Quando se trata de entender a forma dos aglomerados de bolhas, os matemáticos vêm tentando acompanhar nossas intuições físicas há milênios. Aglomerados de bolhas de sabão na natureza muitas vezes parecem se encaixar imediatamente no estado de energia mais baixa, aquele que minimiza a área total da superfície de suas paredes (incluindo as paredes entre as bolhas). Mas verificar se as bolhas de sabão estão cumprindo essa tarefa – ou apenas prever como devem ser os grandes aglomerados de bolhas – é um dos problemas mais difíceis da geometria. Os matemáticos levaram até o final do século 19 para provar que a esfera é a melhor bolha única, embora o matemático grego Zenodorus tenha afirmado isso mais de 2,000 anos antes.
O problema da bolha é simples o suficiente para declarar: você começa com uma lista de números para os volumes e, em seguida, pergunta como incluir separadamente esses volumes de ar usando a menor área de superfície. Mas para resolver este problema, os matemáticos devem considerar uma ampla gama de diferentes formas possíveis para as paredes das bolhas. E se a tarefa é incluir, digamos, cinco volumes, não temos o luxo de limitar nossa atenção a grupos de cinco bolhas - talvez a melhor maneira de minimizar a área de superfície envolva dividir um dos volumes em várias bolhas.
Mesmo na configuração mais simples do plano bidimensional (onde você está tentando incluir uma coleção de áreas enquanto minimiza o perímetro), ninguém sabe a melhor maneira de incluir, digamos, nove ou 10 áreas. À medida que o número de bolhas cresce, “rapidamente, você não consegue nem mesmo obter nenhuma conjectura plausível”, disse Emanuel Milman do Technion em Haifa, Israel.
Mas há mais de um quarto de século, John Sullivan, agora da Universidade Técnica de Berlim, percebeu que, em certos casos, há uma conjectura orientadora ser tido. Problemas de bolhas fazem sentido em qualquer dimensão, e Sullivan descobriu que, desde que o número de volumes que você está tentando incluir seja no máximo um maior que a dimensão, há uma maneira específica de incluir os volumes que é, em certo sentido, mais bonito do que qualquer outro — uma espécie de sombra de um aglomerado de bolhas perfeitamente simétrico em uma esfera. Esse aglomerado de sombras, ele conjecturou, deveria ser aquele que minimizasse a área de superfície.
Ao longo da década que se seguiu, os matemáticos escreveram uma série de artigos inovadores provando a conjectura de Sullivan quando você está tentando incluir apenas dois volumes. Aqui, a solução é a conhecida bolha dupla que você pode ter soprado no parque em um dia ensolarado, feita de duas peças esféricas com uma parede plana ou esférica entre elas (dependendo se as duas bolhas têm volumes iguais ou diferentes).
Mas provando a conjectura de Sullivan para três volumes, o matemático Frank Morgan do Colégio Williams especulado em 2007, “pode levar mais cem anos”.
Agora, os matemáticos foram poupados dessa longa espera – e conseguiram muito mais do que apenas uma solução para o problema da bolha tripla. Em um papel postado online em maio, Milman e Joe Neeman, da Universidade do Texas, Austin, provaram a conjectura de Sullivan para bolhas triplas nas dimensões três e acima e bolhas quádruplas nas dimensões quatro e acima, com um artigo de acompanhamento sobre bolhas quíntuplas nas dimensões cinco e acima em andamento.
E quando se trata de seis ou mais bolhas, Milman e Neeman mostraram que o melhor cluster deve ter muitos dos principais atributos do candidato de Sullivan, potencialmente iniciando os matemáticos no caminho para provar a conjectura para esses casos também. “Minha impressão é que eles entenderam a estrutura essencial por trás da conjectura de Sullivan”, disse Francisco Maggi da Universidade do Texas, Austin.
O teorema central de Milman e Neeman é “monumental”, escreveu Morgan em um e-mail. “É uma realização brilhante com muitas ideias novas.”
