În secolul al III-lea î.Hr., Arhimede pozat o ghicitoare despre păstorirea vitelor pe care, susținea el, doar o persoană cu adevărat înțeleaptă o putea rezolva. Problema lui sa rezumat în cele din urmă la o ecuație care implică diferența dintre doi termeni pătrați, care pot fi scrise ca x2 - dy2 = 1. Aici, d este un număr întreg — un număr de numărare pozitiv sau negativ — și Arhimede căuta soluții în care ambele x și y sunt de asemenea numere întregi.
Această clasă de ecuații, numite ecuații Pell, i-a fascinat pe matematicieni de-a lungul mileniilor de atunci.
La câteva secole după Arhimede, matematicianul indian Brahmagupta și, mai târziu, matematicianul Bhāskara II, au furnizat algoritmi pentru a găsi soluții întregi la aceste ecuații. La mijlocul anilor 1600, matematicianul francez Pierre de Fermat (care nu cunoștea această lucrare) a redescoperit că în unele cazuri, chiar și atunci când d i s-a atribuit o valoare relativ mică, pentru cele mai mici soluții întregi posibile x și y ar putea fi masiv. Când a trimis o serie de probleme de provocare matematicienilor rivali, aceștia au inclus ecuația x2 - 61y2 = 1, ale cărei soluții cele mai mici au nouă sau 10 cifre. (În ceea ce privește Arhimede, ghicitoarea lui a cerut în esență soluții întregi ale ecuației x2 - 4,729,494y2 = 1. „Pentru a imprima cea mai mică soluție, este nevoie de 50 de pagini”, a spus Peter Koymans, un matematician la Universitatea din Michigan. „Într-un anumit sens, este un troll gigantic al lui Arhimede.”
Dar soluțiile ecuațiilor Pell pot face mult mai mult. De exemplu, să presupunem că doriți să aproximați $latex sqrt{2}$, un număr irațional, ca raport de numere întregi. Se pare că rezolvând ecuația Pell x2 - 2y2 = 1 vă poate ajuta să faceți asta: $latex sqrt{2}$ (sau, mai general, $latex sqrt{d}$) poate fi aproximat bine prin rescrierea soluției ca o fracțiune a formei x/y.
Poate și mai intrigant, acele soluții vă spun și ceva despre anumite sisteme de numere, pe care matematicienii le numesc inele. Într-un astfel de sistem de numere, matematicienii ar putea alătura $latex sqrt{2}$ numerelor întregi. Inelele au anumite proprietăți, iar matematicienii vor să înțeleagă acele proprietăți. Se pare că ecuația Pell îi poate ajuta să facă acest lucru.
Așa că „mulți matematicieni foarte renumiți – aproape fiecare matematician într-o anumită perioadă de timp – au studiat de fapt această ecuație din cauza cât de simplă este”, a spus Mark Shusterman, matematician la Universitatea Harvard. Acești matematicieni au inclus Fermat, Euler, Lagrange și Dirichlet. (John Pell, nu atât de mult; ecuația a fost numită greșit după el.)
Acum Koymans și Carlo Pagano, un matematician la Universitatea Concordia din Montreal, au a dovedit o presupunere veche de decenii legată de ecuația Pell, una care cuantifică cât de des o anumită formă a ecuației are soluții întregi. Pentru a face acest lucru, ei au importat idei dintr-un alt domeniu - teoria grupurilor - în timp ce au obținut o mai bună înțelegere a unui obiect de studiu cheie, dar misterios din acel domeniu. „Au folosit idei foarte profunde și frumoase”, a spus Andrew Granville, matematician la Universitatea din Montreal. „Chiar au reușit.”
