Curbele eliptice își prezintă secretele într-un nou sistem numeric | Revista Quanta

Multe progrese complicate în matematica de cercetare sunt stimulate de dorința de a înțelege unele dintre cele mai simple întrebări despre numere. Cum sunt distribuite numerele prime în numere întregi? Există cuburi perfecte (cum ar fi 8 = 2³ sau 27 = 3³) care se poate scrie ca suma a altor două cuburi? În general, matematicienii ar putea dori să rezolve o ecuație. Dar de multe ori este imposibil să faci acest lucru schimbând ecuația în sine. În schimb, matematicienii găsesc modalități de a conecta soluțiile la structuri extrem de abstracte a căror complexitate le codifică secretele.

În ultimele decenii, una dintre cele mai interesante linii de cercetare în matematică a urmat această formă. A implicat înțelegerea relației dintre anumite tipuri de ecuații polinomiale numite curbe eliptice și obiecte mai ezoterice numite forme modulare, care au devenit proeminente în matematică în 1994, când Andrew Wiles le-a folosit pentru a demonstra Ultima Teoremă a lui Fermat, printre cele mai celebre rezultate ale secolului al XX-lea. matematică.

În ianuarie trecut, Ana Caraiani al Imperial College London și al Universității din Bonn și James Newton de la Universitatea din Oxford a deschis o nouă filă de cercetare în acest domeniu când au dovedit că o relație pe care Wiles o stabilise între curbele eliptice și formele modulare este valabilă și pentru unele obiecte matematice numite câmpuri pătratice imaginare.

Wiles a demonstrat că anumite tipuri de curbe eliptice sunt modulare - adică există o formă modulară particulară care corespunde fiecărei curbe - atunci când cele două variabile și doi coeficienți implicați în definirea curbei sunt toate numere raționale, valori care pot fi scrise ca fracții. După munca sa, matematicienii s-au străduit să stabilească modularitatea într-o varietate mai largă de contexte. În 2001, patru matematicieni au demonstrat că toate curbele eliptice sunt modulare față de numerele raționale (în timp ce Wiles a demonstrat acest lucru doar pentru unele curbe). În 2013, trei matematicieni inclusiv Samir Siksek de la Universitatea din Warwick a demonstrat că curbele eliptice sunt, de asemenea, modulare peste câmpuri pătratice reale  (adică variabilele și coeficienții sunt preluați dintr-un sistem numeric numit câmp pătratic real).

Pe măsură ce progresele s-au înmulțit, un obiectiv special a rămas la îndemână: demonstrarea faptului că curbele eliptice sunt modulare față de câmpurile pătratice imaginare.

Câmpurile pătratice sunt o piatră de trecere matematică între numerele raționale și numerele reale, care includ fiecare număr zecimal posibil, chiar și cele cu modele infinite la dreapta punctului zecimal care nu se repetă niciodată. (Acesta include toate numerele iraționale, cum ar fi $latex sqrt{2}$ sau $latex pi $.)

Câmpurile cuadratice aleg un număr întreg — de exemplu, 5 — și includ toate numerele de forma $latex a + bsqrt{5}$ unde a și b sunt ambele numere raționale. Dacă numărul întreg în cauză este pozitiv, atunci câmpul pătratic rezultat este o submulțime a numerelor reale, deci este cunoscut ca un câmp pătratic real.

Dar curbele eliptice care sunt definite pe câmpuri pătratice imaginare - cele care sunt formate prin luarea rădăcinii pătrate a unui număr negativ?

Aceasta este problema pe care au abordat-o Caraiani și Newton.

Cu sute de ani în urmă, matematicienii au definit rădăcina pătrată a numerelor negative într-un mod simplu: au dat un nume, i, la rădăcina pătrată a lui −1. Atunci rădăcina pătrată a oricărui alt număr negativ este justă i ori rădăcina pătrată a numărului pozitiv corespunzător. Deci $latex sqrt{-5}=isqrt{5}$. Numerele imaginare joacă un rol crucial în matematică, deoarece pentru multe probleme, sunt mai ușor de lucrat cu ele decât numerele reale.

Dar demonstrarea că curbele eliptice sunt modulare peste câmpuri pătratice imaginare a rămas mult timp inaccesibil, deoarece tehnicile de demonstrare a modularității peste câmpuri pătratice reale nu funcționează.

Caraiani și Newton au obținut modularitatea - pentru toate curbele eliptice peste aproximativ jumătate din toate câmpurile pătratice imaginare - prin descoperirea modului de a adapta un proces de demonstrare a modularității inițiat de Wiles și alții la curbele eliptice peste câmpurile pătratice imaginare.

