Introducere
Ideea de infinit este probabil la fel de veche ca numerele în sine, revenind oricând oamenii și-au dat seama pentru prima dată că pot continua să numere pentru totdeauna. Dar chiar dacă avem un semn pentru infinit și ne putem referi la concept în conversații ocazionale, infinitul rămâne profund misterios, chiar și pentru matematicieni. În acest episod, Steven Strogatz discută cu colegul său matematician Justin Moore de la Universitatea Cornell despre cum un infinit poate fi mai mare decât altul (și dacă putem fi siguri că nu există un infinit intermediar între ele). De asemenea, ei discută despre modul în care fizicienii și matematicienii folosesc infinitul în mod diferit și despre importanța infinitului pentru însăși fundamentul matematicii.
Ascultă Podcast-uri Apple, Spotify, Podcast-uri Google, stitcher, TuneIn sau aplicația ta de podcasting preferată, sau poți transmite-l de la Cuante.
Copie
Steven Strogatz (00:03): Eu sunt Steve Strogatz și asta este Bucuria de ce, un podcast de la Revista Quanta care te duce la unele dintre cele mai mari întrebări fără răspuns din matematică și știință astăzi.
(00:13) În acest episod, vom discuta despre infinit. Nimeni nu știe cu adevărat de unde a venit ideea de infinit, dar trebuie să fie foarte veche – la fel de veche ca speranțele și temerile oamenilor cu privire la lucruri care ar putea continua pentru totdeauna. Unele dintre ele sunt înfricoșătoare, ca niște gropi fără fund, iar unele dintre ele sunt înălțătoare, ca dragostea fără sfârșit. În matematică, ideea de infinit este probabil la fel de veche ca numerele în sine. Odată ce oamenii și-au dat seama că pot continua să numere pentru totdeauna - 1, 2, 3 și așa mai departe. Dar chiar dacă infinitul este o idee foarte veche, rămâne profund misterios. Oamenii s-au scărpinat în cap în jurul infinitului de mii de ani, cel puțin de când Zenon și Aristotel în Grecia antică.
(00:57) Dar cum dau matematicienii sens infinitului astăzi? Există diferite dimensiuni ale infinitului? Este infinitul util matematicienilor? Și dacă da, cum mai exact? Și ce legătură au toate acestea cu fundamentele matematicii în sine?
(01:14) Mi se alătură astăzi pentru a discuta despre infinit Justin Moore, profesor de matematică la Cornell. Interesele sale de cercetare includ teoria mulțimilor, logica matematică și combinatoria infinită și aplicațiile acestora în alte domenii ale matematicii, cum ar fi topologia, analiza funcțională și algebra. Bine ai venit, Justin.
Justin Moore (01:33): Hei, Steve. Mulțumesc că m-ai primit.
Strogatz (01:35): Da, sunt foarte încântat să vorbesc cu tine. Ar trebui să spun, poate pentru dezvăluire completă, Justin este prietenul și colegul meu la departamentul de matematică de la Cornell. Bine, așa că mergem să ne gândim la infinit așa cum cred matematicienii la el. De fapt, poate înainte de a ne aprofunda în partea de matematică, să vorbim doar o secundă despre lumea reală, pentru că nu vom fi acolo pentru mult timp. Acum, am dreptate, că ai fost odată antrenat în lumea fizicii?
Moore (02:02): Da, era o dublă specializare în fizică cu matematică, când eram licențiat. M-am cam epuizat de fizică. Am început să prefer fizica și, de asemenea, am fost oarecum interesat de matematică, mai mult recreațional. Și apoi, cumva, de-a lungul ei, am devenit mai interesat de matematică și fizică.
Strogatz (02:18): OK. Ei bine, cum rămâne cu fizica infinitului? Are macar sens? Există lucruri infinite în lumea reală despre care știm?
Moore (02:26): Știi acest videoclip, Puterile lui 10, care a fost creat de Charles și Ray Eames? În cazul în care practic fiecare - cred că este la fiecare 10 secunde, ești o putere cu 10 mai mică. Ei bine, la început, cred că o putere de 10 mai mare. Micșorați. Și apoi, la fiecare 10 secunde, ești o putere cu 10 mai mică și treci de la cea mai mare scară a universului la cea mai mică scară de particule subatomice. Știi, asta a fost făcut la, vreau să spun, la sfârșitul anilor '70 sau începutul anilor '80. Și cred că înțelegerea noastră a unor lucruri a evoluat puțin de atunci, dar nu extraordinar. Dar vreau să spun, ideea este că există aproximativ 40 de puteri ale lui 10 care separă cea mai mică scară de lungime de cea mai mare scară de lungime și poate poți fi generos și arunca mai multe puteri suplimentare de 10, doar pentru bună măsură. Dar este corect să spunem că nu există nimic pe care să îl poți măsura în fizică care să fie mai mare decât, știi, 10100 sau 10200 sau ceva de genul ăsta.
(03:22) Și poate că conceptul nostru despre lucruri continuu – mișcare continuă sau orice altceva – poate că totul este doar o iluzie. Poate că totul este cu adevărat granular și finit. Dar ceea ce este adevărat este că, cu siguranță, fizicienii au descoperit multe despre lumea în care trăim, imaginându-și că lucrurile sunt netede și continue și că acel infinit are sens. Când intri în părți ale fizicii în care nu au formalizat încă lucrurile, multe dintre problemele pe care le au matematicienii cu acest lucru se rezumă la fizicieni tratează infinitul în diferite moduri cavalerie și scăderea infiniturilor din infinituri. , și poate să nu fie la fel de responsabil pentru asta cum și-ar dori un matematician să fie. Nu cred că aceasta este cu adevărat o declarație controversată. Cred că un fizician ar face - probabil majoritatea fizicienilor - adică, OK, poate ai ști mai bine. Dar cred că majoritatea fizicienilor ar spune că aceasta este o afirmație destul de corectă.
Strogatz (04:20): Deci, în ceea ce privește propria ta poveste personală - promit că nu voi merge prea adânc pentru a te face de rușine în acest sens - dar ce te-a atras la infinit? Cumva, fizica ti s-a părut prea mică? Sau îți place pur și simplu rigoarea matematicii, sau...?
Moore (04:33): Adică, cred că m-am interesat de matematică în ansamblu și m-am îndepărtat de fizică înainte de a mă interesa în mod specific teoria mulțimilor. În mod ironic, a fost pentru că eu — ei bine, dacă iei o oră de fizică, la un moment dat, ajungi să fii destul de rapid și liber cu matematica. Și ori ești de acord cu asta, ori nu. Eram unul dintre cei care nu era de acord cu asta.
Strogatz (04:56): Huh. Și am fost unul care a fost în regulă și încă o fac. Știi, adică, acele lucruri nu m-au îngrijorat prea mult, deși respect grija care — integritatea intelectuală pe care o au matematicienii puri, știi, îngrijorarea pentru aceste lucruri.
(05:11): Bine, deci să presupunem că eram, nu știu, ca un adolescent curios și nici măcar nu știu ce este infinitul. Ce ai spune că este? Ar trebui să îl consider un număr foarte mare? Este vreun simbol? Este o proprietate? Care este o modalitate bună de a gândi ce este infinitul?
Moore (05:26): Da, vreau să spun, cred că este — poate fi un punct idealizat la capătul liniei, bine? Poate fi un simbol formal. Știi, poți să te gândești la asta cam așa... un simbol formal în același sens ca să spunem, introducem -1, nu? Și îmi amintesc, când eram copil mic, că profesorii nu erau dispuși să explice clar dacă era sigur să vorbesc despre numere negative. Și, corect, asta sună prostesc în retrospectivă, dar la un anumit nivel, nu, există -1 în lumea reală? Dar îl poți manipula formal și poți manipula formal infinitul la un anumit nivel, dar poate trebuie să arăți puțin mai multă grijă. De asemenea, puteți folosi infinitul ca mijloc de a cuantifica câte sunt din ceva. Și asta deschide mai multe uși acolo, pentru că poți vorbi despre seturi infinite, dintre care unele sunt mai mari decât altele.
Strogatz (06:15): OK. În regulă. Așa că ați menționat acest cuvânt „seturi” și cu siguranță vom vorbi mult despre seturi astăzi. Am spus că interesele tale includ teoria mulțimilor. Vrei să spui mai multe despre ce înțelegi prin set?
