O scurtă istorie a gresierii matematice complicate | Revista Quanta

În fiecare zi vedem exemple de motive care se repetă. Această simetrie și regularitate pot părea banale și aproape invizibile, ca în cazul zidăriei de pe pereții clădirii sau al modelului hexagonal dintr-un fagure. Sau dacă avem norocul să întâlnim ceva precum lucrarea elegantă a plăcilor din Alhambra din Spania sau desenele creative ale lui MC Escher, modelele ne pot inspira și uimi.

Timp de secole, matematicienii s-au jucat cu aceste forme care se repetă, smulgând din ele perspective fascinante și noi posibilități. Frumusețea matematicii rivalizează cu frumusețea desenelor în sine.

Cele mai simple plăci sunt realizate din poligoane identice cu laturile de lungime egală și unghiuri de măsură egală unite muchie completă cu muchia completă. Dar, deși există o infinitate de aceste poligoane „regulate” – câte unul pentru fiecare număr de laturi – există doar trei plăci regulate, formate din forme cu trei, patru sau șase laturi – adică triunghiuri, pătrate și hexagoane.

Celelalte forme pur și simplu nu sunt construite pentru asta. Un pentagon obișnuit (cu cinci laturi) are un unghi interior de 108 grade. Acest lucru nu se împarte în mod egal în 360 de grade, așa că orice încercare de a asambla pentagoane obișnuite într-o placă este obligată să producă goluri care nu pot fi umplute; spunem că pentagonul obișnuit nu poate plăci planul. Iar poligoane obișnuite cu mai mult de șase laturi au unghiuri interioare prea mari pentru ca trei să se întâlnească într-un singur punct și, prin urmare, nici nu pot.

O altă abordare a placajului cu poligoane regulate vine de la Johannes Kepler, astăzi cel mai bine cunoscut pentru descoperirile sale despre mișcarea planetară. În 1619, el a arătat că, chiar dacă utilizați mai mult de un poligon obișnuit, puteți crea doar opt modele noi de plăci în care configurația din jurul fiecărui vârf este identică. (Dacă ni se permite să ne abatem de la această restricție, există mai multe posibilități.)

Când permitem poligoane neregulate, lucrurile devin mai interesante. În mod surprinzător, fiecare triunghi poate plăci planul și și mai surprinzător, la fel și fiecare patrulater.

Pe de altă parte, este imposibil să placați planul cu vreun poligon convex de mai mult de șase laturi; suma unghiurilor interioare este prea mare. Deci, rămân doar pentagoane și hexagoane ca posibilități rămase.

În teza sa de doctorat din 1918, Karl Reinhardt a demonstrat că este posibil să placați planul cu infinite de hexagoane convexe - cele fără indentări - pe care le-a grupat în trei familii.

Pentagoanele convexe care plasează avionul au fost mai dificil de clasificat. Reinhardt a descoperit cinci familii de astfel de pentagoane; 50 de ani mai târziu, Richard Kershner a găsit încă trei. Apoi, în 1975, Martin Gardner a scris despre problema pentru Scientific American, aducând-o în atenția matematicienilor profesioniști și amatori deopotrivă. Un astfel de amator, un programator de computer pe nume Richard James III, i-a trimis lui Gardner un exemplu de a noua familie, întrebându-l: „Sunteți de acord că Kershner a ratat-o ​​pe aceasta?” El a avut.

Marjorie Rice, o casnică, a citit și ea coloana lui Gardner și a început să devină nedumerit la problema de la masa ei din bucătărie. Ea s-a chinuit timp de peste doi ani și a descoperit încă patru familii de pentagoane placate.

Cercetătorii au găsit o a 14-a familie de pentagoane de plăci în 1985, iar trei decenii mai târziu, o altă echipă a găsit o a 15-a familie folosind o căutare pe computer. Nimeni nu știa dacă această descoperire a completat lista sau dacă mai erau mai multe familii care se ascund. La această întrebare i s-a răspuns în 2017, când Michaël Rao s-au dovedit că au fost găsite toate pentagoanele de plăci convexe – și odată cu ei, toate poligoanele de plăci convexe.

Toate aceste plăci se repetă. Adică au o simetrie periodică, ceea ce înseamnă, practic, că dacă ar fi să urmărim placarea pe o bucată de hârtie și să glisăm acea hârtie în anumite direcții, s-ar alinia din nou exact cu placarea.

Sunt posibile și alte tipuri de simetrii. De exemplu, o simetrie în oglindă implică faptul că modelele noastre se vor alinia dacă întoarcem hârtia de calc cu susul în jos în jurul unei linii fixe. Simetria de rotație înseamnă că se vor alinia dacă ne rotim hârtia. Și putem combina acțiuni pentru a obține o simetrie de reflexie de alunecare, care este ca și cum ar fi alunecat hârtia și apoi o răsturnăm.