Bolhas de sombra
Nossas experiências com bolhas de sabão reais oferecem intuições tentadoras sobre como devem ser os aglomerados de bolhas ideais, pelo menos quando se trata de aglomerados pequenos. As bolhas triplas ou quádruplas que sopramos através de varinhas de sabão parecem ter paredes esféricas (e ocasionalmente planas) e tendem a formar aglomerados apertados em vez de, digamos, uma longa cadeia de bolhas.
Mas não é tão fácil provar que essas são realmente as características dos aglomerados de bolhas ideais. Por exemplo, os matemáticos não sabem se as paredes em um aglomerado de bolhas minimizado são sempre esféricas ou planas – eles só sabem que as paredes têm “curvatura média constante”, o que significa que a curvatura média permanece a mesma de um ponto a outro. Esferas e superfícies planas têm essa propriedade, mas também muitas outras superfícies, como cilindros e formas onduladas chamadas undulóides. Superfícies com curvatura média constante são “um zoológico completo”, disse Milman.
Mas na década de 1990, Sullivan reconheceu que quando o número de volumes que você deseja incluir é no máximo um maior que a dimensão, há um cluster candidato que parece ofuscar o resto - um (e apenas um) cluster que tem os recursos que tendemos para ver em pequenos aglomerados de bolhas de sabão reais.
Para ter uma ideia de como esse candidato é construído, vamos usar a abordagem de Sullivan para criar um aglomerado de três bolhas no plano (para que nossas “bolhas” sejam regiões no plano em vez de objetos tridimensionais). Começamos escolhendo quatro pontos em uma esfera que estão todos à mesma distância um do outro. Agora imagine que cada um desses quatro pontos seja o centro de uma pequena bolha, vivendo apenas na superfície da esfera (de modo que cada bolha seja um pequeno disco). Encha as quatro bolhas na esfera até que elas comecem a bater umas nas outras e continue inflando até preencherem coletivamente toda a superfície. Acabamos com um aglomerado simétrico de quatro bolhas que faz a esfera parecer um tetraedro inchado.
Em seguida, colocamos essa esfera em cima de um plano plano infinito, como se a esfera fosse uma bola apoiada em um piso sem fim. Imagine que a bola é transparente e há uma lanterna no pólo norte. As paredes das quatro bolhas projetarão sombras no chão, formando ali as paredes de um aglomerado de bolhas. Das quatro bolhas na esfera, três se projetarão para formar bolhas de sombra no chão; a quarta bolha (a que contém o pólo norte) se projetará para a extensão infinita do chão fora do aglomerado de três bolhas de sombra.
O aglomerado particular de três bolhas que obtemos depende de como posicionamos a esfera quando a colocamos no chão. Se girarmos a esfera para que um ponto diferente se mova para a lanterna no pólo norte, normalmente obteremos uma sombra diferente e as três bolhas no chão terão áreas diferentes. Os matemáticos têm provou que para quaisquer três números que você escolher para as áreas, há essencialmente uma única maneira de posicionar a esfera de modo que as três bolhas de sombra tenham precisamente essas áreas.
Somos livres para realizar esse processo em qualquer dimensão (embora sombras de dimensões superiores sejam mais difíceis de visualizar). Mas há um limite para quantas bolhas podemos ter em nosso aglomerado de sombras. No exemplo acima, não poderíamos ter feito um aglomerado de quatro bolhas no avião. Isso exigiria começar com cinco pontos na esfera que estão todos à mesma distância um do outro - mas é impossível colocar tantos pontos equidistantes em uma esfera (embora você possa fazer isso com esferas de dimensões mais altas). O procedimento de Sullivan só funciona para criar aglomerados de até três bolhas no espaço bidimensional, quatro bolhas no espaço tridimensional, cinco bolhas no espaço quadridimensional e assim por diante. Fora desses intervalos de parâmetros, os aglomerados de bolhas no estilo Sullivan simplesmente não existem.
