De ce matematicienii re-demonstrează ceea ce știu deja

Prima dovadă pe care mulți oameni o învață vreodată, la începutul liceului, este dovada matematicianului grec antic Euclid că există infinit de numere prime. Este nevoie de doar câteva rânduri și nu utilizează concepte mai complicate decât numerele întregi și înmulțirea.

Dovada lui se bazează pe faptul că, dacă ar exista un număr finit de numere prime, înmulțirea lor pe toate împreună și adăugarea lui 1 ar implica existența unui alt număr prim. Această contradicție implică faptul că numerele prime trebuie să fie infinite.

Matematicienii au o distracție curios de populară: să o demonstreze iar și iar.

De ce să te deranjezi să faci asta? În primul rând, este distractiv. Mai important, „Cred că linia dintre matematica recreativă și matematica serioasă este foarte subțire”, a spus William Gasarch, profesor de informatică la Universitatea din Maryland și autor al o nouă dovadă postat online la începutul acestui an.

Dovada lui Gasarch este doar cea mai recentă dintr-o lungă succesiune de dovezi noi. În 2018, Romeo Meštrović de la Universitatea din Muntenegru a compilat aproape 200 de dovezi ale teoremei lui Euclid într-un studiu istoric cuprinzător. Într-adevăr, întregul domeniu al teoriei analitice a numerelor, care utilizează cantități care variază continuu pentru a studia numerele întregi, probabil provenit în 1737, când gigantul matematic Leonhard Euler a folosit faptul că seria infinită 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... diverge (însemnând că nu se însumează la un număr finit), pentru a demonstra din nou că există un număr infinit de numere prime.

Christian Elsholtz, matematician la Universitatea de Tehnologie din Graz din Austria și autor al încă o dovadă recentă, a spus că, în loc să demonstreze rezultate dificile din multe rezultate mai mici - ceea ce fac matematicienii când adună sistematic leme în teoreme - el a făcut opusul. „Folosesc Ultima Teoremă a lui Fermat, care este într-adevăr un rezultat netrivial. Și apoi închei un rezultat foarte simplu.” Lucrul înapoi în acest fel poate dezvălui conexiuni ascunse între diferite domenii ale matematicii, a spus el.

„Există o mică competiție acolo pentru ca oamenii să aibă dovada cea mai ridicol de dificilă”, a spus Andrew Granville, matematician la Universitatea din Montreal și autor din doi alte dovezi. „Trebuie să fie amuzant. Nu este rostul să faci ceva groaznic din punct de vedere tehnic. Singurul mod în care vrei să faci ceva dificil este că este amuzant.”

Granville a spus că există un punct serios în această calitate amicală. Cercetătorii nu sunt doar hrăniți cu întrebări pe care încearcă să le rezolve. „Procesul de creație în matematică nu este despre, doar stabiliți o sarcină unei mașini și mașina o rezolvă. Este vorba despre cineva care ia ceea ce a făcut în trecut și folosește asta pentru a crea o tehnică și a crea o modalitate de a dezvolta idei.”

Așa cum spune Gasarch, „Toate lucrările fac o trecere de la o nouă dovadă drăguță că numerele prime sunt infinite la matematică serioasă. Într-o zi te uiți doar la numere prime, iar a doua zi te uiți la densitățile pătratelor.”

Dovada lui Gasarch începe cu faptul că, dacă colorați numerele întregi cu un număr finit de culori, va exista întotdeauna o pereche de numere cu aceeași culoare a căror sumă este și aceeași culoare, care a fost dovedit în 1916 de Issai Schur. Gasarch a folosit teorema lui Schur pentru a arăta că, dacă ar exista un număr finit de numere prime, atunci ar exista un cub perfect (un număr întreg, ca 125, care este egal cu un alt număr întreg înmulțit cu el însuși de trei ori), adică suma a două alte cuburi perfecte. Dar în 1770, Euler a dovedit că nu există un astfel de cub - n = 3 cazul ultimei teoreme a lui Fermat, care presupune că nu există soluții întregi pentru aⁿ + bⁿ = cⁿ pentru n mai mare decât 2. Pe baza acestei contradicții, Gasarch a argumentat că trebuie să existe un număr infinit de numere prime.

Una dintre dovezile lui Granville din 2017 a folosit o teoremă diferită a lui Fermat. Granville s-a bazat în principal pe a teorema 1927 de Bartel Leendert van der Waerden, care a arătat că dacă colorați numerele întregi cu un număr finit de culori, există întotdeauna lanțuri lungi arbitrar de numere întregi uniform distanțate cu aceeași culoare. Ca și Gasarch, Granville a început cu presupunerea că numerele prime sunt finite. Apoi a folosit teorema lui van der Waerden pentru a găsi o succesiune de patru pătrate perfecte, egale, de culoare identică. Dar Fermat dovedise că nu poate exista o astfel de secvență. Contradicţie! Deoarece o astfel de secvență ar putea exista dacă ar exista un număr finit de numere prime, dar nu poate exista, trebuie să existe un număr infinit de numere prime. Dovada lui Granville a fost a doua demonstrație prim recentă care se bazează pe teorema lui van der Waerden - Levent Alpöge, acum postdoc la Universitatea Harvard, a folosit și rezultatul într-un Hârtie 2015, publicat pe când era încă la facultate.

Granville este un fan special al lucrării lui Elsholtz, care aplică, de asemenea, Ultima Teoremă a lui Fermat și presupunerea contrafactuală că există doar un număr limitat de numere prime. La fel ca Gasarch, Elsholtz a încorporat teorema lui Schur, deși într-un mod oarecum diferit. Elsholtz a dat și o a doua dovadă folosind a Teorema din 1953 de Klaus Roth, care spune că seturile de numere întregi de peste o anumită dimensiune trebuie să conțină grupuri de trei numere uniform distanțate.

La unele întrebări matematice mai profunde - și chiar practice - s-ar putea răspunde prin construirea acestei lucrări. De exemplu, criptarea cu cheie publică care se bazează pe dificultatea factorizării numerelor mari ar fi foarte ușor de spart dacă am trăi într-o lume cu numere prime finite. Elsholtz se întreabă dacă ar putea exista, prin urmare, o legătură între dovezile a numeroase numere prime și demonstrarea cât de greu este să spargi astfel de scheme de criptare. Există „o conexiune slabă cu teorema lui Euclid”, a spus Elsholtz. „Ar fi interesant să vedem conexiunile mai profunde.”

Granville a spus că cea mai bună matematică poate crește din combinații ciudate de diferite domenii și materii și apare adesea după ce matematicienii și-au petrecut ani de zile cu probleme de nivel inferior, dar amuzante. El este fascinat de faptul că subiecte aparent îndepărtate ar putea fi aplicate teoriei numerelor. Într-un sondaj recent, Granville a lăudat „eleganța redusă” a unui Dovada din 1955 de Hillel Furstenberg, care a folosit topologia punct-set. Ca și Alpöge, Furstenberg era încă la facultate când a fost publicată dovada lui. Ar trece la o carieră ilustră într-un varietate de discipline matematice.

Granville a întrebat retoric dacă noile dovezi ale vechiului rezultat al lui Euclid sunt „doar curiozitate sau ceva care are o importanță pe termen lung”. Răspunzând la propria întrebare, el a spus: „Nu vă pot spune”.