Introdução
Em 2012, o matemático Shinichi Mochizuki afirmou ter resolvido o abc conjectura, uma importante questão em aberto na teoria dos números sobre a relação entre adição e multiplicação. Havia apenas um problema: a sua prova, que tinha mais de 500 páginas, era completamente impenetrável. Baseava-se num emaranhado de novas definições, notações e teorias que quase todos os matemáticos achavam impossíveis de compreender. Anos mais tarde, quando dois matemáticos traduziram grande parte da prova em termos mais familiares, apontaram para o que chamamos de “lacuna séria e incorrigível”em sua lógica - apenas para Mochizuki rejeitar o argumento deles com base no fato de que eles simplesmente não conseguiram entender seu trabalho.
O incidente levanta uma questão fundamental: o que é uma prova matemática? Tendemos a pensar nisso como uma revelação de alguma verdade eterna, mas talvez seja melhor entendido como uma espécie de construção social.
André Granville, um matemático da Universidade de Montreal, tem pensado muito sobre isso recentemente. Depois de ser contactado por um filósofo sobre alguns dos seus escritos, “comecei a pensar sobre como chegamos às nossas verdades”, disse ele. “E quando você começa a empurrar aquela porta, descobre que é um assunto vasto.”
Granville gostou de aritmética desde cedo, mas nunca considerou seguir carreira em pesquisa matemática porque não sabia que tal coisa existia. “Meu pai abandonou a escola aos 14 anos, minha mãe aos 15 ou 16 anos”, disse ele. “Eles nasceram no que era então a área operária de Londres, e a universidade estava um pouco além do que eles consideravam possível. Então não tínhamos ideia.”
Depois de se formar na Universidade de Cambridge, onde estudou matemática, começou a adaptar-se Os papéis de Rachel, um romance de Martin Amis, em um roteiro. Enquanto trabalhava e buscava financiamento para o projeto, ele queria evitar um trabalho administrativo - ele havia trabalhado em uma seguradora durante um ano sabático entre o ensino médio e a faculdade e não queria voltar a trabalhar - “então fui para a pós-graduação”, disse ele. O filme nunca saiu do papel (o romance mais tarde foi transformado em filme de forma independente), mas Granville fez mestrado em matemática e depois se mudou para o Canadá para concluir seu doutorado. Ele nunca olhou para trás.
Introdução
“Foi uma aventura, realmente”, disse ele. “Eu realmente não esperava muito. Eu realmente não sabia o que era um Ph.D. era."
Nas décadas seguintes, ele foi autor de mais de 175 artigos, principalmente sobre teoria dos números. Ele também se tornou conhecido por escrever sobre matemática para um público popular: em 2019, ele foi coautor de um graphic novel sobre números primos e conceitos relacionados com sua irmã mais velha, Jennifer, uma roteirista. No mês passado, um de seus artigos sobre “como chegamos às nossas verdades” foi publicado publicado nos Anais de Matemática e Filosofia. E junto com outros matemáticos, cientistas da computação e filósofos, ele planeja publicar uma coleção de artigos na edição do próximo ano. Boletim da Sociedade Americana de Matemática sobre como as máquinas podem mudar a matemática.
Quanta conversou com Granville sobre a natureza da prova matemática - desde como as provas funcionam na prática até os equívocos populares sobre elas, até como a redação de provas pode evoluir na era da inteligência artificial. A entrevista foi editada e condensada para maior clareza.
Você publicou recentemente um artigo sobre a natureza da prova matemática. Por que você decidiu que era importante escrever sobre isso?
A maneira como os matemáticos realizam pesquisas geralmente não é bem retratada na mídia popular. As pessoas tendem a ver a matemática como uma busca pura, onde chegamos a grandes verdades apenas através do pensamento puro. Mas a matemática trata de suposições – muitas vezes suposições erradas. É um processo experimental. Aprendemos em etapas.
Por exemplo, quando a hipótese de Riemann apareceu pela primeira vez num artigo em 1859, foi como magia: aqui está esta conjectura surpreendente, vinda do nada. Durante 70 anos, as pessoas falaram sobre o que um grande pensador pode fazer apenas com pensamento puro. Então o matemático Carl Siegel encontrou os rascunhos de Riemann nos arquivos de Göttingen. Na verdade, Riemann havia feito páginas de cálculos de zeros da função zeta de Riemann. As famosas palavras de Siegel foram: “Já basta apenas o pensamento puro”.