Moore (06:26): Cred că... Răspunsul este atât da, cât și nu. Așa că cred că este în regulă să zbori pe lângă scaunul pantalonilor și să o vezi doar ca pe o noțiune nedefinită și să o folosești într-un fel intuitiv. Dar a fost, de asemenea, folosit ca un mecanism pentru a oferi bazele matematicii, când oamenii și-au dat seama că trebuie să avem unele, să facem o fundație atentă a ceea ce este matematica.
Strogatz (06:49): Uh huh. E interesant. Pentru că eu, ca și cum copii mici, învățăm să numărăm pe degete, sau probabil că părinții noștri încep să spună cuvinte și apoi ar putea să arate lucruri și să spună: „1, 2, 3...” Și am învățat sunete – copii așa când sunt foarte mici, știu, nu? Adică, dacă ai tu însuți copii mici sau rude. Deci există acea parte a lucrurilor. Și cred că majoritatea oamenilor și-ar imagina că numerele sunt fundamentul matematicii. Dar spui, și cred că majoritatea matematicienilor ar fi de acord, că există ceva chiar mai profund decât numerele, care este acest concept de mulțimi, nu?
Moore (07:22): Cred că conceptul de „set” a apărut ca un concept fundamental pentru că este atât de elementar și atât de primitiv. Și dacă ești, dacă vrei să ai ceva de folosit ca material pentru matematică, vrei să începi cu ceva în care proprietățile sale de bază par foarte primitive și apoi să începi de acolo. Și apoi ideea este că apoi folosiți seturi pentru a codifica lucruri precum numerele de numărare și lucruri precum numerele raționale și numerele reale și așa mai departe. Și apoi de acolo, tot felul de alte construcții matematice mai complicate, cum ar fi varietăți, sau, sau orice altceva.
Strogatz (07:57): Așa că îmi pot aminti, într-un strada Sesame episod pe care îl urmăream împreună cu copiii mei. Era într-un film; Cred că a fost. Că există un personaj care comandă pește pentru o cameră plină de pinguini flămânzi. Și le-a cerut pinguinilor să strige și ei spun: „Pește, pește, pește, pește, pește, pește”. Și atunci chelnerul strigă la bucătărie: „Pește, pește, pește, pește, pește”. Și apoi altcineva spune: „Nu, ai greșit.” Și altcineva spune: „Ei bine, de ce nu ai spus că au comandat șase pești?” Dar evidențiază că această idee a unui fel de număr vine după această colecție de obiecte de pește. Și apoi un alt personaj este surprins și spune: „Funcționează pentru bujii? Și chifle cu scorțișoară?”
Moore (08:42): Adică, cred și eu, doar dacă ești interesat să încerci să înțelegi, poți dovedi asta? Sau poți demonstra asta? Și încerci să stabilești reguli despre cum ai dovedi lucrurile sau orice altceva, ai vrea ca principiile de bază să fie cât mai simple posibil. Deci, în loc să încercați să scrieți reguli pentru modul în care funcționează aritmetica, începeți prin a scrie reguli mai simple pentru lucruri mai simple și apoi construiți aritmetica din aceste blocuri de bază mai de bază.
Strogatz (09:08): OK. Deci, și asta îmi amintește și de „New Math”, când, în anii ’60, când eram copil, obișnuiam să învățăm despre intersecții și diagrame Venn și uniuni, nu? Acesta a fost începutul teoriei mulțimilor. Ne-o predau în — nu-mi amintesc — era clasa a doua sau a treia; parintii mei nu stiau de ce. Dar au fost, cred, matematicieni de tipul tău sau alții care au crezut că copiii ar trebui să învețe seturi, fie înainte, fie în același timp, când învață despre aritmetică.
Moore (09:33): Da, majoritatea a ceea ce oamenii studiază în teoria multimurilor, adică în zilele noastre este într-adevăr modul în care funcționează seturile infinite. Pentru că intuiția noastră despre mulțimi infinite nu este la fel de bună ca intuiția noastră despre mulțimi finite. Și cred că de aceea a existat o mulțime de motive pentru fundații. A fost în parte pentru că am dori să scriem, OK, care suntem destul de siguri că ar trebui să fie proprietățile mulțimilor infinite și ale mulțimilor în general, și apoi să încercăm să dezvoltăm ceea ce este adevărat despre mulțimile infinite de acolo?
Strogatz (10:03): OK, de ce nu avem câteva exemple? Îmi puteți spune câteva exemple de lucruri care sunt seturi infinite?
Moore (10:08): Ei bine, ca și numerele naturale. Așa cum spuneai — cum ar fi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și așa mai departe — dar și lucruri precum numerele raționale. Știi, fracții ca două numere naturale unul peste altul, sau poate o fracție negativă. Dar mai sunt și lucruri precum numerele reale, unde — știi, orice poți exprima cu o zecimală, inclusiv lucruri precum pi și e.
Strogatz (10:28): Mm-hmm. Deci ar putea avea infinit de cifre după virgulă zecimală.
Moore (10:32): Da, da, infinit de cifre. Nu trebuie să repete.
Strogatz (10:35): Uh huh. Și cum rămâne cu lucruri precum forme sau puncte sau lucruri geometrice, nu doar lucruri numerice?
Moore (10:41): Da, poți vorbi și despre colecții de forme geometrice.
Strogatz (10:45): OK, deci aceasta este o caracteristică frumoasă a mulțimilor: că putem, cu mulțimi, să unificăm sau cel puțin să avem un limbaj comun pentru a vorbi despre aritmetică, geometrie, … .
Moore (10:54): Corect.
Strogatz (10:55): Presupun că am putea vorbi despre un set de funcții, dacă am urma un curs de precalcul. Știi, ca și mulțimea setului de funcții continue, dacă am fi la un curs de calcul.
Moore (11:04): Sigur. Da.
Strogatz (11:05): Sau orice altceva. Deci da, deci asta ne oferă un limbaj comun pentru toate părțile diferite ale matematicii.
Moore (11:09): Corect.
Strogatz (11:10): Și - dar este o idee relativ nouă ca bază a matematicii în ceea ce privește istoria generală a matematicii, nu ați spune?
Moore (11:16): Da, vreau să spun, eu... Ei bine, matematica modernă, așa cum o știm noi, are o vechime între 100 și 150 de ani. Dar de obicei o asociez – prima parte a secolului trecut a fost când, într-adevăr, am început să vedem că toate părțile majore ale matematicii așa cum le cunoaștem astăzi încep să se dezvolte și să devină cu adevărat subiecte distincte. Și asta a fost, de asemenea, cam în aceeași perioadă în care [Bertrand]Russell și-a descoperit paradoxul, ceea ce a stimulat nevoia unui fel de fundații riguroase pentru matematică.
Strogatz (11:49): Uh, huh. Ar trebui să menționăm - da. Așa că, despre care vorbim acum, Bertrand Russell este adesea mai cunoscut ca filozof sau pacifist, și totuși a fost un matematician și logician destul de puternic, cineva interesat de logică ca parte a matematicii.
Moore: Da da.
Strogatz (12:04): Așa cum spuneți, el a fost unul dintre oamenii care au ajutat să dezvolte cu adevărat teoria seturilor. Și chiar înaintea lui, era acest domn, George Cantor, despre care vom vorbi destul de mult, în Germania la sfârșitul anilor 1800.
(12:17): OK, deci cum în matematică, să spunem, matematicienii folosesc infinitul? Ai menționat cât de util poate fi. Unde se obisnuieste?
Moore (12:27): Da, deci, într-o clasă de calcul, este un simbol util pentru a face anumite calcule. Vorbind despre modul în care se comportă o funcție pe măsură ce intrarea devine foarte mare. Puteți vorbi despre limita la infinit, sau despre rapoartele cantităților pe măsură ce un număr ajunge la zero sau infinit sau ceva de genul ăsta. Aceasta este o noțiune de infinit care este cam în primul sens pe care l-am menționat, în care priviți infinitul ca un punct idealizat la sfârșitul liniei.
(12:53) Dar poți vorbi despre asta și ca - știi, poți, poți vorbi despre numărarea numărului de elemente ale unei colecții sau al unui set și să țină evidența fie câte elemente finite are sau poate, dacă are infinit de elemente, încercând să facă distincția între diferite dimensiuni ale infinitului. Adică, toată lumea înțelege – sau pretinde că înțelege – distincția dintre a fi finit și a fi infinit. Si eu cred Remarcabila descoperire a lui Cantor a fost că poți, pentru un set infinit, poți face distincții suplimentare. Puteți distinge între ceea ce se numește numărabil și apoi ceea ce se numește nenumărabil. Sau chiar și în general, cardinali nenumărabili mai mari decât distincțiile dintre diferiți cardinali nenumărabili.
