Introducere
La fel ca mulți oameni care vor deveni matematicieni, Wei Ho a crescut concurând la concursuri de matematică. În clasa a opta, ea a câștigat competiția de stat Mathcounts din Wisconsin, iar echipa ei a ocupat locul trei la naționale.
Spre deosebire de mulți viitori matematicieni, ea nu era sigură că și-ar fi dorit vreodată să devină unul.
„Am vrut să fac totul, tot timpul”, a spus Ho. „Am luat baletul foarte în serios până la începutul liceului. Am editat revista literară. Am făcut dezbateri și criminalistică. Am jucat tenis și fotbal și pian și vioară.” În schimb, mulți matematicieni de succes păreau a fi obsedați de matematică, excluzând orice altceva. Cum ar putea ea, o persoană cu numeroase pasiuni, să concureze cu acel nivel de concentrare?
În cele din urmă, Ho a fost atras de rigoarea matematicii. Îi place în continuare baletul, să citească romane și să facă puzzle-uri de cuvinte încrucișate, chiar dacă ajută la reinventarea mașinării matematice care stau la baza obiectelor matematice fundamentale, cum ar fi ecuațiile polinomiale, care au întrebări deschise de lungă durată și perplexe asociate cu ele.
Ho studiază obiectele geometrice familiare, dar ea reformulează întrebările pentru a le situa în domeniul numerelor raționale - numere care pot fi scrise ca fracții. „Atunci teoria numerelor începe să se amestece în toate acestea”, a spus ea.
Ea este interesată în special de curbele eliptice, care sunt definite de un anumit tip de ecuație polinomială care are aplicații în diferite ramuri ale matematicii. Curbele eliptice apar în analiză - în linii mari, studiul lucrurilor continue, cum ar fi numerele reale - și în algebră, care se referă la găsirea și definirea structurilor matematice precise. (Deși concentrarea lor este diferită, analiza și algebra sunt împărțite mai mult de sensibilitate decât de o limită strictă, deoarece există o mulțime de suprapunere între ele.)
Introducere
Într-un preprint care sparge barierele lansat în 2018, Ho și colaboratorul ei Levent Alpöge de la Universitatea Harvard a descoperit o nouă limită superioară pentru numărul de soluții întregi la polinoame care definesc curbe eliptice. Tehnica lor se bazează pe munca veche de zeci de ani a lui Louis Mordell, un matematician american care a emigrat în Marea Britanie în 1906. În lucrarea lor, Ho și Alpöge au reușit să culeagă noi informații despre distribuția acestor soluții întregi care scăpaseră altor echipe care studiau similare. Probleme.
Ho își petrece anul (în concediu de la postul ei de facultate la Universitatea din Michigan) ca profesor invitat la Institutul pentru Studii Avansate, unde a fost numită recent primul director al programului Femei și Matematică al IAS. Ea este, de asemenea, un bursier din 2023 al Societății Americane de Matematică și un cercetător la Universitatea Princeton.
Ea speră că conducerea programului Femeile și Matematică va „cel puțin să ajute comunitatea mai mult, să ajute mai mulți oameni, în loc să fiu doar eu în biroul meu să fac cercetări la matematică singură sau cu colaboratori”, a spus ea. „Pot demonstra teoreme și poate într-o zi voi demonstra o teoremă care în 100 de ani va conta. Poate ca da, poate ca nu. Dar simțeam că nu am suficient impact asupra lumii sau asupra oamenilor din jurul meu.”
Cuante a vorbit cu Ho într-o serie de videoconferințe. Interviurile au fost condensate și editate pentru claritate.
Cum ai descrie modul în care faci matematică?
Uneori, matematicienii ne împart în oameni algebrici și analitici. Matematica pe care o fac atinge ambele părți, dar în esență, sunt un algebrist, deși sunt geometric în felul în care gândesc. De multe ori tind să văd algebra și geometria ca fiind în esență aceleași.