„Acolo a intervenit munca frumoasă a lui Caraiani și Newton. Au îmbunătățit a doua etapă a lui Wiles”, a spus Chandrashekhar Khare de la Universitatea din California, Los Angeles.

Lucrarea este o realizare tehnică în sine și deschide ușa pentru a face progrese la unele dintre cele mai importante întrebări din matematică în cadrul imaginar.

Matchmaker, Matchmaker

Matematicienilor le-a păsat soluțiile ecuațiilor polinomiale - combinații de variabile ridicate la puteri constante - cel puțin încă de la grecii antici. Ecuațiile vin în varietăți nesfârșite, obținute prin ajustarea cantității de variabile, a coeficienților acelor variabile și a puterilor la care sunt ridicate. $latex 3x^5+x^4−9x^3−4x^2+x−7=0$ este doar un exemplu.

Curbele eliptice sunt ecuații polinomiale care se află la nivelul optim de duritate pentru cercetarea matematică. Există un ordonat (și predat pe scară largă) formulă pentru găsirea de soluții la polinoame pătratice într-o variabilă, în care puterea cea mai mare este 2, dar nu există o astfel de formulă pentru soluții la polinoame în care puterea cea mai mare este 5 sau mai mare. Adăugarea mai multor variabile face, în general, lucrurile mai complicate. Dar curbele eliptice, care au două variabile și a căror putere cea mai mare este 3, ca $latexul (y^2=x^3+1)$, sunt suficient de provocatoare pentru a inspira invenția, fără a fi atât de dure încât să se simtă fără speranță.

Una dintre întrebările de bază despre o curbă eliptică este dacă există un număr finit sau infinit de perechi raționale care o rezolvă. Unele curbe eliptice au un număr finit de soluții raționale, altele au infinit de multe, iar unele nu au deloc.

„Au acest tip de comportament intermediar amuzant”, a spus Caraiani.

Dacă vi se înmânează o curbă eliptică aleatorie, nu este imediat evident în ce categorie se încadrează. Dar este posibil să-l decodați împerechendu-l cu un obiect potrivit numit formă modulară, ale cărui proprietăți dezvăluie răspunsul.

Catch Me a Modular Form

Formele modulare sunt funcții studiate în analiză, o formă avansată de calcul. Sunt foarte simetric și adesea pot fi traduse — deplasate la stânga sau la dreapta — fără a-și pierde aspectul. În acest fel, au caracteristici comune cu alte funcții extrem de simetrice, cum ar fi funcția sinus, deși sunt mai puțin ușor de scris sau de vizualizat.

Fiecare formă modulară vine cu coeficienți. Le puteți nota, producând o serie de numere. Aceste numere au proprietăți foarte frumoase și par departe de a fi aleatorii. Ei i-au mistificat pe matematicieni începând cu începutul secolului al XX-lea, când geniul matematicii Srinivasan Ramanujan a început să perceapă că modelele din coeficienții unei forme modulare sunt explicate prin faptul că fiecare formă modulară este atașată unui al doilea tip de obiect numit reprezentare Galois. . Lucrările ulterioare au confirmat legătura.

Curbele eliptice au și reprezentări Galois, iar după lucrarea lui Ramanujan, părea posibil ca reprezentările Galois să poată fi interpolate între curbele eliptice și forme modulare: Începeți cu una, identificați reprezentarea lui Galois, găsiți cealaltă.

„Credeți: curbele eliptice, obiectele din geometrie, au reprezentări Galois, iar formele modulare au reprezentări Galois – există o potrivire?” spuse Siksek.

La sfârșitul anilor 1950, Yutaka Taniyama și Goro Shimura au propus că există o potrivire perfectă 1-la-1 între anumite forme modulare și curbe eliptice. În următorul deceniu, Robert Langlands a construit pe această idee în construcția sa program amplu Langlands, care a devenit unul dintre cele mai de anvergură și mai importantă programe de cercetare în matematică.

Dacă corespondența 1-la-1 este adevărată, le-ar oferi matematicienilor un set puternic de instrumente pentru înțelegerea soluțiilor la curbele eliptice. De exemplu, există un fel de valoare numerică asociată cu fiecare formă modulară. Una dintre cele mai importante probleme deschise ale matematicii (demonstrarea că vine cu a premiu de milioane de dolari) — conjectura Birch și Swinnerton-Dyer — propune că, dacă acea valoare este zero, atunci curba eliptică asociată acelei forme modulare are infinite de soluții raționale, iar dacă nu este zero, curba eliptică are un număr finit de soluții raționale.