Strogatz (13:34): Deci OK, hai să mergem acolo. Pentru că aceasta este, asta ne duce cu adevărat în inima subiectului nostru. Cred că persoana obișnuită care aude cuvântul „numărabil” pentru prima dată ar putea crede că înseamnă literal numărabil, ca ceva care are 10. Știi, dacă sunt 10 bujii pe masă, le-aș putea număra - 1, 2, 3 , până la 10. Dar tu și alți matematicieni folosiți numărul pentru a însemna ceva puțin diferit de atât.
Moore (13:56): Înseamnă doar că puteți atribui un număr natural fiecărui element al setului, astfel încât niciun număr natural să nu fie folosit de două ori.
Strogatz (13:56): Deci ceva poate fi numărabil și infinit.
Moore (13:57): Și infinit. Deci numerele naturale sunt în mod evident numărabile pentru că se numără singure. Dar poate un pic mai puțin evident este că numerele întregi, inclusiv negativele numerelor naturale, sunt numărabile.
Strogatz (14:18): Deci hai să vorbim despre asta pentru o secundă. Deci, dacă o persoană nu s-a gândit la asta înainte, este interesant. Pentru că, așa cum ai spus, vei lua în considerare toate numerele, toate numerele întregi pozitive, toate numerele întregi negative și zero.
Moore (14:29): Da.
Strogatz (14:30): Și ai putea greși. Ca și cum ai începe de la zero și ai începe să numeri la dreapta și ai merge 0, 1, 2, 3, nu te-ai mai întoarce niciodată la numerele negative. Și atunci nu ai fi reușit să numeri toate numerele întregi.
Moore (14:41): Da.
Strogatz: Dar ce ar trebui să faci în schimb?
Moore: Ce poți face este, poți număra, știi, 0, 1, -1 și apoi 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5. Și dacă le enumerați în acest fel, atunci în cele din urmă enumerați totul.
Strogatz (14:55): Frumos. Deci, acest argument în zig-zag în care săriți înainte și înapoi între pozitive și negative este un mod frumos, organizat și sistematic de a arăta că, dacă vă gândiți la orice număr întreg, în cele din urmă acesta va fi pe listă.
Moore: Da. Da.
Strogatz(15:07): Deci e grozav. Deci OK, deci numerele întregi sunt numărabile. De asemenea, Cantor a descoperit și alte lucruri care pot fi numărate - nu știu dacă a fost surprins, dar mulți dintre noi suntem surprinși când aflăm pentru prima dată despre asta. Ca, ca ce?
Moore (15:21): Da, cred că două exemple bune care sunt surprinzătoare sunt – în primul rând, raționalele. Deci colecția tuturor fracțiilor a două numere întregi este numărabilă. De fapt, este destul de ușor de observat când te gândești la asta, pentru că poți doar enumera toate fracțiile cu numitorul 1 - sau numărătorul și numitorul valoarea absolută cel mult 1. Și apoi, cel mult 2, cel mult 3, cel mult 4 Și în fiecare etapă, există doar un număr finit de fracții în care numărătorul și numitorul sunt cel puțin ca mărime, cel mult n. Și atunci poți epuiza toate rațiunile astfel.
Strogatz (15:55): Așadar, dacă aș alege numărul n ca fiind 3, spui că aș putea avea un număr ca 1/2 sau 2/1 sau 0/3, deoarece numărătorul plus numitorul se adună la 3?
Moore (16:06): Da. Un altul, care este, din nou, un fel de surprinzător, este dacă luați numărul de cuvinte pe care le puteți nota în alfabetul latin sau orice alfabet doriți. Există cel mult multe cuvinte finite sau șiruri finite de simboluri care provin din acest alfabet. Dacă te gândești la toate cuvintele sau la toate propozițiile, la toate lucrările de literatură, dacă îți place —
Strogatz: Ooh.
Moore (16:30): — orice care nu numai că există acum, dar ar putea exista la un moment dat în viitor. Știi, ai pus acele infinite maimuțe la mașină de scris și te uiți la ieșirile pe care le-ar putea genera într-o perioadă finită de timp. Totul este doar un set numărabil.
Strogatz (16:44): Uau. Deci toate cărțile posibile în toate, să spunem, în latină, în toate limbile posibile pe care le cunoaștem?
Moore (16:50): În toate limbile posibile. Da. Adică, dacă îți place, poți avea un alfabet numărabil dacă vrei. Asta nu face nimic mai mare.
Strogatz (16:56): Deci numărabil ar părea un infinit foarte mare. Si totusi -
Moore (16:59): Da. Primul lucru surprinzător este că acele mulțimi care par a fi mai mari decât numerele naturale au de fapt aceeași dimensiune ca și numerele naturale. Sunt numărabili. Dar mai este și cealaltă surpriză, și anume că numerele reale, setul de numere zecimale, sunt de nenumărat.
Strogatz (17:13): Deci există acest punct remarcabil pe care l-ați menționat că pot exista seturi care nu pot fi numărate. Și cred că, poate cel mai simplu exemplu ar fi: Gândiți-vă la o linie care se extinde la infinit în ambele direcții. Deci ca o linie dreaptă infinit de lungă. Adevărata linie cum am numi-o. Asta este de nenumărat.
Moore (17:32): Corect. Dacă, dacă îmi înmânați o listă, o pretinsă listă a tuturor elementelor de pe acea linie, există o procedură numită argument diagonală, care vă permite să produceți un nou punct care se află pe linie, dar nu și pe lista dvs. Aceasta a fost faimoasa descoperire a lui Cantor.
Strogatz (17:49): Deci a fost o descoperire cu adevărat uimitoare, cred că la acea vreme, nu? Că acum ai putea vorbi brusc despre două seturi infinite și le poți compara.
Moore (17:58): Da, da. Iar distincția dintre numărabil și nenumărabil este una cu adevărat utilă în matematică. Practic, seturi numărabile, puteți vorbi în continuare despre sume care sunt de lungime infinit infinită. Acesta este ceva care este predat la sfârșitul unui standard - sfârșitul unui curs de calcul al doilea semestru. În timp ce sumele peste seturi nenumărate sunt mai puțin semnificative, sau cel puțin trebuie să le definiți într-un mod mai delicat. Acestea fiind spuse, ceva mai mult pe linia unei integrale sau ceva de genul ăsta.
Strogatz (18:30): OK, deci acum că avem această distincție de numărabil, ca numerele întregi — 1, 2, 3, 4, 5 — și nenumărabil, ca punctele de pe o linie. Mai este o întrebare care cred că ar fi bine dacă am putea petrece ceva timp pe asta. Denumită ipoteza continuumului. Ai putea, ai putea să ne spui ce este asta?
Moore (18:50): Da. Deci Cantor s-a întrebat: există, există ceva între ele? Puteți - știți, numerele naturale se află în interiorul numerelor reale, iar numerele naturale sunt numărabile. Numerele reale sunt nenumărate și mai mari decât numerele naturale. Există un set de numere reale care este mai mare decât numerele naturale, dar mai mic decât -
Strogatz (19:10): Mai mic în acest sens al numărării.
Moore (19:12): — mai mic decât linia? Există un set de puncte pe acea dreaptă, pe dreapta numerică, care este mai mare decât numerele naturale, mai mare decât raționalele, dar mai mică decât întreaga dreaptă în sine? Afirmația că nu există o astfel de mulțime intermediară se numește ipoteza continuumului. Și aceasta a fost prima problemă a lui Hilbert, dacă ipoteza continuumului este o afirmație adevărată sau falsă.
Strogatz (19:35): Uh huh, deci Hilbert a fost un mare matematician în asta - poate puțin mai târziu, dar nu mult mai târziu. Și în anul — ce a fost, 1900 sau cam așa ceva, cred — el a anunțat sau a dat o listă cu ceea ce el credea că sunt unele dintre cele mai mari probleme pentru viitor, la care să lucreze matematicienii din secolul al XX-lea. Și cred că aceasta a fost întrebarea numărul unu pe lista lui?
Moore (19:58): Da, aceasta a fost întrebarea numărul unu.