Mas dentro desses parâmetros, o procedimento de Sullivan nos dá aglomerados de bolhas em cenários muito além do que nossa intuição física pode compreender. “É impossível visualizar o que é uma bolha de 15 em [espaço 23-dimensional]”, disse Maggi. “Como você sequer sonha em descrever tal objeto?”
No entanto, os candidatos a bolhas de Sullivan herdam de seus progenitores esféricos uma coleção única de propriedades que lembram as bolhas que vemos na natureza. Suas paredes são todas esféricas ou planas e, onde quer que três paredes se encontrem, elas formam ângulos de 120 graus, como em uma forma de Y simétrica. Cada um dos volumes que você está tentando incluir está em uma única região, em vez de ser dividido em várias regiões. E cada bolha toca umas às outras (e ao exterior), formando um aglomerado apertado. Os matemáticos mostraram que as bolhas de Sullivan são os únicos aglomerados que satisfazem todas essas propriedades.
Quando Sullivan levantou a hipótese de que estes deveriam ser os aglomerados que minimizam a área de superfície, ele estava essencialmente dizendo: “Vamos assumir a beleza”, disse Maggi.
Mas os pesquisadores de bolhas têm boas razões para desconfiar de que só porque uma solução proposta é bonita, ela está correta. “Existem problemas muito famosos… onde você esperaria simetria para os minimizadores, e a simetria falha espetacularmente”, disse Maggi.
Por exemplo, há o problema intimamente relacionado de preencher o espaço infinito com bolhas de igual volume de uma forma que minimiza a área de superfície. Em 1887, o matemático e físico britânico Lord Kelvin sugeriu que a solução poderia ser uma estrutura elegante em forma de favo de mel. Por mais de um século, muitos matemáticos acreditaram que essa era a resposta provável – até 1993, quando um par de físicos identificou um melhor, embora menos simétrica, opção. “A matemática está cheia… de exemplos em que esse tipo de coisa estranha acontece”, disse Maggi.
Uma Arte Sombria
Quando Sullivan anunciou sua conjectura em 1995, a porção de bolha dupla já estava flutuando por um século. Os matemáticos resolveram o Problema de bolha dupla 2D dois anos antes, e na década seguinte, eles resolveram em espaço tridimensional e depois em superior dimensões. Mas quando chegou o próximo caso da conjectura de Sullivan - bolhas triplas - eles poderiam provar a conjectura apenas no plano bidimensional, onde as interfaces entre as bolhas são particularmente simples.
Então, em 2018, Milman e Neeman provaram uma versão análoga da conjectura de Sullivan em um cenário conhecido como problema da bolha gaussiana. Nesse cenário, você pode pensar em cada ponto no espaço como tendo um valor monetário: a origem é o ponto mais caro e, quanto mais longe da origem, mais barato se torna o terreno, formando uma curva de sino. O objetivo é criar recintos com preços pré-selecionados (ao invés de volumes pré-selecionados), de forma a minimizar o custo dos limites dos recintos (ao invés da superfície dos limites). Este problema de bolhas gaussianas tem aplicações em ciência da computação para esquemas de arredondamento e questões de sensibilidade ao ruído.
Milman e Neeman enviaram seus prova ao Anais de Matemática, indiscutivelmente o jornal de maior prestígio da matemática (onde mais tarde foi aceito). Mas a dupla não tinha intenção de encerrar o dia. Seus métodos também pareciam promissores para o clássico problema da bolha.
Eles lançaram ideias para frente e para trás por vários anos. “Tínhamos um documento de 200 páginas de anotações”, disse Milman. No início, parecia que eles estavam progredindo. “Mas então rapidamente se transformou em: 'Nós tentamos essa direção – não. Nós tentamos [naquela] direção – não.” Para proteger suas apostas, os dois matemáticos também buscaram outros projetos.
Então, no outono passado, Milman veio para um período sabático e decidiu visitar Neeman para que a dupla pudesse fazer um esforço concentrado no problema da bolha. “Durante o período sabático é um bom momento para experimentar coisas de alto risco e alto ganho”, disse Milman.