Dar înainte ca așa ceva să poată fi abordat, matematicienii trebuie să știe că corespondența este valabilă: dați-mi o curbă eliptică și vă pot oferi forma modulară potrivită. Demonstrând acest lucru, mulți matematicieni, de la Wiles la Caraiani și Newton, au făcut în ultimele decenii.

Privește prin cartea ta

Înainte de lucrările lui Wiles, matematicienii au reușit să demonstreze o direcție a corespondenței: în unele cazuri, puteau începe cu o formă modulară și puteau găsi curba eliptică potrivită. Dar mersul în cealaltă direcție – la care se referă matematicienii când vorbesc că curbele eliptice sunt modulare – a fost mai greu, iar Wiles a fost primul care a realizat acest lucru.

“Earlier people knew how to go from a modular form to an elliptic under certain circumstances, but this backward direction from elliptic to modular was the one that Wiles motivated,” Khare said.

Wiles a demonstrat modularitatea pentru unele tipuri de curbe eliptice cu coeficienți care sunt numere raționale. Acest lucru în sine a fost suficient pentru a demonstra Ultima Teoremă a lui Fermat prin intermediul unei contradicții. (Wiles a dovedit că, dacă Ultima Teoremă a lui Fermat ar fi falsă, ar implica existența unei curbe eliptice despre care munca anterioară a stabilit că nu poate exista. Prin urmare, Ultima Teoremă a lui Fermat trebuie să fie adevărată.)

Pe măsură ce matematicienii au extins munca lui Wiles asupra curbelor eliptice, ei au urmat aceeași metodă pe care a folosit-o pentru a-și demonstra rezultatul inițial.

After the successes in generalizing the result to rational numbers and rational quadratic fields, the obvious next extension was to imaginary quadratic fields.

„Sunt doar două lucruri care se pot întâmpla: câmpul este fie real, fie imaginar”, a spus Caraiani. „Cazul real a fost deja înțeles, așa că este firesc să mergem la cazul imaginar.”

Imaginary quadratic fields have the same basic arithmetic properties as the rational and the real numbers, but Wiles’ method could not be transplanted there nearly as easily. There are many reasons why, but in particular, modular forms over imaginary quadratic fields are much less symmetric than they are over the rationals and the reals. This relative lack of symmetry makes it harder to define their Galois representations, which are the key to establishing a match with an elliptic curve.

Ani de zile după demonstrația lui Wiles Fermat, „cazul câmpurilor pătratice imaginare a fost încă dincolo de ceea ce era posibil”, a spus Khare. Dar în ultimul deceniu, o serie de progrese au pregătit calea lucrării lui Caraiani și Newton.

Adu-mi un inel (sau mai bine zis, un câmp)

Primul pas în metoda lui Wiles a fost stabilirea unei potriviri aproximative între curbele eliptice și formele modulare. Cele două sunt conectate prin reprezentări Galois care sunt codificate într-o serie de numere care provin în mod unic de ambele părți ale împerecherii.

În cele din urmă, vrei să arăți că numerele care definesc reprezentările Galois se potrivesc exact, dar în acest prim pas este suficient să arăți că ele diferă printr-o marjă de eroare consistentă. De exemplu, puteți demonstra că o serie de numere se potrivește dacă puteți adăuga sau scădea multipli de 3 pentru a obține de la fiecare număr la numărul corespunzător. În această lumină, (4, 7, 2) se potrivește cu (1, 4, 5) sau cu (7, 10, 8), dar nu cu (2, 8, 3). De asemenea, puteți spune că se potrivesc dacă diferă prin multipli de 5, 11 sau de orice număr prim (din motive tehnice, dar importante, marja de eroare trebuie să fie întotdeauna primă). Un 2019 hârtie by Patrick Allen, Khare și Jack Thorn cu condiția acestui tip de sprijin asupra problemei.

„Au demonstrat teoreme care vă oferă de unde să începeți”, a spus Newton.

Cam în același timp în care lucrarea din 2019 era în curs de desfășurare, un grup de 10 matematicieni lucra pentru a face pași suplimentari în lucrul cu metoda lui Wiles pentru câmpurile pătratice imaginare. Colaborarea a început în timpul unei săptămâni petrecute la Institutul pentru Studii Avansate și a inclus Allen și Thorne – co-autori ai lucrării din 2019 – precum și Caraiani și Newton.

Primul scop al grupului a fost de a stabili că reprezentările Galois care provin din forme modulare posedă un anumit tip de consistență internă. Această proprietate - care este o condiție prealabilă pentru potrivirea lor cu reprezentările Galois care provin din curbele eliptice - se numește compatibilitate local-global.