Strogatz (20:00): Uau. Deci a fost mare să mă gândesc la asta. Cantor, zici tu, a numit-o ipoteză. El a crezut că se va dovedi a fi adevărat.
Moore: Da.
Strogatz (20:07): Că nu a existat un infinit între cei doi despre care știa deja
Moore (20:11): Da. Și lucrul este că supraviețuiește testului de a căuta contraexemple. Adică, dacă începi să te uiți la toate seturile de reale, submulțimile liniilor pe care le poți scrie o descriere sau pe care le poți construi prin anumite mijloace. A încercat asta. Și a dovedit, adică, ei bine, a arătat că nu există contraexemple. Există chiar și teoreme de la început care spun că seturile de acest tip sau acel tip nu pot fi contraexemple.
Strogatz (20:40): Este uimitor. Lasă-mă să mă asigur că primesc asta. Nu am auzit niciodată această afirmație: doar faptul că unele dintre ele sunt descrise le face, într-un fel, să nu fie suficient de bune.
Moore (20:49): De exemplu, un set care este închis are toate punctele sale limită. Cantor a dovedit că acesta nu poate fi un contra-exemplu. Este fie numărabil, fie are aceeași dimensiune ca și real.
Strogatz (21:00): Deci, dacă există un contra-exemplu, trebuie să fie de nedescris.
Moore (21:04): Da, trebuie să fie complicat.
Strogatz (21:06): Uau. Dar, desigur, este posibil să existe unul, doar că ar fi ceva cu adevărat bizar.
Moore (21:12): Da. Așa că așa ceva ne aduce la ceva care ne întoarce la această întrebare fundamentală. Știi, în acea perioadă au început să încerce să oficializeze care sunt axiomele pentru matematică. Și ceva mai târziu, în jurul anilor 1930, [Kurt] Gödel a dovedit că, de fapt, orice fel de sistem de axiome inteligibile pe care l-ați putea avea, care atinge obiectivul modest de a formaliza aritmetica pe numerele naturale, este în mod necesar incomplet. Există afirmații pe care nu le puteți demonstra din acest sistem de axiome și nu le puteți infirma din axiome, folosind dovezi finite standard.
(21:52) Și asta a fost, cred, destul de șocant. Pentru că îți spune că scopul de a încerca într-un fel algoritmic să rezolvi toate problemele tale în matematică și să produci un fel de fundație algoritmică, o bază completă a matematicii este, într-un anumit sens, condamnată. Sau cel puțin trebuie să fie guvernat de o intuiție superioară, dincolo de doar – nu știu – ceea ce era disponibil la acea vreme.
(22:16) Și ceea ce a dovedit Gödel - unul dintre lucrurile pe care le-a demonstrat mai târziu a fost că una dintre afirmațiile pe care nu le poți dovedi sau infirma este afirmația că sistemul tău de axiome este consecvent în primul rând. Că nu duce la nicio contradicție. Acea afirmație poate fi codificată ca un fel de afirmație despre teoria numerelor, despre aritmetica numerelor naturale, dar nu într-un mod deosebit de natural. Dacă mergi și vorbești cu unul dintre teoreticienii numerelor din departament, ei nu ar considera asta ca o problemă sau o afirmație a teoriei numerelor, chiar dacă din punct de vedere tehnic este. Și așa a fost - o întrebare care a rămas din vremea lui Gödel a fost dacă ipoteza continuului - sau dacă există o altă afirmație matematică naturală, care este indecidabilă pe baza sistemului de axiome în care lucram.
Strogatz (23:02): Deci există acest concept de axiome. Probabil ar trebui să încercăm să ne amintim cum arată acestea. Pentru că dacă facem matematică foarte atentă, trebuie să stabilim niște definiții, dar și unele lucruri pe care le luăm — nu știu de ce nu vreau să spun „luăm de bun”, dar că acceptăm ca piatră de bază.
Moore (23:19): Da, da. Deci, acesta este, vreau să spun, este ceva ce grecii au făcut, adică, știți, una dintre realizările în formalizarea geometriei – a fost, mai degrabă decât să încerce să definească ce este geometria, să o privească ca: Vom scrie câțiva termeni nedefiniti, apoi scrieți regulile sau axiomele care guvernează modul în care acești termeni nedefiniți se comportă. Pentru ei, erau lucruri ca un punct și o linie. Și când un punct este pe o linie, acestea sunt conceptele nedefinite. Și când un punct se află între alte două puncte de pe o linie, acestea sunt concepte nedefinite. Și apoi scrieți un set de axiome care guvernează modul în care funcționează aceste concepte. Și dacă ați procedat corect, atunci toată lumea este de acord că aceste proprietăți sunt în mod evident adevărate pentru acestea, aceste lucruri. Prin urmare, aceste axiome sunt lucruri care sunt în mod evident adevărate.
(23:19) Deci, pentru geometrie, știți, există acest faimos postulat paralel, pe care nu îl puteți deriva din celelalte. Și a fost oarecum revoluționar, când s-a descoperit că de fapt poți construi modele de geometrie care să satisfacă toate axiomele, dar nu și postulatul paralel. Și, prin urmare, postulatul paralel nu este demonstrabil din celelalte axiome. Deci, într-un anumit sens, ceea ce a făcut Gödel a fost să dezvolte o metodă pentru a face asta, dar la nivelul modelelor de matematică, sau cel puțin modelelor acestui sistem de axiome pe care îl avem pentru matematică.
Strogatz (24:45): Aha, acesta este un mod interesant de a spune. Deci, cum ar fi, unde avem geometria euclidiană și apoi avem și aceste geometrii non-euclidiene mai noi, pe care, faimos, Einstein le-a folosit în relativitatea generală, dar sunt folosite și în alte locuri. Și logic sunt la fel de bune ca geometria euclidiană. Dar acum, în loc să vorbim doar despre geometrie, spui că e ca și cum am putea avea tradiționalul - ei bine, nu sunt sigur care sunt cuvintele. Care este analogul geometriei euclidiene? Există matematică tradițională?
Moore (25:16): Aceasta este o întrebare deschisă. Adică asta, vreau să spun — cred că este parțial o întrebare filozofică. Poate este o întrebare sociologică, pentru că este o chestiune de ce este matematica, nu? Se întoarce la întrebarea de bază. Și cred că axiomele pe care le avem axiomele ZFC, care au fost dezvoltate cu puțin peste 100 de ani în urmă, sunt acelea despre care suntem în general de acord că acestea sunt adevărate, sau acestea sunt, acestea sunt proprietăți pe care „mult” ar trebui să le aibă, dar ele” nu sunt complete.
Strogatz (25:44): Ei bine, stai, hai să despachetăm toate astea. Sună bine. Deci, ZFC, de ce nu începem cu asta? Acestea sunt numele unor oameni și un lucru.
Moore (25:51): Da, da. „Teoria mulţimilor Zermelo-Fraenkel” cu ceva numit „axioma alegerii”. Da.
Strogatz (25:55): OK. Și astfel, acestea sunt regulile jocului care sunt larg acceptate.
Moore (25:59): Da, este o listă de axiome care sunt — este destul de lungă, dar nu atât de lungă. Lucruri de genul, dacă aveți două seturi, există un set care le are pe ambele ca elemente, elementele lor. Axioma de împerechere, că puteți lua uniunea unei colecții de mulțimi, și acesta este un set. Și așa mai departe.
Strogatz (26:15): OK. Deci, există modul ZFC de a face teoria mulțimilor, și asta, spuneți, este propus la un anumit moment și oamenilor le place, dar apoi ați spus că nu este complet?
Moore (26:26): Da. Deci este ceva ce poți scrie. Un algoritm de calculator pentru a enumera axiomele. Este un set infinit de axiome. Dar, cu excepția a două tipuri de grupuri de axiome, este finit. Dacă nu acordați atenție, ați crede de fapt că acestea, fiecare dintre aceste alte grupuri de axiome sunt axiome unice. Dar ele sunt de fapt o familie infinită de axiome. Puteți genera un program de calculator care va scuipa toate axiomele. Tindem să credem că ZFC este consecvent pentru că nu am descoperit nicio contradicție. Dacă credeți asta, atunci prin teorema de incompletitudine a lui Gödel, ZFC nu va putea demonstra că este consecvent.
