushes-prime-number-barriers-20231026/
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