Un matematician despre creativitate, artă, logică și limbaj | Revista Quanta

Claire Voisin i-a luat mult timp să se îndrăgostească de matematică.

Asta nu înseamnă că i-a displacut vreodată subiectul. Crescând în Franța – al 10-lea din 12 copii – i-a plăcut să petreacă ore întregi rezolvând probleme de matematică cu tatăl ei, un inginer. Când a împlinit 12 ani, ea începuse să citească singură un manual de algebră de liceu, fascinată de definițiile și dovezile prezentate în paginile acestuia. „Exista toată această structură”, a spus ea. „Algebra este într-adevăr o teorie a structurilor.”

Dar ea nu a văzut matematica ca pe o chemare pe tot parcursul vieții. Abia în anii ei de universitate a recunoscut cât de profund și frumos putea fi - și că a fost capabilă să facă noi descoperiri. Până atunci, ea a urmărit serios mai multe interese în afară de matematică: filozofie, pictură și poezie. („Când aveam 20 de ani, cred că făceam doar matematică și pictură. Poate că era puțin excesiv”, a râs ea.) Până la vârsta de 20 de ani, matematica înglobase orice altceva. Dar pictura și poezia au continuat să o influențeze. Ea vede matematica ca pe o artă - și ca pe o modalitate de a împinge și de a se juca cu limitele limbajului.

Decenii mai târziu, după ce a devenit lider în domeniul geometriei algebrice, Voisin și-a găsit din nou timp să picteze și să facă sculpturi din lut. Totuși, matematica continuă să ocupe cea mai mare parte a atenției ei; ea preferă să-și petreacă timpul explorând această „lume diferită” în care „este ca și cum ai visa”.

Voisin este cercetător senior la Centrul Național Francez pentru Cercetare Științifică din Paris. Acolo, ea studiază varietățile algebrice, care pot fi considerate forme definite de seturi de ecuații polinomiale, așa cum un cerc este definit de polinom. x² + y² = 1. Ea este unul dintre cei mai importanți experți din lume în teoria Hodge, un set de instrumente pe care matematicienii îl folosesc pentru a studia proprietățile cheie ale varietăților algebrice.

Voisin a câștigat o mulțime de premii pentru munca sa, inclusiv Premiul de cercetare Clay în 2008, Premiul Heinz Hopf în 2015 și Premiul Shaw pentru matematică în 2017. În ianuarie, a devenit prima femeie care a primit premiul Crafoord în Matematică.

Cuante a vorbit cu Voisin despre natura creativă a matematicii. Interviul a fost condensat și editat pentru claritate.

Ți-a plăcut matematica în copilărie, dar nu te-ai văzut urmând-o. De ce nu?

Există magia unei dovezi – emoția pe care o simți când o înțelegi, când realizezi cât de puternică este și cât de puternic te face. În copilărie, puteam deja să văd asta. Și mi-a plăcut concentrarea pe care o cere matematica. Este ceva ce, în vârstă, îl găsesc din ce în ce mai central în practica matematicii. Restul lumii dispare. Întregul tău creier există pentru a studia o problemă. Este o experiență extraordinară, una care este foarte importantă pentru mine — să te faci să părăsești lumea lucrurilor practice, să locuiești într-o lume diferită. Poate de aceea fiului meu îi place atât de mult să joace jocuri video.

Dar ceea ce m-a făcut să fiu întârziat la matematică, într-un anumit sens, este că nu sunt absolut interesat de jocuri. Nu este pentru mine. Și în liceu, matematica se simțea ca un joc. Mi-a fost greu să o iau în serios. Nu am văzut profunzimile matematicii la început. Chiar și atunci când am început să descopăr dovezi și teoreme foarte interesante după liceu, în niciun moment nu m-am gândit că aș putea inventa eu ceva, că aș putea să-l fac al meu.

Aveam nevoie de ceva mai profund, mai serios, ceva pe care să-l pot face al meu.

Înainte să descoperi asta la matematică, unde l-ai căutat?

Mi-a plăcut filosofia și insistența ei asupra noțiunii de concept. De asemenea, până la 22 de ani am petrecut mult timp pictând, în special piese figurative inspirate din geometrie. Și mi-a plăcut foarte mult poezia — opera lui Mallarmé, Baudelaire, René Char. Trăiam deja într-o lume diferită. Dar asta e normal, cred, când ești mai tânăr.

Dar matematica a devenit din ce în ce mai importantă. Îți ia cu adevărat tot creierul. Când nu ești la biroul tău lucrând la o anumită problemă, mintea ta este încă ocupată. Deci, cu cât făceam mai mult matematică, cu atât pictam mai puțin. Abia de curând am început să pictez din nou, acum că copiii mei au plecat cu toții din casă și am mult mai mult timp.

Ce te-a făcut să decizi în cele din urmă să-ți dedici cea mai mare parte a energiei creative matematicii?