(27:03) Și astfel există afirmații, cum ar fi consistența ZFC, pe care ZFC nu le poate dovedi. Acesta este un punct interesant. Pentru că, din nou, credem că ZFC este consecvent. Și acesta este, vreau să spun, unul dintre motivele pentru care, vreau să spun... Majoritatea matematicienilor, ei vor lucra se bazează pe credința că CFC este consecvent. Dreapta? Dar asta este ceva pe care îl considerăm o afirmație adevărată. Dar nu este ceva pe care ZFC în sine este suficient să-l demonstreze.
Strogatz (27:27): Doar mă gândesc. Pe drum aici, l-am menționat pe Gödel. Nu știu că am spus cine este el. Vrei să ne spui pe scurt?
Moore (27:34) Da, a fost. Adică, a fost un fel de logician revoluționar. Aceasta, Teorema Incompletității a fost una dintre realizările sale majore. Și cealaltă realizare majoră a lui a fost să arate că ipoteza continuumului nu poate fi infirmată folosind axiomele ZFC.
Strogatz (27:49): Unii oameni îl consideră cel mai mare logician de la Aristotel. Și Einstein, care i-a fost prieten și coleg la Institutul pentru Studii Avansate, a spus că îi place să aibă privilegiul de a merge pe jos pentru a lucra cu Kurt Godel. Adică, era în aceeași ligă intelectuală cu Einstein. Dacă nu ați auzit de el, vă recomand să vă uitați la o carte despre el numită Călătorie la marginea rațiunii. O carte grozavă despre viața lui Gödel. Dar OK, deci este, corect, deci este un logician de la mijlocul secolului XX, începutul secolului XX. Și spuneți că a demonstrat asta - ei bine, spuneți din nou despre ipoteza continuumului?
Moore (28:23): În cadrul oricărui model de teorie a mulțimilor, el a construit un model mai mic de teorie a mulțimilor care satisface ipoteza continuumului. Și, deci, ceea ce arată este că nu puteți infirma ipoteza continuumului în cadrul axiomelor teoriei mulțimilor. Dintr-un model de teorie a mulțimilor, dacă aveți unul, atunci pot produce unul nou, care satisface ipoteza continuumului.
Strogatz (28:43): Înțeleg. Deci ar putea exista versiuni ale teoriei mulțimilor, un fel de versiuni mai mici, care sunt încă adecvate pentru a face aritmetică, înțeleg.
Moore: Da.
Strogatz (28:51): Dar în care, OK, ipoteza continuumului este adevărată, așa cum a ghicit Cantor.
Moore: Da.
Strogatz (28:56): Și apoi. Dar apoi - există un mare „dar” în această poveste.
Moore (28:59): Da. Atâția, mulți ani mai târziu, [Paul] Cohen a dezvoltat o tehnică numită forțare care i-a permis să extindă modele de teorie a mulțimilor. Și folosind asta, a demonstrat că nu poți demonstra ipoteza continuumului. Cu excepția faptului că tehnica lui poate fi folosită și pentru a dovedi că nu o poți infirma. Aceasta, da, această tehnică numită forțare este într-adevăr, este foarte puternică. Forțarea și tehnica de a construi un model mai mic în cadrul modelului dvs. de teorie a mulțimilor. Acestea sunt genul de două instrumente pe care le avem pentru a construi noi modele de teorie a mulțimilor din modele vechi de teorie a mulțimilor.
Moore (29:32): Revenind la analogia geometriei. Adică, chiar și aceste modele ale planului hiperbolic, care erau modelele non-euclidiene ale geometriei - acelea înșiși încep prin a lua planul euclidian sau un subset al acestuia și construiesc modelul de geometrie ca punctele și liniile de acolo. Punctele sunt doar puncte obișnuite de pe acest disc. Și liniile de acolo sunt cercuri în, anumite cercuri în geometria originală. Ideea pe care încerc să-l subliniez este că acesta este un fel de lucru fructuos pe care îl faci în matematică. De multe ori începeți cu o structură care vă satisface sistemul de axiome, cum ar fi o geometrie care vă satisface axiomele de geometrie, și o manipulați cumva și produceți un lucru nou, care poate satisface un set diferit de axiome. Asta făceau Cohen și Gödel, era că luau un model al axiomelor teoriei mulțimilor - și, prin urmare, într-un anumit sens, un model al matematicii - și îl manipulau folosind diferite tehnici pentru a produce noi modele, care au satisfăcut fie că ipoteza continuumului este adevărată sau că ipoteza continuumului este falsă.
Strogatz (30:36): Deci, asta este cu adevărat uimitor pentru mine și sunt sigur pentru mulți oameni că, știi... De exemplu, Platon are această filozofie că, că există anumite forme ideale și adevăruri care - poate că putem Nu îi văd aici pe Pământ, dar într-un tărâm platonic, adevărul lor există.
Moore: Da da.
Strogatz (30:57): Și ai simți că numerele reale există, indiferent dacă ființele umane se gândesc la ele sau nu, și că ipoteza continuumului fie este adevărată pentru numerele reale, fie nu este. Dar îmi spui?
Moore (31:09): Ei bine, vreau să spun, da, există diferite școli de gândire despre asta. Vreau să spun, nu ai putea - o poți vedea ca, există acest lucru care cred că merge sub numele, acea viziune generică multivers, că nu mai este nimic de spus. Există doar toate aceste modele de teorie a mulțimilor. Și cel mai bun lucru pe care îl putem face este să încercăm să înțelegem ce este adevărat în fiecare dintre ele și să ne mișcăm între ele. Și aceasta este o viziune foarte non-platonică asupra lucrurilor, un fel de viziune formalistă asupra lucrurilor. Ați putea, de asemenea, să considerați că există un model preferat de teorie a mulțimilor. Adică, știți, realitatea în care trăim, și toate aceste alte modele, sunt modele ale axiomelor, dar nu sunt cu adevărat ceea ce încercăm să descriem cu axiomele. Cred că analogia cu geometria este oarecum ilustrativă acolo, nu? Adică, puteți produce multe modele diferite de geometrie. Dar încă trăim într-o lume fizică care are o geometrie și poate că aceasta este geometria la care ne pasă cel mai mult.
Strogatz (32:03): Înțeleg. Deci, în același mod în care am putea acorda geometriei euclidiene un statut preferat pentru că este cel cu care suntem obișnuiți. Este cel care există de mult timp, pentru că este un fel de cel mai ușor și mai evident, dar încă credem că acestea sunt bune și au domeniile lor în care sunt utile și interesante.
Moore (32:20): Dar poate că lucrul care merită subliniat și acolo este că chiar și înțelegerea noastră despre — Ei bine, în primul rând, nu sunt sigur că trăim într-o geometrie euclidiană. Dar există, există o întrebare despre asta. Dar chiar și înțelegerea noastră a lumii fizice este mult îmbogățită prin înțelegerea tuturor acestor alte geometrii, această explorare liberă a altor modele de geometrie. Și același lucru este valabil și cu teoria mulțimilor. Cred că, chiar dacă în viitor, ne-am stabilit pe un anumit consens cu privire la ceea ce este o nouă axiomă pentru teoria mulțimilor, a ajunge la acea destinație este ceva care cu siguranță nu ar fi fost posibil fără toată această explorare care are loc înainte.
Strogatz (33:00): Ce ar însemna demonstrarea sau infirmarea ipotezei continuumului? Pentru fiecare dintre aceste tabere? Ce este în joc?
Moore (33:08): Da, asta e — OK, deci cred că tabăra care adoptă acest tip de punct de vedere „toate lumile” ar spune că aceasta este o întrebare fără sens. Că Cohen și Gödel și tehnicile lor pentru a construi o mulțime de modele de teorie a mulțimilor este un fel de final al discuției. Și știți, vom produce o mulțime de modele noi de teorie a mulțimilor, poate, dar nu vom avea niciodată un răspuns final pentru a spune că ipoteza continuumului este adevărată sau falsă. Oamenii care consideră că această afirmație există un fel de adevăr sau falsitate, ar încerca probabil să vină cu o nouă axiomă și probabil cu o justificare euristică pentru ce această axiomă ar trebui să fie adevărată - fie o justificare euristică, fie poate o justificare pragmatică. de ce este adevărat. Și atunci, odată ce susțineți că această axiomă ar trebui acceptată, că ea încapsulează cumva o intuiție pe care o avem despre matematică sau mulțimi, atunci dacă această axiomă demonstrează sau infirmă și ipoteza continuumului într-un fel de sens formal al cuvântului, atunci ați vedea că CH este adevărat sau fals.