Portanto, existe esta tensão na forma como as pessoas escrevem sobre matemática – alguns filósofos e historiadores em particular. Eles parecem pensar que somos uma criatura mágica pura, um unicórnio da ciência. Mas normalmente não somos. Raramente é pensamento puro sozinho.
Introdução
Como você caracterizaria o que os matemáticos fazem?
A cultura da matemática gira em torno da prova. Sentamos e pensamos, e 95% do que fazemos é prova. Grande parte da compreensão que obtemos vem da luta com provas e da interpretação das questões que surgem quando lutamos com elas.
Muitas vezes pensamos em uma prova como um argumento matemático. Através de uma série de etapas lógicas, demonstra que uma determinada afirmação é verdadeira. Mas você escreve que isso não deve ser confundido com uma verdade pura e objetiva. O que você quer dizer com isso?
O ponto principal de uma prova é persuadir o leitor da veracidade de uma afirmação. Isso significa que a verificação é fundamental. O melhor sistema de verificação que temos em matemática é que muitas pessoas olham para uma prova de diferentes perspectivas, e ela se encaixa bem num contexto que conhecem e acreditam. Em certo sentido, não estamos dizendo que sabemos que é verdade. Estamos dizendo que esperamos que esteja correto, porque muitas pessoas tentaram de diferentes perspectivas. As provas são aceitas por esses padrões da comunidade.
Depois, há essa noção de objetividade – de ter certeza de que o que é afirmado está certo, de sentir que você tem uma verdade última. Mas como podemos saber que estamos sendo objetivos? É difícil sair do contexto em que você fez uma declaração – ter uma perspectiva fora do paradigma que foi estabelecido pela sociedade. Isto é tão verdadeiro para ideias científicas quanto para qualquer outra coisa.
Pode-se também perguntar o que é objetivamente interessante ou importante na matemática. Mas isto também é claramente subjetivo. Por que consideramos Shakespeare um bom escritor? Shakespeare não era tão popular em sua época como é hoje. Obviamente existem convenções sociais em torno do que é interessante e do que é importante. E isso depende do paradigma atual.
Introdução
Em matemática, como é isso?
Um dos exemplos mais famosos de mudança de paradigma é o cálculo. Quando o cálculo foi inventado, ele envolvia dividir algo que estava indo em direção a zero por outra coisa que estava indo em direção a zero – resultando em zero dividido por zero, o que não tem nenhum significado. Inicialmente, Newton e Leibniz criaram objetos chamados infinitesimais. Isso fez com que suas equações funcionassem, mas pelos padrões atuais não era sensato nem rigoroso.
Temos agora a formulação épsilon-delta, que foi introduzida no final do século XIX. Essa formulação moderna é tão impressionante e obviamente boa para acertar esses conceitos que, quando você olha para as formulações antigas, você pensa: o que eles estavam pensando? Mas na época, essa era considerada a única maneira de fazer isso. Para ser justo com Leibniz e Newton, eles provavelmente teriam adorado o estilo moderno. Eles não pensaram em fazê-lo, por causa dos paradigmas da sua época. Então demorou muito para chegar lá.
O problema é que não sabemos quando estamos nos comportando assim. Estamos presos na sociedade em que vivemos. Não temos uma perspectiva externa para dizer quais suposições estamos fazendo. Um dos perigos da matemática é que você pode conceber algo como não sendo importante porque não é facilmente expresso ou discutido na linguagem que você escolheu usar. Isso não significa que você está certo.
Gosto muito desta citação de Descartes, onde ele diz essencialmente: “Acho que sei tudo o que há para saber sobre um triângulo, mas quem pode dizer que sei? Quero dizer, alguém no futuro poderá apresentar uma perspectiva radicalmente diferente, levando a uma maneira muito melhor de pensar sobre um triângulo.” E acho que ele está certo. Você vê isso na matemática.
Como você escreveu em seu artigo, você pode pensar em uma prova como um pacto social – uma espécie de acordo mútuo entre o autor e sua comunidade matemática. Vimos um exemplo extremo de que isso não funciona, com a alegada prova de Mochizuki do abc conjetura.
É extremo, porque Mochizuki não queria jogar do jeito que é jogado. Ele fez essa escolha para ser obscuro. Quando as pessoas fazem grandes avanços, com ideias realmente novas e difíceis, sinto que cabe a elas tentar incluir outras pessoas, explicando as suas ideias da forma mais acessível possível. E ele disse mais, bem, se você não quiser ler do jeito que eu escrevi, isso não é problema meu. Ele tem o direito de jogar o jogo que quiser. Mas não tem nada a ver com comunidade. Não tem nada a ver com a forma como progredimos.
