A conexão oculta que mudou a teoria dos números | Revista Quanta

Existem três tipos de números primos. O primeiro é um valor discrepante solitário: 2, o único primo par. Depois disso, metade dos primos deixa um resto de 1 quando dividido por 4. A outra metade deixa um resto de 3. (5 e 13 caem no primeiro campo, 7 e 11 no segundo.) Não há razão óbvia para que o resto -1 primos e resto-3 primos devem se comportar de maneiras fundamentalmente diferentes. Mas eles fazem.

Uma diferença fundamental decorre de uma propriedade chamada reciprocidade quadrática, provada pela primeira vez por Carl Gauss, provavelmente o matemático mais influente do século XIX. “É uma afirmação bastante simples que tem aplicações em todos os lugares, em todos os tipos de matemática, não apenas na teoria dos números”, disse James Rickards, um matemático da Universidade do Colorado, Boulder. “Mas também não é óbvio o suficiente para ser realmente interessante.”

A teoria dos números é um ramo da matemática que lida com números inteiros (em oposição a, digamos, formas ou quantidades contínuas). Os números primos – aqueles divisíveis apenas por 1 e por eles próprios – estão no seu âmago, tal como o ADN é o âmago da biologia. A reciprocidade quadrática mudou a concepção dos matemáticos sobre o quanto é possível provar sobre eles. Se pensarmos nos números primos como uma cadeia de montanhas, a reciprocidade é como um caminho estreito que permite aos matemáticos escalar picos anteriormente inalcançáveis ​​e, a partir desses picos, ver verdades que estavam escondidas.

Embora seja um teorema antigo, continua a ter novas aplicações. Neste verão, Rickards e seu colega Katherine Stange, junto com dois alunos, refutou uma conjectura amplamente aceita sobre como pequenos círculos podem ser colocados dentro de um círculo maior. O resultado chocou os matemáticos. Pedro Sarnak, teórica de números do Instituto de Estudos Avançados e da Universidade de Princeton, conversou com Stange em uma conferência logo após sua equipe publicado seu papel. “Ela me disse que tem um contra-exemplo”, lembrou Sarnak. “Eu imediatamente perguntei a ela: 'Você está usando a reciprocidade em algum lugar?' E era realmente isso que ela estava usando.'”

Padrões em pares de números primos

Para entender a reciprocidade, primeiro você precisa entender a aritmética modular. As operações modulares dependem do cálculo dos restos quando você divide por um número chamado módulo. Por exemplo, 9 módulo 7 é 2, porque se você dividir 9 por 7, ficará com resto 2. No sistema numérico módulo 7, existem 7 números: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Você pode adicionar, subtrair, multiplicar e dividir esses números.

Assim como acontece com os números inteiros, esses sistemas numéricos podem ter quadrados perfeitos – números que são o produto de outro número vezes ele mesmo. Por exemplo, 0, 1, 2 e 4 são os quadrados perfeitos módulo 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 e 3 × 3 = 2 mod 7). Cada quadrado comum será igual a 0, 1, 2 ou 4 módulo 7. (Por exemplo, 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) Como os sistemas numéricos modulares são finitos, os quadrados perfeitos são mais comuns.

A reciprocidade quadrática decorre de uma questão relativamente simples. Dados dois primos p e q, se você sabe disso p é um módulo quadrado perfeito q, você pode dizer se ou não q é um módulo quadrado perfeito p?

Acontece que enquanto p or q deixa resto 1 quando dividido por 4, se p é um módulo quadrado perfeito q, Em seguida q também é um módulo quadrado perfeito p. Diz-se que os dois primos reciprocam.

Por outro lado, se ambos deixarem um resto de 3 (como, digamos, 7 e 11), então eles não retribuem: Se p é um módulo quadrado q, isso significa que q não será um módulo quadrado p. Neste exemplo, 11 é um quadrado módulo 7, pois 11 = 4 mod 7 e já sabemos que 4 é um dos quadrados perfeitos módulo 7. Segue-se que 7 não é um quadrado módulo 11. Se você pegar a lista de módulos comuns quadrados (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,…) e observe seus restos módulo 11, então 7 nunca aparecerá.

Isso, para usar um termo técnico, é muito estranho!

O poder da generalização

Como muitas ideias matemáticas, a reciprocidade tem sido influente porque pode ser generalizada.

