Matematica misterioasă a meselor de biliard | Revista Quanta

În filmul Disney din 1959 Donald în Țara Matematică, Donald Duck, inspirat din descrierile naratorului despre geometria biliardului, lovește energic bila alba, trimițându-l să ricoșeze în jurul mesei înainte să lovească în sfârșit bilele dorite. Donald întreabă: „Cum îți place asta la matematică?”

Deoarece mesele de biliard dreptunghiulare au patru pereți care se întâlnesc în unghi drept, traiectoriile de biliard precum cea a lui Donald sunt previzibile și bine înțelese - chiar dacă sunt dificil de realizat în practică. Cu toate acestea, matematicienii cercetători încă nu pot răspunde la întrebările de bază despre posibilele traiectorii ale bilelor de biliard pe mese sub forma altor poligoane (forme cu laturi plate). Chiar și triunghiurile, cel mai simplu dintre poligoane, încă mai păstrează mistere.

Este întotdeauna posibil să lovești o minge astfel încât să se întoarcă la punctul său de pornire călătorind în aceeași direcție, creând așa-numita orbită periodică? Nimeni nu stie. Pentru alte forme, mai complicate, nu se știe dacă este posibil să lovești mingea din orice punct de pe masă în orice alt punct de pe masă.

Deși aceste întrebări par să se potrivească perfect în limitele geometriei așa cum este predată în liceu, încercările de a le rezolva au cerut ca unii dintre cei mai de seamă matematicieni din lume să aducă idei din domenii disparate, inclusiv sisteme dinamice, topologie și geometrie diferențială. Ca și în cazul oricărei probleme mari de matematică, munca pe aceste probleme a creat matematică nouă și a reintrodus și a avansat cunoștințe în acele alte domenii. Cu toate acestea, în ciuda acestui efort și a înțelegerii pe care calculatoarele moderne le-au adus, aceste probleme aparent simple rezistă cu încăpățânare la rezolvare.

Iată ce au învățat matematicienii despre biliard de la lovitura încâlcită epic a lui Donald Duck.

Ei presupun de obicei că mingea lor de biliard este un punct infinit de mic, fără dimensiuni și că sare de pe pereți cu o simetrie perfectă, plecând în același unghi în care ajunge, așa cum se vede mai jos.

Fără frecare, mingea se deplasează la nesfârșit, dacă nu ajunge la un colț, care oprește mingea ca un buzunar. Motivul pentru care biliardul este atât de dificil de analizat matematic este că două lovituri aproape identice care aterizează de fiecare parte a colțului pot avea traiectorii extrem de divergente.

O metodă cheie de analiză a biliardului poligonal este să nu ne gândim la mingea ca să sară de marginea mesei, ci să ne imaginăm că de fiecare dată când mingea lovește un perete, aceasta continuă să călătorească într-o copie nouă a mesei, care este răsturnată peste ea. marginea, producând o imagine în oglindă. Acest proces (văzut mai jos), numit desfășurarea traseului de biliard, permite mingii să continue într-o traiectorie în linie dreaptă. Pliând mesele imaginate înapoi pe vecinii lor, puteți recupera traiectoria reală a mingii. Acest truc matematic face posibilă demonstrarea unor lucruri despre traiectorie care altfel ar fi dificil de văzut.

De exemplu, poate fi folosit pentru a arăta de ce tabelele dreptunghiulare simple au un număr infinit de traiectorii periodice prin fiecare punct. Un argument similar este valabil pentru orice dreptunghi, dar pentru concretitate, imaginați-vă un tabel care este de două ori mai lat decât este lung.

Să presupunem că doriți să găsiți o orbită periodică care traversează tabelul n ori în direcţia lungă şi m ori în direcția scurtă. Deoarece fiecare imagine în oglindă a dreptunghiului corespunde mingii care sări de pe un perete, pentru ca mingea să se întoarcă la punctul său de plecare călătorind în aceeași direcție, traiectoria ei trebuie să traverseze masa de un număr par de ori în ambele direcții. Asa de m și n trebuie să fie egal. Întindeți o rețea de dreptunghiuri identice, fiecare văzut ca o imagine în oglindă a vecinilor săi. Desenați un segment de linie de la un punct de pe tabelul original până la punctul identic de pe o copie n mese departe în direcția lungă și m mese departe în direcția scurtă. Reglați ușor punctul original dacă traseul trece printr-un colț. Iată un exemplu unde n = 2 și m = 6. Când este pliat înapoi, traseul produce o traiectorie periodică, așa cum se arată în dreptunghiul verde.