Introdução
Se as provas existem num contexto social, como é que mudaram ao longo do tempo?
Tudo começa com Aristóteles. Ele disse que é preciso haver algum tipo de sistema dedutivo – que você só pode provar coisas novas baseando-as em coisas que você já sabe e das quais tem certeza, voltando a certas “declarações primitivas” ou axiomas.
Então a questão é: quais são essas coisas básicas que você sabe que são verdadeiras? Durante muito tempo, as pessoas apenas disseram, bem, uma linha é uma linha, um círculo é um círculo; existem algumas coisas que são simples e óbvias, e essas devem ser as suposições a partir das quais partimos.
Essa perspectiva durou para sempre. Ainda existe em grande parte hoje. Mas o sistema axiomático euclidiano que se desenvolveu – “uma linha é uma linha” – teve os seus problemas. Houve esses paradoxos descobertos por Bertrand Russell com base na noção de conjunto. Além disso, poderíamos jogar jogos de palavras com a linguagem matemática, criando afirmações problemáticas como “esta afirmação é falsa” (se for verdadeira, então é falsa; se for falsa, então é verdadeira) que indicavam que havia problemas com o sistema axiomático.
Então Russell e Alfred Whitehead tentaram criar um novo sistema de fazer matemática que pudesse evitar todos esses problemas. Mas era ridiculamente complicado e era difícil acreditar que estes fossem os primitivos certos para começar. Ninguém se sentiu confortável com isso. Algo como provar 2 + 2 = 4 ocupou muito espaço desde o ponto de partida. Qual é o objetivo de tal sistema?
Então David Hilbert apareceu e teve uma ideia incrível: que talvez não devêssemos dizer a ninguém qual é a coisa certa para começar. Em vez disso, vale a pena explorar qualquer coisa que funcione – um ponto de partida simples, coerente e consistente. Você não pode deduzir de seus axiomas duas coisas que se contradizem, e você deve ser capaz de descrever a maior parte da matemática em termos dos axiomas selecionados. Mas você não deve dizer a priori o que são.
Isto também parece enquadrar-se na nossa discussão anterior sobre a verdade objectiva em matemática. Então, na virada do século XX, os matemáticos estavam percebendo que poderia haver uma pluralidade de sistemas axiomáticos – que um determinado conjunto de axiomas não deveria ser considerado uma verdade universal ou autoevidente?
Certo. E devo dizer que Hilbert não começou a fazer isso por razões abstratas. Ele estava muito interessado em diferentes noções de geometria: geometria não-euclidiana. Foi muito controverso. As pessoas da época pensavam: se você me der essa definição de linha que contorna os cantos de uma caixa, por que diabos eu deveria ouvir você? E Hilbert disse que se ele pudesse torná-la coerente e consistente, você deveria ouvir, porque esta pode ser outra geometria que precisamos entender. E esta mudança de ponto de vista — que pode ser permitida em qualquer sistema axiomático — não se aplica apenas à geometria; aplicava-se a toda a matemática.
Mas é claro que algumas coisas são mais úteis que outras. Portanto, a maioria de nós trabalha com os mesmos 10 axiomas, um sistema chamado ZFC.
O que leva à questão do que pode e do que não pode ser deduzido disso. Existem afirmações, como a hipótese do contínuo, que não podem ser provadas usando ZFC. Deve haver um 11º axioma. E você pode resolver isso de qualquer maneira, porque você pode escolher seu sistema axiomático. É muito legal. Continuamos com esse tipo de pluralidade. Não está claro o que está certo, o que está errado. Segundo Kurt Gödel, ainda precisamos de fazer escolhas baseadas no gosto, e esperamos que tenhamos bom gosto. Devemos fazer coisas que façam sentido. E nós fazemos.
Falando em Gödel, ele também desempenha um papel importante aqui.
Para discutir matemática, você precisa de uma linguagem e de um conjunto de regras a seguir nessa linguagem. Na década de 1930, Gödel provou que não importa como você selecione sua linguagem, sempre há afirmações nessa linguagem que são verdadeiras, mas que não podem ser provadas a partir de seus axiomas iniciais. Na verdade, é mais complicado do que isso, mas ainda assim, você tem imediatamente este dilema filosófico: o que é uma afirmação verdadeira se você não pode justificá-la? É louco.
