Un turn de presupuneri care se sprijină pe un ac | Revista Quanta

În matematică, o problemă simplă nu este adesea ceea ce pare. La începutul acestei veri, Cuante a raportat o astfel de problemă: Care este cea mai mică zonă pe care o puteți mătura în timp ce rotiți un ac infinit de subțire în toate direcțiile posibile? Rotiți-l în jurul centrului său ca un cadran și obțineți un cerc. Dar rotiți-l mai inteligent și puteți acoperi o fracțiune de spațiu arbitrar mică. Dacă nu aveți nevoie ca acul să se miște într-o singură mișcare continuă și, în schimb, așezați pur și simplu un ac în fiecare direcție, puteți construi un aranjament de ace care nu acoperă deloc zonă.

Matematicienii numesc aceste aranjamente seturi Kakeya. Deși știu că astfel de seturi pot fi mici în ceea ce privește suprafața (sau volumul, dacă vă aranjați acele în trei sau mai multe dimensiuni), ei cred că seturile trebuie să fie întotdeauna mari dacă dimensiunea lor este măsurată printr-o metrică numită Hausdorff. dimensiune.

Matematicienii încă nu au demonstrat această afirmație, cunoscută sub numele de conjectura Kakeya. Dar, deși aparent este o întrebare simplă despre ace, „geometria acestor seturi Kakeya stă la baza o mulțime de întrebări în ecuații cu diferențe parțiale, analiză armonică și alte domenii”, a spus Jonathan Hickman de la Universitatea din Edinburgh.

Conjectura Kakeya se află la baza unei ierarhii a trei probleme centrale în analiza armonică - o ramură a matematicii care studiază modul în care funcțiile pot fi reprezentate ca sume de funcții periodice, cum ar fi undele sinusoidale care oscilează în mod regulat.

Următorul pas în acea ierarhie este conjectura „restricției”. Dacă este adevărat, la fel este și conjectura Kakeya. (Aceasta înseamnă, de asemenea, că dacă conjectura Kakeya se dovedește a fi falsă, conjectura de restricție nu poate fi adevărată.) Conjectura de restricție, la rândul său, este implicată de așa-numita conjectura Bochner-Riesz. Și în partea de sus se află conjectura de netezire locală.

Primele două presupuneri tratează comportamentul transformării Fourier, o tehnică de analiză armonică pentru, de fapt, calcularea modului de exprimare a aproape orice funcție ca sumă de unde sinusoidale. Este unul dintre cele mai puternice instrumente matematice disponibile pentru fizicieni și ingineri. Transformarea Fourier a jucat un rol fundamental în rezolvarea ecuațiilor diferențiale, exprimând idei mecanice cuantice precum principiul incertitudinii Heisenberg și analizând și procesând semnale - făcând posibile lucruri precum telefoanele mobile moderne.

Deoarece fiecare afirmație din ierarhie o implică pe cea de sub ea, dacă conjectura Kakeya este falsă, nici una dintre celelalte presupuneri nu este adevărată. Întregul turn se va prăbuși. „Puteți crea un contraexemplu super monstru care ar rupe o mulțime de presupuneri”, a spus Hickman.

Pe de altă parte, demonstrarea adevărată a conjecturii Kakeya nu ar implica în mod automat adevărul celorlalte presupuneri - dar le-ar oferi matematicienilor perspective importante despre cum să procedeze.

Așadar, „aproape jumătate din comunitatea de analiză armonică despre care știu lucrează la aceasta și la problemele conexe sau a lucrat la ele la un moment dat”, a spus Shaoming Guo de la Universitatea din Wisconsin, Madison.

Mai recent, matematicienii au descoperit, spre surprinderea lor, că tehnicile pe care le-au dezvoltat pentru a aborda aceste probleme pot fi folosite și pentru a dovedi rezultate majore în domeniul aparent fără legătură al teoriei numerelor. „Este un fenomen mult mai general decât credeau oamenii”, a spus Guo.

Tort de strat

Povestea începe cu transformata Fourier. „Vrei să descompuneți [funcțiile] în bucăți mici, să analizați interacțiunile lor și să le adăugați înapoi împreună”, a spus Yumeng Ou de la Universitatea din Pennsylvania. Pentru funcțiile unidimensionale - curbe pe care le puteți trasa pe o bucată de hârtie - matematicienii au o bună înțelegere a modului de a face acest lucru, chiar și atunci când trebuie să inverseze transformarea Fourier folosind doar câteva dintre bucăți.

Dar în două sau mai multe dimensiuni, lucrurile pot deveni dezordonate.