O inegalitate triunghiulară

Biliardul în triunghiuri, care nu are geometria dreaptă unghiulară a dreptunghiurilor, este mai complicat. După cum vă amintiți din geometria de liceu, există mai multe tipuri de triunghiuri: triunghiuri acute, unde toate cele trei unghiuri interne sunt mai mici de 90 de grade; triunghiuri dreptunghiulare, care au un unghi de 90 de grade; și triunghiuri obtuze, care au un unghi care este mai mare de 90 de grade.

Mesele de biliard în formă de triunghiuri acute și dreptunghiulare au traiectorii periodice. Dar nimeni nu știe dacă același lucru este valabil și pentru triunghiurile obtuse.

Pentru a găsi o traiectorie periodică într-un triunghi ascuțit, trageți o linie perpendiculară de la fiecare vârf spre partea opusă, așa cum se vede în stânga, mai jos. Uniți punctele în care apar unghiurile drepte pentru a forma un triunghi, așa cum se vede în dreapta.

Acest triunghi înscris este o traiectorie periodică de biliard numită orbita Fagnano, numită după Giovanni Fagnano, care în 1775 a arătat că acest triunghi are cel mai mic perimetru dintre toate triunghiurile înscrise.

La începutul anilor 1990, Fred Holt de la Universitatea din Washington și Grigore Galperin și colaboratorii săi de la Universitatea de Stat din Moscova independent a arătat că fiecare triunghi dreptunghic are orbite periodice. O modalitate simplă de a arăta acest lucru este să reflectați triunghiul despre un picior și apoi celălalt, așa cum se arată mai jos.

Începeți cu o traiectorie care este în unghi drept față de ipotenuză (latura lungă a triunghiului). Ipotenuza și a doua sa reflexie sunt paralele, astfel încât un segment de linie perpendiculară care le unește corespunde unei traiectorii care va sări înainte și înapoi pentru totdeauna: mingea se îndepărtează de ipotenuză în unghi drept, sare de ambele picioare, revine la ipotenuză la dreapta. unghi, apoi își reia traseul.

Dar triunghiurile obtuse rămân un mister. În lucrarea lor din 1992, Galperin și colaboratorii săi au venit cu o varietate de metode de reflectare a triunghiurilor obtuse într-un mod care vă permite să creați orbite periodice, dar metodele au funcționat doar pentru unele cazuri speciale. Apoi, în 2008, Richard Schwartz la Universitatea Brown a arătat că toate triunghiurile obtuse cu unghiuri de 100 de grade sau mai puțin conţin o traiectorie periodică. Abordarea sa a implicat împărțirea problemei în mai multe cazuri și verificarea fiecărui caz folosind matematica tradițională și asistența computerizată. În 2018, Jacob Garber, Boyan Marinov, Kenneth Moore și George Tokarsky de la Universitatea din Alberta extins acest prag la 112.3 grade. (Tokarsky și Marinov petrecuse mai bine de un deceniu urmărind acest obiectiv.)

O întorsătură topologică

O altă abordare a fost folosită pentru a arăta că, dacă toate unghiurile sunt raționale - adică pot fi exprimate ca fracții - triunghiurile obtuze cu unghiuri și mai mari trebuie să aibă traiectorii periodice. În loc să copieze doar un poligon pe un plan plat, această abordare mapează copiile poligoanelor pe suprafețe topologice, gogoși cu una sau mai multe găuri în ele.

Dacă reflectați un dreptunghi peste latura sa scurtă și apoi reflectați ambele dreptunghiuri peste latura lor cea mai lungă, făcând patru versiuni ale dreptunghiului original și apoi lipiți partea de sus și de jos împreună și stânga și dreapta împreună, veți fi făcut o gogoașă, sau torus, după cum se arată mai jos. Traiectorii de biliard de pe masă corespund traiectoriilor de pe tor și invers.

Într-un articol emblematic din 1986, Howard Masur a folosit această tehnică pentru a arăta că toate tabelele poligonale cu unghiuri raționale au orbite periodice. Abordarea sa a funcționat nu numai pentru triunghiuri obtuse, ci și pentru forme mult mai complicate: tabele neregulate cu 100 de laturi, să zicem, sau poligoane ale căror pereți zig și zag creând colțuri și crăpături, au orbite periodice, atâta timp cât unghiurile sunt raționale.