Então há uma grande confusão. Estamos limitados no que podemos fazer.
Os matemáticos profissionais ignoram isso em grande parte. Nós nos concentramos no que é factível. Como Peter Sarnak gosta de dizer: “Somos trabalhadores”. Seguimos em frente e tentamos provar o que podemos.
Introdução
Agora, com o uso não apenas de computadores, mas até mesmo de IA, como a noção de prova está mudando?
Mudamos para um lugar diferente, onde os computadores podem fazer coisas malucas. Agora as pessoas dizem, ah, nós temos este computador, ele pode fazer coisas que as pessoas não podem. Mas pode? Pode realmente fazer coisas que as pessoas não podem? Na década de 1950, Alan Turing disse que um computador foi projetado para fazer o que os humanos podem fazer, só que mais rápido. Não mudou muita coisa.
Durante décadas, os matemáticos têm utilizado computadores – para fazer cálculos que podem ajudar a orientar a sua compreensão, por exemplo. O que a IA pode fazer de novo é verificar o que acreditamos ser verdade. Alguns desenvolvimentos fantásticos aconteceram com a verificação de provas. Como [o assistente de prova] Lean, que permitiu aos matemáticos verificar muitas provas, ao mesmo tempo que ajudou os autores a compreender melhor o seu próprio trabalho, porque têm de decompor algumas das suas ideias em passos mais simples para alimentar o Lean para verificação.
Mas isso é infalível? Uma prova é uma prova só porque Lean concorda que é uma? De certa forma, é tão bom quanto as pessoas que convertem a prova em insumos para o Lean. O que se parece muito com a forma como fazemos matemática tradicional. Portanto, não estou dizendo que acredito que algo como o Lean cometerá muitos erros. Só não tenho certeza se é mais seguro do que a maioria das coisas feitas por humanos.
Receio ter muito ceticismo sobre o papel dos computadores. Podem ser uma ferramenta muito valiosa para acertar as coisas — particularmente para verificar matemática que depende fortemente de novas definições que não são fáceis de analisar à primeira vista. Não há dúvida de que é útil ter novas perspectivas, novas ferramentas e novas tecnologias no nosso arsenal. Mas o que eu evito é o conceito de que agora teremos máquinas lógicas perfeitas que produzem teoremas corretos.
Você tem que reconhecer que não podemos ter certeza de que as coisas estão corretas com os computadores. O nosso futuro tem de depender do sentido de comunidade em que confiamos ao longo da história da ciência: que rebatemos as coisas uns com os outros. Que falemos com pessoas que olham para a mesma coisa de uma perspectiva completamente diferente. E assim por diante.
Mas onde você vê isso no futuro, à medida que essas tecnologias se tornam mais sofisticadas?
Talvez pudesse ajudar na criação de uma prova. Talvez daqui a cinco anos eu direi a um modelo de IA como o ChatGPT: “Tenho quase certeza de que já vi isso em algum lugar. Você poderia dar uma olhada? E ele retornará com uma afirmação semelhante e correta.
E então, quando ficar muito, muito bom nisso, talvez você possa dar um passo adiante e dizer: “Não sei como fazer isso, mas há alguém que tenha feito algo assim?” Talvez, eventualmente, um modelo de IA pudesse encontrar formas qualificadas de pesquisar a literatura para trazer ferramentas que foram usadas em outros lugares – de uma forma que um matemático pode não prever.
Porém, não entendo como o ChatGPT pode ir além de um determinado nível para fazer provas de uma forma que nos supere. ChatGPT e outros programas de aprendizado de máquina não estão pensando. Eles estão usando associações de palavras com base em muitos exemplos. Portanto, parece improvável que eles transcendam os seus dados de treinamento. Mas se isso acontecer, o que farão os matemáticos? Muito do que fazemos é prova. Se você tirar as provas de nós, não tenho certeza de quem nos tornamos.
Independentemente disso, quando pensamos sobre para onde vamos levar a assistência informática, precisamos de ter em conta todas as lições que aprendemos com o esforço humano: a importância de usar linguagens diferentes, trabalhar em conjunto, carregar diferentes perspetivas. Há robustez e saúde na forma como diferentes comunidades se reúnem para trabalhar e compreender uma prova. Se quisermos ter assistência computacional em matemática, precisamos enriquecê-la da mesma forma.
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- Fonte: https://www.quantamagazine.org/why-mathematical-proof-is-a-social-compact-20230831/
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