În 1971, Charlie Fefferman, un matematician de la Universitatea Princeton, a descoperit cum să folosească seturile Kakeya pentru a demonstra că inversarea transformării Fourier poate duce la rezultate ciudate și surprinzătoare în mai multe dimensiuni.

Matematicienii au găsit o soluție sub forma conjecturii Bochner-Riesz, care afirmă în esență că există modalități mai sofisticate de a recupera funcția inițială care nu se defectează ca exemplul lui Fefferman. Dar această remediere depindea de adevărul conjecturii Kakeya.

Dacă este adevărat, „truncarea frecvențelor va duce doar la mici erori”, a spus Betsy Stovall de la Universitatea din Wisconsin, Madison. „Înseamnă că micile erori nu explodează.”

Așa a început ierarhia. Mai târziu, matematicienii au descoperit o altă legătură importantă: dacă este adevărată, conjectura Bochner-Riesz implica și o afirmație numită conjectura de restricție. Această presupunere afirmă că, dacă începeți cu o versiune limitată a transformării Fourier - „restricționând” valorile pe care le priviți doar la cele care trăiesc pe anumite suprafețe - aceasta vă poate oferi în continuare informații importante despre funcția originală. Și s-a dovedit că, dacă conjectura de restricție era adevărată, la fel și conjectura Kakeya. (Acest lucru a plasat conjectura de restricție între Kakeya și Bochner-Riesz în turn.)

Problema de încoronare în ierarhie, numită conjectura de netezire locală, nu se ocupă direct de transformarea Fourier, ci mai degrabă stabilește limite pe dimensiunea soluțiilor ecuațiilor care descriu comportamentul undelor.

Vă puteți gândi la asta și în ceea ce privește geometria liniilor dintr-un set Kakeya. Puteți împărți o soluție generală a ecuației undelor într-o grămadă de bucăți care se mișcă în direcții diferite și interacționează între ele în moduri diferite de-a lungul timpului. Fiecare dintre acele piese seamănă matematic cu un ac dintr-un set Kakeya. Conjectura Kakeya afirmă că o astfel de configurație nu poate avea prea multă suprapunere. În acest context fizic, suprapunerile ar corespunde persistenței unor comportamente neregulate și neașteptate în soluție. De exemplu, o undă sonoră s-ar putea amplifica în multe regiuni la o mulțime de momente diferite.

Conjectura de netezire locală afirmă că astfel de nereguli ar trebui să fie în medie. „Este ca și cum ai lua media pieței financiare”, a spus Ciprian Demeter de la Universitatea din Indiana Bloomington. „Ar putea fi prăbușiri ici și colo, dar dacă vă investiți banii și vă pensionați în 40 de ani, există șanse mari să obțineți niște investiții bune.”

Dar, ca și în cazul tuturor conjecturilor din ierarhie, asta depinde de adevărul conjecturii Kakeya. „Ideea este că, dacă excludeți o mulțime de intersecții în seturile Kakeya, înseamnă că puteți exclude aceste situații în care părți ale soluției dumneavoastră conspiră împreună pentru a crea un fel de explozie”, a spus Stovall.

Această presupunere este cea mai dificilă din grup: în timp ce cazurile bidimensionale ale problemelor Kakeya, restricție și Bochner-Riesz au fost rezolvate cu zeci de ani în urmă, conjectura de netezire locală bidimensională a fost dovedită cu doar câțiva ani în urmă. (În dimensiuni mai mari, toate aceste probleme rămân deschise.)

Dar, în ciuda progresului lent în dovedirea conjecturei de netezire locală, munca la aceasta a dus la progrese extraordinare în altă parte. În 1999, în timp ce încerca să abordeze conjectura, matematicianul Thomas Wolff a introdus o metodă cunoscută sub numele de decuplare. De atunci, acea tehnică și-a luat viață proprie: a fost folosită pentru a face progrese majore nu doar în analiza armonică, ci și în teoria numerelor, geometrie și alte domenii. „Folosind rezultatele decuplării, acum aveți recorduri mondiale în probleme foarte celebre și importante”, a spus Christopher Sogge de la Universitatea Johns Hopkins, care a formulat pentru prima dată conjectura de netezire locală în anii 1990. De exemplu, decuplarea a fost folosită pentru a ajuta la numărarea în câte moduri poate fi reprezentat un întreg ca sumă de pătrate, cuburi sau altă putere.

După cum a spus Demeter, aceste rezultate sunt posibile pentru că „putem privi cifrele ca valuri”. Că toate aceste probleme se leagă de seturile de ace Kakeya „este fascinant”, a adăugat el. „Nu crezi că atât de multă frumusețe, dificultate și importanță pot fi ascunse în ceva ce poate fi formulat folosind segmente de linie.”