Nos primeiros meses, eles não chegaram a lugar nenhum. Finalmente, eles decidiram dar a si mesmos uma tarefa um pouco mais fácil do que a conjectura completa de Sullivan. Se você der às suas bolhas uma dimensão extra de espaço para respirar, você ganha um bônus: o melhor aglomerado de bolhas terá simetria de espelho em um plano central.
A conjectura de Sullivan é sobre bolhas triplas nas dimensões dois e superiores, bolhas quádruplas nas dimensões três e superiores, e assim por diante. Para obter a simetria de bônus, Milman e Neeman restringiram sua atenção a bolhas triplas nas dimensões três e acima, bolhas quádruplas nas dimensões quatro e acima, e assim por diante. “Foi realmente apenas quando desistimos de obtê-lo para toda a gama de parâmetros que realmente progredimos”, disse Neeman.
Com essa simetria de espelho à sua disposição, Milman e Neeman criaram um argumento de perturbação que envolve inflar levemente a metade do aglomerado de bolhas que está acima do espelho e desinflar a metade que está abaixo dele. Essa perturbação não altera o volume das bolhas, mas pode alterar sua área de superfície. Milman e Neeman mostraram que, se o aglomerado de bolhas ótimo tiver paredes que não sejam esféricas ou planas, haverá uma maneira de escolher essa perturbação para que ela reduza a área de superfície do aglomerado — uma contradição, já que o aglomerado ótimo já tem a menor superfície área possível.
Usar perturbações para estudar bolhas está longe de ser uma ideia nova, mas descobrir quais perturbações detectarão as características importantes de um aglomerado de bolhas é “um pouco de arte obscura”, disse Neeman.
Em retrospectiva, “uma vez que você vê [as perturbações de Milman e Neeman], elas parecem bastante naturais”, disse Joel Hass da Universidade da Califórnia, Davis.
Mas reconhecer as perturbações como naturais é muito mais fácil do que criá-las em primeiro lugar, disse Maggi. “De longe, não é algo que você possa dizer: 'Eventualmente as pessoas teriam encontrado'”, disse ele. “É realmente genial em um nível muito notável.”
Milman e Neeman foram capazes de usar suas perturbações para mostrar que o aglomerado de bolhas ideal deve satisfazer todos os traços centrais dos aglomerados de Sullivan, exceto talvez um: a estipulação de que cada bolha deve tocar umas às outras. Esse último requisito forçou Milman e Neeman a lidar com todas as maneiras pelas quais as bolhas podem se conectar em um cluster. Quando se trata de apenas três ou quatro bolhas, não há tantas possibilidades a serem consideradas. Mas à medida que você aumenta o número de bolhas, o número de diferentes padrões de conectividade possíveis cresce, ainda mais rápido do que exponencialmente.
Milman e Neeman esperavam a princípio encontrar um princípio abrangente que abrangesse todos esses casos. Mas depois de passar alguns meses “quebrando nossas cabeças”, disse Milman, eles decidiram se contentar por enquanto com uma abordagem mais ad hoc que lhes permitia lidar com bolhas triplas e quádruplas. Eles também anunciaram uma prova inédita de que a bolha quíntupla de Sullivan é ótima, embora ainda não tenham estabelecido que é o único cluster ideal.
O trabalho de Milman e Neeman é “uma abordagem totalmente nova, em vez de uma extensão dos métodos anteriores”, escreveu Morgan em um e-mail. É provável, previu Maggi, que essa abordagem possa ser levada ainda mais longe – talvez para aglomerados de mais de cinco bolhas, ou para os casos da conjectura de Sullivan que não têm a simetria do espelho.
Ninguém espera que mais progressos venham facilmente; mas isso nunca deteve Milman e Neeman. “Pela minha experiência”, disse Milman, “todas as principais coisas que tive a sorte de poder fazer exigiram apenas não desistir”.