În 1891, cristalograful rus Evgraf Fedorov a demonstrat că există doar 17 moduri prin care aceste simetrii pot fi combinate. Deoarece această restricție se aplică tuturor decorațiunilor periodice ale avionului, acestea sunt denumite pe scară largă cele 17 „grupuri de tapet”.

Odată ce cineva este familiarizat cu această clasificare a modelelor de simetrie, este aproape imposibil să vedeți un design periodic, oricât de complicat, și să nu îl priviți ca un puzzle de decodat: unde și cum, exact, se repetă? Unde sunt acele simetrii?

Desigur, nu orice design de plăci este periodic. Este posibil, și adesea ușor, să plasați plăci în plan, astfel încât designul rezultat să nu se repete niciodată. În exemplul nostru cu hexagoane, pătrate și triunghiuri, puteți face acest lucru prin simpla rotire a unui singur hexagon și a poligoanelor care îl înconjoară cu 30 de grade. Plasarea rezultată nu mai are simetrii de translație.

În 1961, logicianul Hao Wang a presupus că, dacă un set de forme plănuiește planul, atunci formele trebuie să poată plăti periodic planul. Doar câțiva ani mai târziu, studentul său absolvent, Robert Berger, a dovedit că se înșeală, descoperind un set masiv de peste 20,000 de plăci care plasează avionul, dar numai neperiodic. Astfel de seturi de plăci sunt numite aperiodice.

Deși Berger și alții au reușit să reducă semnificativ dimensiunea acestor seturi aperiodice, la mijlocul anilor 1970 Roger Penrose a captat atenția lumii prin descoperirea unor seturi foarte mici de propriile plăci aperiodice. Cele mai mici seturi necesită doar două plăci.

Aceste forme și modele au captivat matematicienii, oamenii de știință și publicul larg. Dar au ridicat o întrebare evidentă următoare: există o singură piesă aperiodică? Căutarea supremă a teoriei plăcilor a fost acum găsirea unei astfel de plăci „einstein” – numită nu după fizician, ci pentru expresia germană „o piatră”.

În 2010, Joshua Socolar și Joan Taylor au fost foarte aproape de a descoperi un einstein. Problema cu abordarea lor a fost aceea țigla lor a trebuit să fie deconectată; ar fi ca și cum așezați planul cu forme precum statul Hawai'i, o singură entitate constând din regiuni separate, mai degrabă decât cu forme conectate precum California. Din ce în ce mai mult, matematicienii bănuiau că dacă un einstein ar exista, ar trebui să fie ceva foarte complicat din punct de vedere geometric.

În martie 2023, un amator a șocat din nou lumea. Un tehnician de tipărire pensionat și pasionat de matematică, pe nume David Smith, a descoperit nu doar un monotilă aperiodic, ci o familie infinită dintre acești einstein evazivi. A făcut o buclă în Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss și Joseph Samuel Myers – experți în informatică, matematică și teoria plăcilor – și împreună au prezentat un einstein simplu din punct de vedere geometric numit țiglă de pălărie (pe care internetul a crezut că arăta ca un tricou ).

Reacția a fost rapidă și pozitivă. Descoperitorii au vorbit la conferințe și au susținut discuții online. Artiștii matematicieni au profitat de șansa de a găsi modalități creative de a produce modele asemănătoare Escher pe baza acestor noi plăci interesante din punct de vedere geometric. Tigla pălăriei a apărut chiar și în monologul unei emisiuni de televiziune de noapte.

Totuși, mai era loc de îmbunătățire. Pentru a placa avionul cu pălărie, trebuie să răsturnați aproximativ o șapte din plăci cu susul în jos. Un proprietar de casă care dorește să-și placă baia cu faianta de pălărie ar trebui să cumpere două tipuri de plăci: o gresie standard și imaginea în oglindă. Era chiar necesar acest lucru?

Chiar înainte ca emoția plăcii de pălărie să se stingă, echipa a făcut un alt anunț. Smith găsise, în acea familie infinită de monotile aperiodice, una pe care el o numea „spectru” care ar putea acoperi planul fără a necesita copii reflectate. Apăruse în sfârșit un adevărat einstein.

Ne aflăm acum în mijlocul unei renașteri în explorarea matematică a plăcilor și teselațiilor. S-a bazat pe contribuții importante ale amatorilor, a inspirat creativitatea artiștilor matematicieni și a valorificat puterea computerelor pentru a împinge granițele cunoștințelor. Și din aceasta, am obținut noi perspective asupra naturii simetriei, geometriei și designului.

Corecţie: Octombrie 30, 2023
Versiunea originală a acestui articol a afirmat că este imposibil să plăcești planul cu orice poligon de mai mult de șase laturi. Acest lucru este adevărat numai dacă poligonul este convex.

Cuante efectuează o serie de sondaje pentru a servi mai bine publicul nostru. Ia-ne sondaj pentru cititorii de matematică și vei fi înscris pentru a câștiga gratuit Cuante Merch.