Asta nu este tocmai exact, dar practic de la opera lui Descartes și mai ales în secolul trecut, cele două subiecte au devenit foarte apropiate. Există un dicționar destul de precis care, în unele situații, poate ajuta la traducerea unei imagini geometrice în consecințe algebrice.
În propriul meu caz, imaginea geometrică ajută adesea la formularea de afirmații și conjecturi și de a da intuiție, dar apoi le traducem în algebră când scriem. Este mai ușor să detectați greșelile, deoarece algebra este de obicei mai riguroasă. De asemenea, poate fi mai ușor să utilizați algebra atunci când geometria devine prea greu de vizualizat.
Pe ce idei te-ai concentrat în munca ta recentă?
O parte din munca mea are de-a face cu curbele eliptice, care sunt obiecte foarte naturale în teoria numerelor și geometria aritmetică.
Ar trebui să fie greu să aveți soluții întregi ale ecuațiilor ca acestea. Ne așteptăm, practic, ca aproape toate curbele să nu aibă soluții întregi. Dar este foarte greu de dovedit asta.
Levent și cu mine am studiat această distribuție a numărului de puncte integrale. Folosim o construcție clasică din cartea lui Mordell din 1969 Ecuații diofantine. Putem da o limită superioară a numărului de puncte integrale pe o curbă eliptică. Alți oameni au dat limite superioare. Am găsit o legătură diferită, care este simplu de afirmat.
Ce rol a jucat munca anterioară a lui Mordell în rezultatul tău recent?
Întrebarea noastră implică puncte integrale pe curbele eliptice. Mordell are un mod de a le raporta la altceva pe care putem să-l studiem.
Este ceva ce facem tot timpul la matematică: vrem să înțelegem un obiect, dar trebuie să găsim un proxy pentru a-l înțelege. Uneori acel proxy este foarte precis. Uneori pierde informații. Dar de fapt este ceva la care putem accesa.
Când ai decis să te concentrezi pe matematică?
Nu cred că a existat un punct critic pentru mine. Sunt fericit cu viața și cariera mea acum, dar simt că dacă lucrurile ar fi fost puțin diferit, aș fi putut fi fericit în multe cariere sau alte domenii. Poate că asta nu ar spune majoritatea matematicienilor, pentru că le place să vorbească despre cât de pasionați sunt de matematică și despre cum nu s-ar putea gândi niciodată la altceva. Pentru mine, nu cred că este adevărat.
Sunt curios de multe lucruri diferite. Poate că am ajuns să fiu matematician pentru că eram frustrat de lipsa de rigoare în alte domenii. În copilărie, am fost antrenat să gândesc ca un matematician în anumite privințe, pentru că așa făceam lucrurile acasă. Tatăl meu a jucat cu mine jocuri de matematică, ceea ce însemna că învățam raționamentul logic încă de la o vârstă fragedă. Am vrut ca lucrurile să fie dovedite.
Dar nu eram sigur că voi fi un matematician bun.
De ce?
Când eram mai tânăr, nu cunoșteam atât de mulți oameni de matematică care să fie ca mine în moduri diferite. Aruncăm aceste cuvinte despre modele de urmat. Nu doar că nu am văzut destule femei sau femei asiatice americane.
Ce vreau să spun este că nu am văzut mulți oameni pasionați de alte lucruri decât de matematică. Asta m-a făcut să mă îndoiesc mult de mine. Cum pot avea succes la matematică dacă nu îmi petrec 100% din timp gândindu-mă la matematică? Asta am văzut în jurul meu. Am avut impresia că alți oameni abordează matematica altfel decât mine, colegii mei și oameni mai în vârstă decât mine. Am crezut că este dificil să urmez o carieră în care să nu fiu așa. As avea alte interese.
Aspectul uman este ceva de care nu am văzut pe alții să-i pese la fel de mult. Mi-a fost teamă că o parte din mine mă va face rău să devin matematician.