Matematica a devenit din ce în ce mai interesantă pentru mine. Ca master și doctorat. student, am descoperit că matematica secolului al XX-lea era ceva foarte profund și extraordinar. Era o lume de idei și concepte. În geometria algebrică, a existat celebra revoluție condusă de Alexander Grothendieck. Chiar înainte de Grothendieck, au existat rezultate incredibile. Deci este un domeniu recent, cu idei frumoase dar și extrem de puternice. Teoria Hodge, pe care o studiez, a făcut parte din asta.

A devenit din ce în ce mai clar că viața mea era acolo. Desigur, aveam o viață de familie — un soț și cinci copii — și alte îndatoriri și activități. Dar mi-am dat seama că cu matematica aș putea crea ceva. Mi-aș putea dedica viața, pentru că era atât de frumos, atât de spectaculos, atât de interesant.

Ai mai scris despre modul în care matematica este un efort creativ.

Sunt matematician profesionist, așa că ziua mea de lucru este organizată oficial în jurul matematicii. stau la un birou; Lucrez la calculator. Dar cea mai mare parte a activității mele de matematică nu are loc în acel timp. Ai nevoie de o idee nouă, de o definiție bună, de o afirmație pe care crezi că o vei putea exploata. Abia atunci poate începe munca ta. Și asta nu se întâmplă când sunt la birou. Trebuie să-mi urmăresc mintea, să mă păstrez pe gânduri.

Se pare că matematica este profund personală pentru tine. Ai descoperit ceva despre tine în acest proces?

Facand matematica, de cele mai multe ori trebuie sa ma lupt cu mine insumi, pentru ca sunt foarte dezordonata, nu sunt foarte disciplinata si tind si sa fiu deprimata. Nu mi se pare ușor. Dar ceea ce am descoperit este că în unele momente - cum ar fi dimineața la micul dejun, sau când mă plimb pe străzile Parisului sau fac ceva fără minte precum curățarea - creierul meu începe să funcționeze de la sine. Îmi dau seama că mă gândesc la matematică, fără să fi vrut. Parcă visezi. Am 62 de ani și nu am o metodă reală de a face matematică bună: mai aştept mai mult sau mai puţin momentul în care mă inspir.

Lucrezi cu obiecte foarte abstracte - cu spații de dimensiuni mari, cu structuri care satisfac ecuații complicate. Cum crezi despre o lume atât de abstractă?

Nu e chiar atât de greu. Definiția cea mai abstractă, odată ce ești familiarizat cu ea, nu mai este abstractă. Este ca un munte frumos pe care îl vezi foarte bine, pentru că aerul este foarte limpede și există lumină care te lasă să vezi toate detaliile. Pentru noi, obiectele matematice pe care le studiem par concrete, pentru că le cunoaștem mult mai bine decât orice altceva.

Desigur, există o mulțime de lucruri de dovedit, iar când începi să înveți ceva, s-ar putea să suferi din cauza abstracției. Dar când folosești o teorie — pentru că înțelegi teoremele — te simți de fapt foarte aproape de obiectele în cauză, chiar dacă sunt abstracte. Învățând despre obiecte, manipulându-le și folosindu-le în argumente matematice, ei devin în cele din urmă prietenii tăi.

Și acest lucru necesită, de asemenea, să le vedem din diferite puncte de vedere?

Nu am studiat geometria algebrică inițial. Am lucrat în geometrie analitică și diferențială complexă. În geometria analitică, studiezi o clasă mult mai mare de funcții și formele care sunt definite local de acele funcții. De obicei, nu au o ecuație globală, spre deosebire de geometria algebrică.

La început nu am acordat prea multă atenție punctului de vedere algebric. Dar cu cât îmbătrânesc și lucrez mai mult în acest domeniu, cu atât văd mai mult necesitatea de a avea aceste două limbi diferite.

Există o teoremă incredibilă, numită GAGA, care este un pic o glumă; înseamnă „senil” în franceză, dar înseamnă și pentru geometrie algébrique et géométrie analytique. Se spune că poți trece dintr-o limbă în alta. Puteți face un calcul în geometrie analitică complexă dacă este mai ușor, apoi reveniți la geometria algebrică.

Alteori, geometria algebrică vă oferă posibilitatea de a studia o versiune diferită a unei probleme care poate da rezultate extraordinare. Am lucrat pentru a înțelege geometria algebrică ca un întreg, mai degrabă decât să mă concentrez doar pe partea de geometrie complexă a acesteia.

Este interesant că le considerați limbi matematice diferite.

Limbajul este esențial. Înainte de matematică, există limbajul. Multă logică este deja în limbaj. Avem toate aceste reguli logice în matematică: cuantificatori, negații, paranteze pentru a indica ordinea corectă a operațiilor. Dar este important să ne dăm seama că toate aceste reguli care sunt vitale pentru matematicieni sunt deja în limba noastră de zi cu zi.

Ai putea compara o teoremă matematică cu o poezie. Este scris în cuvinte. Este un produs al limbajului. Avem obiectele noastre matematice doar pentru că folosim limbajul, pentru că folosim cuvinte de zi cu zi și le dăm un sens specific. Deci, puteți compara poezia și matematica, deoarece ambele se bazează complet pe limbă, dar creează totuși ceva nou.