Strogatz (34:12): Deci cam așa ne aflăm acum. Că există într-adevăr aceste două tabere în acest moment.
Moore (34:16): Da, într-o anumită măsură. A trecut atât de mult de când ipoteza continuumului s-a dovedit a fi indecidabilă pe baza axiomelor, încât cred că majoritatea matematicienilor s-au cam obișnuit cu faptul că poate că asta este cel mai mult pe care poți spune. Și cred că ar fi uimitor în acest moment dacă matematicienii în ansamblu s-ar putea reuni în jurul unei noi euristice despre care, știi, toată lumea ar putea fi de acord că ar trebui să fie adevărată. Și poate asta nu se va întâmpla niciodată. Poate, poate comunitatea are prea multe puncte de vedere diferite în ea. Pentru a fi corect, cred că - cred că este oarecum o viziune de consens, dar nu o viziune universală, că ZFC este un set de axiome adevărate pentru matematică. Cu siguranță există oameni care consideră că orice infinit pur și simplu nu există. Și nu are sens să vorbim despre asta și nu ar trebui să vorbim despre asta.
Strogatz (35:05): Ei bine, aceasta este o tradiție cinsată de timp. Adică, asta e — Aristotel ne spunea să fim atenți la infinit. Și de-a lungul istoriei matematicii, oameni chiar la fel de grozavi ca [Carl Friedrich] Gauss au fost foarte atenți la acest concept de infinit complet, care este ceea ce Cantor ne-a deschis această cutie de viermi. Dar nu știu că sunt viermi. Se pare că este – știi, care este răul? Este că ne lăsăm imaginația să plece și descoperim o mulțime de lucruri interesante.
(35:30) Dar am o întrebare. Ca cineva care nu este un teoretician al decorului, nu vreau să o întreb într-un mod nepoliticos. Dar s-ar putea să sune puțin nepoliticos, ceea ce — știi unde mă duc, nu? Cum mă afectează asta? Restul matematicii simte vibrațiile care au loc în teoria seturilor? Sau suntem oarecum izolați de ceea ce faceți?
Moore (35:49): Aceasta este o întrebare bună. Cred că majoritatea matematicienilor nu întâlnesc niciodată o afirmație care să nu fie nici demonstrabilă, nici refutabilă în cadrul sistemului obișnuit de axiome pentru matematică din ZFC. Și teoreticienii multimilor au descoperit într-o anumită măsură o explicație pentru asta. Există un model de teorie a mulțimilor care este mai mare decât modelul original al lui Gödel, dar mai mic decât universul tuturor mulțimilor numit model de bază solidă, care [Robert] Solovay descoperit pe vremea operei lui Cohen. Și descoperirea remarcabilă este că acest model - ceea ce este adevărat în el nu poate fi influențat de forțare. Și, prin urmare, în esență, dacă puteți exprima ceva despre ceea ce este adevărat în acel model sau fals în acel model, este ceva care este în mare măsură imun la fenomenul de independență.
(36:35) Problema este că acest model de teorie a mulțimilor nu este — nu satisface axioma alegerii. Deci axioma alegerii este: aceasta este o altă cutie de viermi aici. Dar unul dintre motivele pentru care axioma alegerii este diferită de celelalte axiome este că nu este constructivă. Toate celelalte axiome vă spun că o mulțime despre care aveți o descriere este, de fapt, o mulțime. Așa funcționează axiomele. Dar axioma alegerii vă spune că, având în vedere o colecție de seturi care nu sunt goale, puteți selecta ceva din fiecare dintre ele - deci alegere - dar nu vă spune cum veți face selecția. Aceasta a fost o axiomă care, pe de o parte, ne-a permis să construim tot felul de lucruri ciudate, paradoxale. Știi, cred, în stadiile de acum 100 de ani și ceva, ca seturile nemăsurabile, oricare ar fi acestea. Există această faimoasă descompunere a sferei, asta Paradoxul Banach-Tarski, acea -
Strogatz (37:29): Oh, asta este interesant.
Moore (37:32): — ai putea tăia sfera în un număr finit de bucăți și apoi să le reasamblați în două sfere care au aceleași dimensiuni ca sfera originală. Și acum, motivul pentru care acest lucru este absurd este că ar trebui să puteți atribui o masă fiecăruia dintre - știți, sferei originale și apoi să atribuiți o masă tuturor acestor bucăți în care le puteți tăia și acelea. ar trebui să se adună la masa inițială. Și atunci când le rearanjați, acel proces nu ar trebui să schimbe masa. Dar cumva, când le reasamblați, aveți de două ori masa cu care ați început. Acum, punctul în care argumentul - unde lucrurile merg prost este această tăiere a sferei pe care axioma alegerii ți-o permite să o faci este atât de rău încât nu poți atribui mase acestor piese pe care le ai.
(38:11) Acum, acel comportament paradoxal i-a determinat pe oameni să creadă că axioma alegerii este oarecum problematică. Poate că va duce la un fel de paradox în matematică însăși. Și, prin urmare, axioma alegerii nu ar trebui acceptată. Unul dintre lucrurile pe care Gödel le-a dovedit în același timp în care a demonstrat că nu puteți infirma ipoteza continuumului, este că este, de asemenea, sigur să vă asumați axioma alegerii. Adică, dacă axiomele ZFC fără axioma de alegere sunt consistente, atunci la fel este și setul de axiome ale ZFC cu axioma de alegere. Îți oferă o mulțime de lucruri ciudate, exotice, poate, dar din punct de vedere fundamental, nu poluează apa.
(38:51) Ceva mai târziu, a avut loc descoperirea acestui lucru numit lema lui Zorn, care s-a dovedit a fi echivalent cu axioma alegerii. Și este într-adevăr foarte fructuos pentru dezvoltarea multor ramuri diferite ale matematicii. Este ceva care - înveți despre asta dacă ești un student avansat sau dacă ești un student absolvent la matematică. Este cumva o parte din învățarea necesară pentru o diplomă de licență în matematică. Și din cauza acestei utilitate extreme, este ceva pe care îl acceptăm în zilele noastre. Cred că majoritatea matematicienilor nu se simt confortabil să lucreze fără axioma alegerii, doar pentru că în multe cazuri ar putea să o folosească fără să știe.
(39:31) Deci cred că acesta este, de asemenea, un exemplu al modului în care am putea stabili ipoteza continuumului. Este că descoperim o axiomă în viitor care este atât de utilă în dezvoltarea matematicii în continuare, încât considerăm că această axiomă este într-o anumită măsură adevărată. Așa s-a întâmplat cu lema lui Zorn. Și cu axioma alegerii, nu a fost ceva care a fost considerat inițial drept adevărat. De fapt, a fost privit inițial cu oarecare scepticism.
Strogatz (39:56): Dar lasă-mă să văd dacă pot, din moment ce se întâmplă... Am vorbit acum mult despre axioma alegerii: relația ei cu ipoteza continuumului. Există un mod concis de a spune ce este?
Moore (40:06): Știi, axioma alegerii și ipoteza continuumului au o relație curioasă pentru că... OK, ipoteza continuumului, din punctul de vedere al unui teoretician al mulțimilor, îți permite să construiești o mulțime de lucruri exotice . Vă permite să faceți o construcție infinit de lungă, chiar nenumărat de lungă, în care faceți totul într-un mod foarte controlat, într-un mod algoritmic. Și construind un obiect ciudat pe care ai păstrat mult control pe parcurs. În absența axiomei alegerii, ipoteza continuumului, așa cum am afirmat-o inițial, că nu există un set de reguli care să fie intermediar, este ceva care nu are aceeași mușcătură ca și cum axioma alegerii ar fi adevărată. Și motivul este că, de exemplu, în absența axiomei de alegere, puteți vorbi despre versiuni și mai puternice ale ipotezei continuumului. De exemplu, fiecare subset al acestei linii numerice, linia numerică reală, este fie numărabilă, fie există o copie a setului Cantor care locuiește în interiorul acestuia. De exemplu, există un fel de arbore de puncte, un arbore binar de puncte care se află în interiorul setului tău. Și acesta este un mod foarte concret de a spune că are aceeași dimensiune ca și numerele reale.