Colaborarea de 10 persoane a reusit sa faca asta în unele cazuri speciale, dar nu în majoritatea. Pe măsură ce colaborarea a încetat, Caraiani și Newton au decis să continue să lucreze împreună pentru a vedea dacă pot face mai mult.

„Am fost la Londra în același timp și ne-a plăcut să vorbim unii cu alții despre lucruri care au apărut în acel proiect de 10 autori”, a spus Caraiani. „Știam care sunt punctele de blocare, care sunt obstacolele pentru a merge mai departe.”

Noapte după noapte în întuneric 

La scurt timp după ce au început să lucreze pe cont propriu, Caraiani și Newton au ajuns la o strategie pentru a depăși munca pe care o începuseră cu grupul mai mare. Nu părea în mod evident greșit, dar nici nu aveau idee dacă va funcționa cu adevărat.

„Am început cu această idee optimistă că lucrurile se vor rezolva, că am putea dovedi ceva mai puternic decât această lucrare de 10 autori și, în cele din urmă, am făcut-o”, a spus Newton.

Caraiani și Newton au lucrat la această idee timp de doi ani, iar până la sfârșitul anului 2021 optimismul lor a dat roade: au îmbunătățit rezultatul de compatibilitate local-global realizat de echipa de 10 autori. Ei descriu cum într-o secțiune lungă, tehnică, care cuprinde prima jumătate a lucrării lor finale, care are peste 100 de pagini.

„Știam că, odată ce vom avea această piesă tehnică, modularitatea va fi în joc”, a spus Caraiani.

Primul pas al metodei lui Wiles a fost stabilirea unui fel de modularitate aproximativă. Al doilea pas a fost rezultatul compatibilităţii local-global. Al treilea pas a fost să-și ia cunoștințele că cel puțin un număr mic de curbe sunt modulare și să-l folosească pentru a demonstra că multe curbe sunt modulare. Această mișcare a fost posibilă datorită a ceea ce se numește o teoremă de ridicare a modularității.

„Îți permite să răspândești modularitatea”, a spus Newton. „Dacă cunoașteți modularitatea a ceva, această ridicare [a] lucrurilor vă permite să salvați modularitatea multor alte lucruri. Tu cumva propagi această proprietate de modularitate într-un mod frumos.”

Un meci fără egal

Aplicarea teoremei de ridicare a permis lui Caraiani și Newton să demonstreze modularitatea a infinitate de curbe eliptice, dar au existat totuși unele cazuri de colț pe care nu le-au putut obține. Acestea erau câteva familii de curbe eliptice cu proprietăți unice care le făceau inaccesibile teoremei de ridicare.

Dar pentru că erau atât de puțini, Caraiani și Newton i-au putut ataca cu mâna — calculând reprezentările lor Galois una câte una pentru a încerca să stabilească o potrivire.

„Acolo ne-am cam distrat calculând multe și multe puncte pe unele curbe”, a spus Caraiani.

Efortul a avut succes, până la un punct. Caraiani și Newton au reușit în cele din urmă să demonstreze că toate curbele eliptice sunt modulare pe aproximativ jumătate din câmpurile pătratice imaginare, inclusiv acele câmpuri formate prin combinarea numerelor raționale cu rădăcina pătrată a lui -1, -2, -3 sau -5. Pentru alte câmpuri pătratice imaginare, au putut dovedi modularitatea pentru multe curbe eliptice, dar nu pentru toate. (Modularitatea holdout-urilor rămâne o întrebare deschisă.)

Rezultatul lor oferă o bază pentru investigarea unora dintre aceleași întrebări de bază despre curbele eliptice peste câmpuri pătratice imaginare pe care matematicienii le urmăresc asupra raționalelor și realelor. Aceasta include versiunea imaginară a ultimei teoreme a lui Fermat – deși trebuie puse baze suplimentare înainte ca aceasta să fie abordabilă – și versiunea imaginară a conjecturii Birch și Swinnerton-Dyer.

Dar dacă matematicienii vor progresa în oricare dintre locurile, Caraiani nu va face parte din el – cel puțin nu deocamdată. După ani de muncă la modularitatea curbelor eliptice, ea este gata să încerce altceva.

„Dacă obțin un rezultat într-o direcție, nu îmi place întotdeauna să continui să lucrez doar în acea direcție”, a spus ea. „Așa că acum mi-am schimbat interesele către ceva cu o aromă puțin mai geometrică.”

Corecţie: Iulie 6, 2023
Acest articol a spus inițial că nu există o formulă generală pentru soluțiile unei ecuații polinomiale al cărei exponent cel mai mare este 4 sau mai mare. Numărul corect este 5. Articolul a fost corectat.