Aritmetică spartă
La începutul anilor 1990, Peter Stevenhagen, un matematician de la Universitatea Leiden din Țările de Jos, s-a inspirat din unele dintre conexiunile pe care le-a văzut între ecuațiile Pell și teoria grupurilor pentru a face o presupunere despre cât de des aceste ecuații au soluții întregi. Dar „Nu mă așteptam să fie dovedit prea curând”, a spus el – sau chiar în timpul vieții sale. Tehnicile disponibile nu păreau suficient de puternice pentru a ataca problema.
Conjectura lui depinde de o caracteristică particulară a inelelor. În inelul de numere în care, de exemplu, $latex sqrt{-5}$ a fost adăugat numerelor întregi (matematicienii lucrează adesea cu numere „imaginare” precum $latex sqrt{-5}$), există două moduri distincte de a împărțiți un număr în factorii săi primi. Numărul 6, de exemplu, poate fi scris nu doar ca 2 × 3, ci și ca (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$). Ca rezultat, în acest inel, factorizarea prime unică - un principiu central al aritmeticii, unul considerat practic de la sine înțeles în numerele întregi normale - se defectează. Măsura în care se întâmplă acest lucru este codificată într-un obiect asociat acelui inel, numit grup de clasă.
O modalitate prin care matematicienii încearcă să obțină o perspectivă mai profundă asupra unui sistem numeric de care sunt interesați - de exemplu, $latex sqrt{2}$ alăturat numerelor întregi - este să calculeze și să studieze grupul său de clasă. Cu toate acestea, este aproape prohibitiv de dificil să stabilim reguli generale pentru modul în care grupurile de clasă se comportă în toate aceste sisteme de numere diferite.
În anii 1980, matematicienii Henri Cohen și Hendrik Lenstra a formulat un set larg de presupuneri despre cum ar trebui să arate acele reguli. Aceste „euristice Cohen-Lenstra” vă pot spune multe despre grupurile de clasă, care, la rândul lor, ar trebui să dezvăluie proprietățile sistemelor lor numerice subiacente.
A fost o singură problemă. Deși o mulțime de calcule par să susțină euristica Cohen-Lenstra, ele sunt încă presupuneri, nu dovezi. „În ceea ce privește teoremele, până de curând nu știam aproape nimic”, a spus Alex Bartel, un matematician la Universitatea din Glasgow.
În mod intrigant, comportamentul tipic al unui grup de clasă este indisolubil împletit cu comportamentul ecuațiilor Pell. Înțelegerea unei probleme ajută la înțelegerea celeilalte – atât de mult încât conjectura lui Stevenhagen „a fost, de asemenea, o problemă de testare pentru orice progres s-a făcut cu privire la euristica Cohen-Lenstra”, a spus Pagano.
Noua lucrare implică ecuația Pell negativă, unde x2 - dy2 este setat la -1 în loc de 1. Spre deosebire de ecuația originală Pell, care are întotdeauna un număr infinit de soluții întregi pentru orice d, nu toate valorile d în ecuația Pell negativă rezultă o ecuație care poate fi rezolvată. Lua x2 - 3y2 = −1: Indiferent cât de departe priviți de-a lungul dreptei numerice, nu veți găsi niciodată o soluție, chiar dacă x2 - 3y2 = 1 are infinit de soluții.
De fapt, există o mulțime de valori ale d pentru care ecuația Pell negativă nu poate fi rezolvată: pe baza regulilor cunoscute despre modul în care anumite numere se relaționează între ele, d nu poate fi multiplu de 3, 7, 11, 15 și așa mai departe.
Dar chiar și atunci când eviți acele valori ale d și luați în considerare doar ecuațiile Pell negative rămase, încă nu este întotdeauna posibil să găsiți soluții. În acel set mai mic de valori posibile ale d, ce proporție funcționează de fapt?
În 1993, Stevenhagen a propus o formulă care a dat un răspuns precis la această întrebare. Dintre valorile pentru d care ar putea funcționa (adică valori care nu sunt multipli de 3, 7 etc.), el a prezis că aproximativ 58% ar da naștere la ecuații Pell negative cu soluții întregi.