Strogatz (41:14): Așadar, pentru noi ceilalți în matematică în afara teoriei mulțimilor, ar trebui să pierdem somnul din cauza — ceea ce pare a fi — un fel de statut nedeterminat în momentul ipotezei continuumului? Ni se spune că este indecidabil în modelul standard al teoriei mulțimilor. Știi, contează? Afectează restul matematicii?
Moore (41:35): Răspunsul este în mare parte nu. Dar nu este pe deplin cunoscut. Ipoteza continuumului. Este adevărat în Modelul Solovay, de exemplu: Fiecare set de reali este fie numărabil, fie există un set închis de reali în interiorul său care este nenumărabil și nu are puncte izolate. Dar există afirmații care apar în matematică, întrebări care apar în mod natural, oarecum organic în alte domenii, unde se dovedește că sunt dependente fie de ipoteza continuumului, fie de altceva, care este independent de axiomele ZFC. Un exemplu în acest sens este ceva numit limită medială, care este un dispozitiv care este util în probabilitate și unele părți ale probabilității pentru a lua limitele lucrurilor și a menține în continuare că lucrurile sunt măsurabile. Limitele mediale sunt ceva pe care îl puteți construi folosind ipoteza continuumului, dar nu sunt ceva pe care îl puteți construi în ZFC.
Strogatz (42:27): Asta mă face fericit, trebuie să spun. Adică, vreau să cred că matematica este o mare web. Și asta, ca și cum ar fi o zicală veche, „Nimeni nu este o insulă”, de la oricine, nu știu. Dar oricum, nu vreau ca nicio parte a matematicii să fie o insulă. Așa că nu mi-ar plăcea să cred că teoria mulțimilor este cumva - adică, nimeni nu ar spune că este, dar chiar și partea care conține ipoteza continuumului, nu vreau ca aceasta să fie divorțată de marele continent. Și se pare că nu este.
Moore (42:52): Corect. Dacă luați un spațiu Hilbert și vă uitați la operatorii mărginiți și la operatorii compacti, acestea sunt algebre bine studiate ale obiectelor care sunt studiate în matematică. Puteți lua un coeficient din ele. Studierea a ceea ce se numește grupul automorfismului este ceva despre care un matematician s-ar putea întreba. Și într-adevăr, Brown, Douglas și Fillmore întrebat despre asta în anii 1970. Și se știe că dacă ipoteza continuumului este adevărată sau falsă este legat de faptul că există sau nu automorfisme foarte complicate ale acelei algebre. Acesta este ceva care este, știți, un obiect standard într-un curs de analiză funcțională pe care l-ați preda la nivel de absolvent. Și acestea sunt un fel de proprietăți foarte, foarte de bază ale acestui obiect.
(43:34) Dar ideea este că acesta este ceva care, la prima vedere, nu este o problemă în teoria mulțimilor. Diferiți teoreticieni ai mulțimii au abordări diferite asupra motivului pentru care subiectul este important. Dar pentru mine, acesta este motivul pentru care subiectul este - pentru ce este important. Este că joacă acest rol unic de a te putea anunța când pui o întrebare care ar putea să nu fie decidabilă, pe baza axiomelor. Pentru că nu vrei să studiezi această problemă pe care nu o poți decide fără succes de ani și ani și ani. Și dacă cineva vă poate spune că, „Ei bine, nu veți găsi niciodată o soluție la acea problemă, pentru că nu puteți nici dovedi, nici infirma asta”, nu? E un lucru bun de știut.
Strogatz (44:13): Bine. Ei bine, pentru mine, acesta este un mesaj foarte înălțător pe care îl transmiteți, Justin, că — John Donne! Acesta este numele pe care îl căutam, John Donne. Și să spunem asta în mod modern: Nicio persoană nu este o insulă. Și la fel cu nicio parte din matematică. Există - chiar și cele mai ezoterice lucruri aparent de la marginile exterioare ale teoriei mulțimilor sunt încă legate de părți foarte practic ale matematicii, probabil, în analiza funcțională care stă la baza teoriei cuantice. Deci, aceasta este o veste pentru mine și vreau doar să vă mulțumesc pentru că ne-ați luminat. Asta a fost distractiv. Mulțumiri.
Moore (44:46): Mulțumesc că m-ai primit.
crainic (44:46): Explorați mai multe mistere matematice în Cuante carte Conspirația numărului prim, publicat de The MIT Press, disponibil acum la Amazon.com, Barnesandnoble.com, sau librăria dvs. locală. De asemenea, asigurați-vă că le spuneți prietenilor despre acest podcast și dați-ne o recenzie pozitivă sau urmăriți unde ascultați. Ajută oamenii să găsească Bucuria de ce.
Strogatz (45: 12): Bucuria de ce este un podcast de la Revista Quanta, o publicație independentă din punct de vedere editorial susținută de Fundația Simons. Deciziile de finanțare ale Fundației Simons nu au nicio influență asupra selecției subiectelor, invitaților sau altor decizii editoriale în acest podcast sau în Revista Quanta. Bucuria de ce este produs de Susan Valot și Polly Stryker. Editorii noștri sunt John Rennie și Thomas Lin, cu sprijinul lui Matt Carlstrom, Annie Melcher și Zach Savitsky. Tema noastră muzicală a fost compusă de Richie Johnson, Julian Lin a venit cu numele podcastului. Imaginea episodului este de Peter Greenwood, iar logo-ul nostru este de Jaki King. Mulțumiri speciale lui Burt Odom-Reed de la Cornell Broadcast Studios. Sunt gazda ta Steve Strogatz. Dacă aveți întrebări sau comentarii pentru noi, vă rugăm să ne trimiteți un e-mail la Multumesc pentru ascultare.
- Distribuție de conținut bazat pe SEO și PR. Amplifică-te astăzi.
- Platoblockchain. Web3 Metaverse Intelligence. Cunoștințe amplificate. Accesați Aici.
- Mintând viitorul cu Adryenn Ashley. Accesați Aici.
- Sursa: https://www.quantamagazine.org/how-can-some-infinities-be-bigger-than-others-20230419/
- :are
- :este
- ][p
- $UP
- 1
- 10
- 100
- 11
- 28
- 39
- 7
- 8
- a
- Capabil
- Despre Noi
- despre
- Absolut
- AC
- Accept
- realizare
- realizările
- de fapt
- avansat
- afecta
- După
- Algoritmul
- algoritmică
- algoritmic
- TOATE
- permite
- de-a lungul
- Alfabet
- deja
- Cu toate ca
- uimitor
- sumă
- analiză
- Vechi
- și
- a anunțat
- O alta
- răspunde
- Orice
- aplicaţia
- Apple
- aplicatii
- SUNT
- argumenta
- argument
- în jurul
- sosesc
- Artă
- AS
- Avocat Colaborator
- At
- atenţie
- disponibil
- in medie
- înapoi
- Rău
- de bază
- bazat
- de bază
- Pe scurt
- BE
- frumos
- deoarece
- deveni
- devine
- fost
- înainte
- Început
- fiind
- Crede
- Berkeley
- Bertrand
- CEL MAI BUN
- Mai bine
- între
- Dincolo de
- Mare
- mai mare
- Cea mai mare
- Pic
- Blocuri
- carte
- Manuale
- ramuri
- scurt
- Aduce
- difuza
- construi
- Clădire
- ars
- by
- calcule
- apel
- denumit
- apeluri
- Cambridge
- Tabără
- CAN
- nu poti
- pasă
- atent
- , Carl
- cazuri
- ocazional
- Captură
- Secol
- sigur
- cu siguranță
- Schimbare
- caracter
- Charles
- alegere
- cerc
- clasă
- clar
- închis
- coleg
- colectare
- colecții
- cum
- confortabil
- venire
- comentarii
- Comun
- comunitate
- comparaţie