Introducere
Tocmai ați fost numită director al programului Femeile și Matematică al IAS. Ce oferă acest program femeilor matematiciene?
Este un atelier de o săptămână pentru femeile aflate în diferite etape ale carierei, inclusiv femei de licență, studenți absolvenți, postdoctorali și unele facultăți juniori și seniori. Este să înveți matematica într-un mediu favorabil.
Studenții care poate nu au știut că vor să urmeze matematica se întâlnesc cu matematicieni foarte în vârstă și primesc mentorat până la capăt. Ei pot vedea mulți oameni diferiți în diferite etape ale carierei și pot vorbi cu oamenii despre experiențele lor. Nu cred că există multe alte programe care să aibă întreaga gamă și să se concentreze într-un anumit subdomeniu.
Programul 2023 se numește „Modele în numere întregi”. Va avea o mulțime de oameni în combinatorie aditivă și teoria numerelor analitice. Aducem oameni din diferite căi de carieră pentru a le întâlni.
Pentru studenții absolvenți mai în vârstă care lucrează deja în acest domeniu, ei se întâlnesc cu postdoctori, facultăți juniori și seniori din domeniul lor și au șansa de a lucra alături de ei timp de o săptămână.
De asemenea, sunteți implicat în Proiect stive, care este o resursă online extinsă. Ce este unic la asta?
Volumul absolut și accesibilitatea acestuia. Este un proiect de colaborare online imens – peste 7,500 de pagini dacă l-ați tipărit. Dar în mod realist, [matematicianul de la Universitatea Columbia] Aise Johan de Jong scrie aproape tot. Este o resursă riguroasă, scrisă cu atenție pentru geometri algebrici. Este un lucru uimitor pe care l-a făcut pentru comunitate.
În fiecare săptămână sau două, crește. Este o referință de încredere pentru aproape orice. Acoperă o cantitate imensă de geometrie algebrică pentru care ar trebui să te uiți la 20 de manuale.
Este a trăi în sensul că lucrurile pot fi adăugate și editate. Dacă există greșeli, vor fi prinși.
Un alt lucru care este destul de interesant este sistemul de etichete. Chiar dacă acest document este în continuă creștere, puteți face referire la o anumită etichetă pentru totdeauna. Există peste 21,000 de etichete permanente pentru anumite rezultate pe care ați dori să le citați. Pieter Belmans a construit întregul back end, care a fost folosit și în alte proiecte. Alți oameni au adaptat tehnologia acestuia.
Problema este – și Johan știe asta – că în cele din urmă nu va putea continua să scrie asta. Într-o zi, dacă vrem ca acest lucru să continue, este nevoie de alți oameni să fie mai implicați.
Ce rol joacă atelierele dumneavoastră în proiectul Stacks?
Ideea este să începeți să implicați tinerii. Îi punem să scrie fragmente care ar putea fi în cele din urmă încorporate în ea. Există unele tensiuni aici, deoarece pentru ca site-ul să rămână corect și de înaltă calitate ca resursă, acesta trebuie să fie moderat cu atenție. Așa că Johan încă mai trebuie să facă multă muncă pentru a pune lucrurile în ea. Nu poate fi ca Wikipedia unde oricine o poate atinge. Este puțin regretabil, dar trebuie să se întâmple dacă doriți ca acest lucru să funcționeze.
Încercăm să găsim modalități de a implica încet mai mulți oameni în proiectul Stacks. Aducem mentori pentru a lucra la proiecte cu studenți absolvenți și postdoc. Ei învață ceva geometrie algebrică. Apoi scriu ceva.
We doar publicat un volum cu o grămadă de articole expozitive care sperăm că vor intra în cele din urmă în proiectul Stacks.
Proiectul Stacks ar putea continua să aibă un impact extrem de puternic timp de sute de ani, dacă suficienți oameni se implică și continuă.