Ai fost atras de matematică din cauza revoluției lui Grothendieck în geometria algebrică. El a creat în esență un nou limbaj pentru a face acest tip de matematică.

Dreapta.

Există modalități în care limbajul matematic pe care îl utilizați acum ar mai trebui să se schimbe?

Matematicienii își reproșează în mod constant limbajul. Păcat, pentru că face lucrările mai vechi destul de greu de citit. Dar reluăm matematica trecută pentru că o înțelegem mai bine. Ne oferă o modalitate mai bună de a scrie și de a demonstra teoreme. Acesta a fost cazul lui Grothendieck, cu aplicarea sa a coomologiei snopilor la geometrie. Este cu adevărat spectaculos.

Este important să te familiarizezi cu obiectul pe care îl studiezi, până în punctul în care pentru tine este ca o limbă maternă. Când începe să se formeze o teorie, este nevoie de timp pentru a descoperi definițiile corecte și pentru a simplifica totul. Sau poate că este încă foarte complicat, dar ne familiarizăm mult mai mult cu definițiile și obiectele; devine mai natural să le folosești.

Este o evoluție continuă. Trebuie să rescriem și să simplificăm constant, să teoretizăm despre ceea ce este important, despre ce instrumente să punem la dispoziție.

A trebuit să introduci noi definiții în munca ta?

Uneori. În munca pe care am facut-o cu János Kollár, a existat un punct de cotitură în care am reușit în sfârșit să găsim viziunea corectă a problemei — printr-o anumită definiție. Aceasta a fost o problemă foarte clasică și am lucrat cu instrumente clasice, dar dovezile noastre s-au bazat într-adevăr pe această definiție pe care am stabilit-o.

În alt caz, Olivier Debarre, Daniel Huybrechts, Emanuele Macrì și m-am dovedit drăguț rezultatul clasificării despre obiecte numite varietăţi hiper-Kähler. Iar punctul de plecare pentru această demonstrație a fost introducerea unui invariant, pe care l-am numit inițial „a."[Râde.]

S-ar putea să subestimezi importanța definițiilor în matematică, dar nu ar trebui.

Definițiile și limbajul nu sunt singurele forțe directoare în matematică. La fel sunt și conjecturile, care ar putea fi sau nu adevărate. De exemplu, ați lucrat mult la conjectura Hodge, o problemă a mileniului Clay a cărei soluție vine cu o Recompensă de 1 de milioane de dolari.

Să presupunem că aveți o varietate algebrică pe care doriți să o înțelegeți. Deci, treceți la partea de geometrie analitică complexă și o considerați în schimb ca ceea ce este cunoscut ca o varietate complexă. Vă puteți gândi la o varietate complexă în ceea ce privește forma sa globală sau topologia. Există un obiect, numit omologie, care vă oferă o mulțime de informații topologice despre varietate. Dar nu este atât de ușor de definit.

Acum luați în considerare subvarietățile algebrice din soiul original. Fiecare va avea un invariant topologic, anumite informații topologice asociate acestuia. Care parte a omologiei varietății complexe poate fi obținută analizând acești invarianți topologici?

Conjectura Hodge oferă un răspuns specific. Și răspunsul este foarte subtil.

Deci, matematicienii nu sunt siguri dacă conjectura Hodge va ajunge să fie adevărată sau falsă?

Vrei să crezi în conjectura Hodge, pentru că este un astfel de ghid în teoriile majore în geometria algebrică.

Chiar ați dori să înțelegeți principalele proprietăți ale unei varietăți algebrice. Și dacă conjectura Hodge este adevărată, asta ți-ar oferi un control incredibil asupra geometriei soiului tău. Veți obține informații foarte importante despre structura soiurilor.

Există câteva motive puternice pentru a crede în el. Sunt cunoscute cazuri particulare de conjectura Hodge. Și există multe afirmații profunde despre varietățile algebrice care sugerează că conjectura Hodge este adevărată.

Dar a existat o lipsă aproape completă de progres în ceea ce privește demonstrarea. De asemenea, am dovedit că nu există nicio modalitate de a extinde conjectura Hodge la un alt cadru unde ar părea firesc. Deci a fost un pic de șoc.

După decenii de muncă ca matematician, simți că faci matematică și mai profund acum?

Acum că sunt mai în vârstă, am mult mai mult timp să-mi consum energia pe matematică, să fiu cu adevărat prezent în ea. De asemenea, am o capacitate mai bună de a merge ici și colo. În trecut, poate pentru că aveam mai puțin timp, aveam mai puțină mobilitate – deși să fiu prea mobil, să ating problemele fără să rămân cu ele, nici nu este bine. Acum sunt mai experimentat și îmi pot construi propria imagine.

Ai o imagine mult mai bună a ceea ce nu știi, a problemelor deschise. Aveți o vedere detaliată a câmpului dvs. și a granițelor sale. Trebuie să existe câteva aspecte bune ale îmbătrânirii. Și mai sunt atât de multe de făcut.