- Completă
- Terminat
- complicat
- compuse
- calculator
- concept
- Concepte
- Consens
- Lua în considerare
- consistent
- construi
- construcţie
- constructiv
- conține
- continent
- continuu
- continuum
- Control
- controlată
- controversat
- Conversație
- ar putea
- Contracara
- Curs
- a creat
- curios
- Tăiat
- tăiere
- Zi
- decide
- Deciziile
- adânc
- Mai adânc
- Grad
- Departament
- Dependent/ă
- descrie
- descriere
- destinație
- dezvolta
- dezvoltat
- în curs de dezvoltare
- dispozitiv
- diagrame
- FĂCUT
- diferit
- cifre
- Dimensiuni
- dezvăluire
- descoperi
- a descoperit
- descoperirea
- descoperire
- discuta
- discutarea
- discuţie
- distinct
- distinge
- Nu
- face
- domenii
- Dont
- Doomed
- Uși
- dubla
- jos
- conduce
- fiecare
- Devreme
- Pământ
- Cel mai simplu
- Margine
- Editorial
- oricare
- element
- element
- Fără sfârşit
- suficient de
- îmbogățit
- în întregime
- Echivalent
- În esență,
- Chiar
- în cele din urmă
- Fiecare
- toată lumea
- tot
- evoluat
- exact
- exemplu
- exemple
- Cu excepția
- excepție
- excitat
- expune
- există
- Exotic
- explicație
- explorare
- explora
- expres
- suplimentar
- extremă
- țesătură
- Față
- A eșuat
- echitabil
- destul de
- credinţă
- familie
- celebru
- Faimos
- FAST
- Favorite
- temeri
- Caracteristică
- membru
- puțini
- Domenii
- final
- Găsi
- First
- prima dată
- Peşte
- urma
- Pentru
- pentru totdeauna
- formal
- Oficial
- formulare
- Fundație
- Fundații
- fracțiune
- Gratuit
- prieten
- Prietenii lui
- din
- Complet
- distracţie
- funcţie
- funcțional
- funcții
- de finanțare
- mai mult
- viitor
- joc
- General
- în general
- genera
- generaţie
- generos
- Germania
- obține
- obtinerea
- Da
- dat
- oferă
- Oferirea
- Go
- scop
- Merge
- merge
- bine
- calitate
- absolvent
- acordate
- mare
- cea mai mare
- foarte mult
- Grecia
- codru verde
- grup
- ghicit
- oaspeți
- mână
- întâmpla
- sa întâmplat
- lucru
- fericit
- Avea
- având în
- he
- capete
- auzit
- auz
- inimă
- a ajutat
- util
- ajută
- aici
- superior
- retrospectivă
- istorie
- speranțe
- gazdă
- Cum
- HTTPS
- uman
- Flămând
- i
- idee
- ideal
- Iluzia
- imaginația
- importanță
- important
- in
- În altele
- include
- Inclusiv
- independenţă
- independent
- Infinit
- Infinit
- influență
- influențat
- inițial
- intrare
- instanță
- in schimb
- Institut
- integrală
- integritate
- intelectual
- interesat
- interesant
- interese
- introduce
- Ironic
- insulă
- izolat
- probleme de
- IT
- ESTE
- în sine
- Ioan
- Johnson
- aderarea
- Justin
- A pastra
- păstrare
- Copil
- copii
- Copil
- Rege
- Cunoaște
- Cunoaștere
- cunoscut
- limbă
- Limbă
- mare
- în mare măsură
- mai mare
- cea mai mare
- Nume
- Târziu
- latin
- conduce
- Ligă
- AFLAȚI
- învățat
- învăţare
- Led
- lema
- Lungime
- închiriere
- Nivel
- Viaţă
- ca
- LIMITĂ
- Limitele
- Linie
- linii
- legate de
- Listă
- Ascultare
- literatură
- mic
- trăi
- Locuiește
- local
- siglă
- Lung
- Uite
- arată ca
- cautati
- care pierde
- Lot
- dragoste
- iubit
- făcut
- revistă
- Mentine
- major
- face
- FACE
- om
- manipulant
- multe
- mulți oameni
- Masa
- mase
- matematica
- matematic
- matematică
- materie
- semnificativ
- mijloace
- măsura
- mecanism
- menționat
- mesaj
- metodă
- La mijlocul
- ar putea
- MIT
- model
- Modele
- Modern
- moment
- mai mult
- cele mai multe
- mişcare
- muta
- film
- Multiverse
- Muzică
- misterios
- nume
- nume
- Natural
- în mod necesar
- Nevoie
- negativ
- Nici
- Nou
- ştiri
- noțiune
- număr
- numere
- obiect
- obiecte
- evident
- of
- de multe ori
- Vechi
- on
- ONE
- deschide
- deschis
- deschide
- Operatorii
- obișnuit
- organic
- Organizat
- original
- iniţial
- Altele
- Altele
- al nostru
- exterior
- peste
- global
- propriu
- împerechere
- Paradox
- Paralel
- părinţi
- parte
- în special
- piese
- Paul
- de plată
- Penguins
- oameni
- oamenii lui
- poate
- persoană
- personal
- Peter
- fenomen
- filozofie
- fizic
- Fizică
- piese
- Loc
- Locuri
- Plato
- Informații despre date Platon
- PlatoData
- "vă rog"
- la care se adauga
- Podcast
- podcasting
- Punct
- Punct de vedere
- puncte
- pozitiv
- posibil
- potenţial
- putere
- puternic
- competenţelor
- pragmatic
- preferat
- presa
- destul de
- Prim
- primitiv
- Principiile
- probabil
- Problemă
- probleme
- proces
- produce
- Produs
- Profesor
- Program
- promisiune
- dovezi
- proprietăţi
- proprietate
- propus
- protejat
- dovedibil
- Dovedi
- s-au dovedit
- dovedește
- furniza
- Publicare
- publicat
- pune
- Quantamagazina
- Cuantic
- întrebare
- Întrebări
- raliu
- mai degraba
- rațional
- RAY
- aTINGE
- real
- lumea reală
- Realitate
- realizat
- tărâm
- motiv
- motive
- recomanda
- legate de
- relație
- relaţie
- relativ
- rude
- rămășițe
- remarcabil
- minte
- repeta
- necesar
- cercetare
- respect
- REST
- revizuiască
- revoluționar
- riguros
- ROBERT
- Rol
- Rulare
- rulouri
- Cameră
- norme
- sigur
- Said
- acelaşi
- satisfăcut
- spune
- Scară
- Școli
- Ştiinţă
- Al doilea
- secunde
- pare
- selecţie
- sens
- distinct
- set
- Seturi
- rezolva
- Stabilit
- câteva
- forme
- să
- Arăta
- indicat
- Emisiuni
- parte
- semna
- simplu
- întrucât
- singur
- SIX
- Mărimea
- dimensiuni
- Scepticism
- dormi
- mic
- mai mici
- So
- solid
- soluţie
- unele
- Cineva
- ceva
- oarecum
- undeva
- Spaţiu
- Scânteie
- special
- specific
- petrece
- Spotify
- Etapă
- miză
- standard
- Începe
- început
- Pornire
- stabilit
- Declarație
- Declarații
- Stare
- Steve
- Încă
- Poveste
- drept
- puternic
- puternic
- structura
- student
- studiat
- studiouri
- Studiu
- Studiu
- subiect
- succes
- astfel de
- suficient
- Suportat
- cu siguranţă
- surpriză
- uimit
- surprinzător
- Susan
- simbol
- sistem
- tabel
- Lua
- ia
- luare
- Vorbi
- vorbesc
- profesori
- Predarea
- tehnici de
- adolescent
- spune
- termeni
- test
- mulțumesc
- acea
- Viitorul
- Linia
- lumea
- lor
- Lor
- temă
- se
- Acolo.
- prin urmare
- Acestea
- lucru
- lucruri
- Gândire
- Al treilea
- gândit
- mii
- Prin
- de-a lungul
- timp
- la
- astăzi
- de asemenea
- Unelte
- subiecte
- INTRU TOTUL
- urmări
- tradiţional
- tradiţional
- dresat
- tratare
- turbat
- adevărat
- Adevăr
- ÎNTORCĂ
- transformat
- De două ori
- nedefinit
- în
- înţelege
- înţelegere
- înțelege
- uniune
- Sindicatele
- unic
- Universal
- Univers
- universitate
- us
- utilizare
- utilizat
- obișnuit
- utilitate
- valoare
- diverse
- Vizualizare
- puncte de vedere
- aștepta
- mers
- doresc
- Ceas
- Apă
- Cale..
- modalități de
- web
- WebP
- bun venit
- BINE
- Ce
- Ce este
- dacă
- care
- OMS
- oricine
- întreg
- pe larg
- voi
- dispus
- cu
- în
- fără
- Cuvânt
- cuvinte
- Apartamente
- de lucru
- fabrică
- lume
- viermi
- îngrijorat
- valoare
- ar
- scrie
- scris
- Greșit
- an
- ani
- Tu
- Ta
- te
- zephyrnet
- zero
- zoom