Ghicirea lui Stevenhagen a fost motivată în special de legătura dintre ecuația Pell negativă și euristica Cohen-Lenstra asupra grupurilor de clasă - o legătură pe care Koymans și Pagano au exploatat-o când, 30 de ani mai târziu, i-au dovedit în sfârșit că are dreptate.
Un tun mai bun
În 2010, Koymans și Pagano erau încă studenți – nu sunt încă familiarizați cu conjectura lui Stevenhagen – când a apărut o lucrare care a făcut unele dintre primele progrese în această problemă în ultimii ani.
În lucrarea aceea, care era publicată în Analele matematicii, matematicienii Etienne Fouvry și Jürgen Klüners a aratat ca proportia valorilor de d care ar funcționa pentru că ecuația Pell negativă se încadrează într-un anumit interval. Pentru a face acest lucru, ei au obținut un control asupra comportamentului unor elemente ale grupurilor de clasă relevante. Dar ar avea nevoie de o înțelegere a multor mai multe elemente pentru a se încadra în estimarea mult mai precisă a lui Stevenhagen de 58%. Din nefericire, acele elemente au rămas insondabile: mai erau necesare metode noi pentru a înțelege structura lor. Progresele suplimentare păreau imposibile.
Apoi, în 2017, când Koymans și Pagano erau amândoi la școala absolventă împreună la Universitatea Leiden, a apărut o hârtie asta a schimbat totul. „Când am văzut asta, am recunoscut imediat că a fost un rezultat foarte, foarte impresionant”, a spus Koymans. „Era ca, OK, acum am un tun cu care pot trage în această problemă și sper că pot face progrese.” (La acea vreme, Stevenhagen și Lenstra erau, de asemenea, profesori la Leiden, ceea ce a ajutat la trezirea interesului lui Koymans și Pagano pentru această problemă.)
Lucrarea a fost scrisă de un student absolvent de la Harvard, Alexander Smith (care este acum un bursier Clay la Stanford). Koymans și Pagano nu au fost singuri care au salutat munca ca pe o descoperire. „Ideile au fost uimitoare”, a spus Granville. "Revoluţionar."
Smith a încercat să înțeleagă proprietățile soluțiilor ecuațiilor numite curbe eliptice. Făcând acest lucru, el a elaborat o parte specifică a euristicii Cohen-Lenstra. Nu numai că a fost primul pas major în consolidarea acestor conjecturi mai largi ca fapt matematic, dar a implicat tocmai piesa din grupul de clasă pe care Koymans și Pagano trebuiau să o înțeleagă în munca lor asupra conjecturii lui Stevenhagen. (Această piesă a inclus elementele pe care Fouvry și Klüners le-au studiat în rezultatul lor parțial, dar a depășit cu mult acestea.)
Cu toate acestea, Koymans și Pagano nu au putut folosi pur și simplu metodele lui Smith imediat. (Dacă acest lucru ar fi fost posibil, probabil că Smith însuși ar fi făcut-o.) Dovada lui Smith a fost despre grupurile de clasă asociate cu inelele numerice potrivite (cele în care $latex sqrt{d}$ este alăturat numerelor întregi) - dar el a luat în considerare toate valori întregi ale d. Koymans și Pagano, pe de altă parte, se gândeau doar la un subset mic al acestor valori ale d. Ca rezultat, ei trebuiau să evalueze comportamentul mediu în rândul unei fracțiuni mult mai mici de grupuri de clasă.
Aceste grupuri de clasă constituiau, în esență, 0% din grupurile de clasă ale lui Smith, ceea ce înseamnă că Smith le putea arunca atunci când își scria dovada. Nu au contribuit deloc la comportamentul mediu pe care îl studia.