Logo depois que Gauss publicou a primeira prova da reciprocidade quadrática em 1801, os matemáticos tentaram estender a ideia além dos quadrados. “Por que não terceiras potências ou quartas potências? Eles imaginaram que talvez existisse uma lei de reciprocidade cúbica ou uma lei de reciprocidade quártica”, disse Keith Conrado, um teórico dos números da Universidade de Connecticut.

Mas eles ficaram presos, disse Conrad, “porque não existe um padrão fácil”. Isso mudou quando Gauss trouxe a reciprocidade para o reino dos números complexos, que somam a raiz quadrada de menos 1, representada por i, para números comuns. Ele introduziu a ideia de que os teóricos dos números poderiam analisar não apenas inteiros comuns, mas outros sistemas matemáticos semelhantes a inteiros, como os chamados inteiros gaussianos, que são números complexos cujas partes reais e imaginárias são ambas inteiras.

Com os números inteiros gaussianos, toda a noção do que é considerado primo mudou. Por exemplo, 5 não é mais primo, porque 5 = (2 + i) × (2 − i). “Você tem que recomeçar como se estivesse na escola primária de novo”, disse Conrad. Em 1832, Gauss provou uma lei de reciprocidade quártica para os inteiros complexos que levam seu nome.

De repente, os matemáticos aprenderam a aplicar ferramentas como aritmética modular e fatoração a esses novos sistemas numéricos. A reciprocidade quadrática foi a inspiração, segundo Conrad.

Padrões que antes eram indescritíveis sem números complexos começaram a surgir. Em meados da década de 1840, Gotthold Eisenstein e Carl Jacobi provaram as primeiras leis de reciprocidade cúbica.

Então, na década de 1920, Emil Artin, um dos fundadores da álgebra moderna, descobriu o que Conrad chama de “lei da reciprocidade definitiva”. Todas as outras leis de reciprocidade poderiam ser vistas como casos especiais da lei de reciprocidade de Artin.

Um século depois, os matemáticos ainda estão elaborando novas provas da primeira lei quadrática da reciprocidade de Gauss e generalizando-a para novos contextos matemáticos. Ter muitas provas distintas pode ser útil. “Se você quiser estender o resultado para um novo cenário, talvez um dos argumentos seja facilmente transferido, enquanto os outros não”, disse Conrad.

Por que a reciprocidade é tão útil

A reciprocidade quadrática é usada em áreas de pesquisa tão diversas como teoria dos grafos, topologia algébrica e criptografia. Neste último, um influente algoritmo de criptografia de chave pública desenvolvido em 1982 por Shafi Goldwasser e Silvio Micali depende da multiplicação de dois primos grandes p e q juntos e produzindo o resultado, N, junto com um número, x, que não é um módulo quadrado N. O algoritmo usa N e x para criptografar mensagens digitais em sequências de números maiores. A única maneira de descriptografar essa string é decidir se cada número na string criptografada é ou não um módulo quadrado N - virtualmente impossível sem conhecer os valores dos números primos p e q.

E, claro, a reciprocidade quadrática surge repetidamente na teoria dos números. Por exemplo, pode ser usado para provar que qualquer número primo igual a 1 módulo 4 pode ser escrito como a soma de dois quadrados (por exemplo, 13 é igual a 1 módulo 4 e 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). Por outro lado, primos iguais a 3 módulo 4 nunca podem ser escritos como a soma de dois quadrados.

Sarnak observou que a reciprocidade pode ser usada para resolver questões em aberto, como descobrir quais números podem ser escritos como a soma de três cubos. Sabe-se que números iguais a 4 ou 5 módulo 9 não são iguais à soma de três cubos, mas outros permanecem um mistério. (Em 2019, Andrew Booker manchetes geradas quando descobriu que (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

Apesar de todas as suas muitas aplicações e muitas provas diferentes, há algo sobre a reciprocidade que permanece um mistério, disse Stange.

“O que muitas vezes acontece com uma prova matemática é que você pode seguir cada passo; você pode acreditar que é verdade”, disse ela. “E você ainda pode sair do outro lado pensando: 'Mas por quê?'”

Compreender, em um nível visceral, o que torna 7 e 11 diferentes de 5 e 13 pode estar para sempre fora de alcance. “Só podemos conciliar alguns níveis de abstração”, disse ela. “Isso aparece em todos os lugares na teoria dos números… e ainda assim é apenas um passo além do que parece que você realmente poderia saber.”

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