În mod oarecum remarcabil, existența unei orbite periodice într-un poligon implică existența a infinitate; deplasarea traiectoriei cu doar puțin va produce o familie de traiectorii periodice înrudite.

Problema Iluminării

Formele cu colțuri și colțuri dau naștere unei întrebări înrudite. În loc să întrebe despre traiectorii care revin la punctul lor de plecare, această problemă se întreabă dacă traiectorii pot vizita fiecare punct dintr-un anumit tabel. Aceasta se numește problema iluminării, deoarece ne putem gândi la ea imaginându-ne un fascicul laser care se reflectă pe pereții oglinzi care înconjoară masa de biliard. Întrebăm dacă, având în vedere două puncte pe o anumită masă, puteți oricând să străluciți un laser (idealizat ca o rază de lumină infinit subțire) dintr-un punct în altul. Altfel spus, dacă am așeza un bec, care să strălucească în toate direcțiile deodată, la un moment dat pe masă, ar lumina toată camera?

Au existat două linii principale de cercetare în această problemă: găsirea formelor care nu pot fi iluminate și demonstrarea faptului că clasele mari de forme pot fi. În timp ce găsirea formelor ciudate care nu pot fi iluminate se poate face printr-o aplicare inteligentă a matematicii simple, demonstrarea faptului că multe forme pot fi iluminate a fost posibilă doar prin utilizarea mașinilor matematice grele.

În 1958, Roger Penrose, un matematician care a câștigat 2020 Premiul Nobel pentru fizică, a găsit un tabel curbat în care orice punct dintr-o regiune nu ar putea ilumina niciun punct din altă regiune. Timp de decenii, nimeni nu a putut să vină cu un poligon care să aibă aceeași proprietate. Dar în 1995, Tokarsky a folosit un fapt simplu despre triunghiuri pentru a crea un poligon blocat cu 26 de laturi cu două puncte care sunt reciproc inaccesibile, prezentate mai jos. Adică, un fascicul laser împușcat dintr-un punct, indiferent de direcția lui, nu poate atinge celălalt punct.

Ideea cheie pe care Tokarsky a folosit-o la construirea mesei sale speciale a fost că, dacă un fascicul laser începe la unul dintre unghiurile acute dintr-un triunghi de 45°-45°-90°, nu se poate întoarce niciodată în acel colț.

Masa lui zimțată este formată din 29 de astfel de triunghiuri, aranjate astfel încât să folosească în mod inteligent acest fapt. În 2019 Amit Wolecki, pe atunci student absolvent la Universitatea din Tel Aviv, i-a aplicat aceeași tehnică produce o formă cu 22 de laturi (prezentat mai jos), despre care a dovedit că este cel mai mic număr posibil de laturi pentru o formă care avea două puncte interioare care nu se luminează reciproc.

Demonstrarea rezultatelor în cealaltă direcție a fost mult mai dificilă. În 2014, Maryam Mirzakhani, matematician la Universitatea Stanford, a devenit prima femeie care câștigă medalia Fields, cel mai prestigios premiu al matematicii, pentru munca ei privind spațiile de module ale suprafețelor Riemann — un fel de generalizare a gogoșilor pe care Masur o folosea pentru a arăta că toate tabelele poligonale cu unghiuri raționale au orbite periodice. În 2016, Samuel Lelièvre de la Universitatea Paris-Saclay, Thierry Monteil a Centrului Naţional Francez pentru Cercetare Ştiinţifică şi Barak Weiss de la Universitatea din Tel Aviv a aplicat o serie de rezultate ale lui Mirzakhani a arăta că orice punct dintr-un poligon rațional luminează toate punctele, cu excepția unui număr finit. Pot exista pete întunecate izolate (ca în exemplele lui Tokarsky și Wolecki), dar nu există regiuni întunecate, așa cum există în exemplul Penrose, care are pereți curbați mai degrabă decât drepti. În Articolul 2019 al lui Wolecki, el a consolidat acest rezultat demonstrând că există doar un număr limitat de perechi de puncte neluminabile.

Din păcate, Mirzakhani a murit în 2017 la 40 de ani, după o luptă cu cancerul. Munca ei părea foarte îndepărtată de loviturile truc în sălile de biliard. Și totuși, analiza traiectoriilor de biliard arată cum chiar și cea mai abstractă matematică se poate conecta la lumea în care trăim.