Și când Koymans și Pagano au încercat să-și aplice tehnicile doar grupurilor de clasă la care țineau, metodele s-au stricat imediat. Perechea ar trebui să facă schimbări semnificative pentru a-i face să lucreze. Mai mult decât atât, ei nu caracterizau doar un grup de clasă, ci mai degrabă discrepanța care ar putea exista între două grupuri de clasă diferite (a face acest lucru ar fi o parte majoră a dovezii lor a conjecturii lui Stevenhagen) - care ar necesita, de asemenea, unele instrumente diferite.
Așa că Koymans și Pagano au început să cerceteze cu mai multă atenție hârtia lui Smith în speranța de a identifica exact unde au început lucrurile să meargă de pe șine. A fost o muncă dificilă, minuțioasă, nu doar pentru că materialul era atât de complicat, ci și pentru că Smith încă își perfecționa pretipărirea la momentul respectiv, făcând corecțiile și clarificările necesare. (El a postat noua versiune a lucrării sale online luna trecută.)
Timp de un an întreg, Koymans și Pagano au învățat împreună dovada, rând cu rând. S-au întâlnit în fiecare zi, discutând despre o anumită secțiune la prânz, înainte de a petrece câteva ore la o tablă, ajutându-se reciproc să lucreze la ideile relevante. Dacă unul dintre ei a făcut progrese pe cont propriu, i-a trimis un mesaj celuilalt pentru a-l actualiza. Shusterman își amintește că i-a văzut uneori lucrând până în noapte. În ciuda (sau poate din cauza) provocărilor pe care le presupunea, „a fost foarte distractiv de făcut împreună”, a spus Koymans.
În cele din urmă, au identificat unde ar trebui să încerce o nouă abordare. La început, au reușit să facă doar îmbunătățiri modeste. Împreună cu matematicienii Stephanie Chan și Djordjo Milovic, și-au dat seama cum să se ocupe de unele elemente suplimentare din grupul de clasă, ceea ce le-a permis să obțină limite mai bune decât au avut Fouvry și Klüners. Dar părți semnificative din structura grupului de clasă încă le scăpau.
O problemă majoră pe care au trebuit să o abordeze - ceva pentru care metoda lui Smith nu a mai funcționat în acest nou context - a fost să se asigure că analizau cu adevărat comportamentul „mediu” pentru grupurile de clasă ca valori ale d a devenit din ce în ce mai mare. Pentru a stabili gradul adecvat de aleatorie, Koymans și Pagano au dovedit un set complicat de reguli, numite legi de reciprocitate. În cele din urmă, asta le-a permis să obțină controlul de care aveau nevoie asupra diferenței dintre cele două grupuri de clasă.
Acest avans, împreună cu alții, le-a permis să finalizeze în sfârșit dovada conjecturii lui Stevenhagen la începutul acestui an. „Este uimitor că au reușit să o rezolve complet”, a spus Chan. „Înainte, am avut toate aceste probleme.”
Ceea ce au făcut „m-a surprins”, a spus Smith. „Koymans și Pagano mi-au păstrat limbajul vechi și l-au folosit pentru a împinge din ce în ce mai departe într-o direcție pe care abia o mai înțeleg.”
Cel mai ascuțit unealtă
Din momentul în care a introdus-o acum cinci ani, dovada lui Smith a unei părți a euristicii Cohen-Lenstra a fost văzută ca o modalitate de a deschide ușile către o serie de alte probleme, inclusiv întrebări despre curbele eliptice și alte structuri de interes. (În lucrarea lor, Koymans și Pagano enumera aproximativ o duzină de conjecturi pe care speră să-și folosească metodele. Multe nu au nimic de-a face cu ecuația Pell negativă sau chiar cu grupurile de clasă.)
„O mulțime de obiecte au structuri care nu sunt diferite de aceste tipuri de grupuri algebrice”, a spus Granville. Dar multe dintre aceleași obstacole pe care au trebuit să le înfrunte Koymans și Pagano sunt prezente și în aceste alte contexte. Noua lucrare privind ecuația Pell negativă a ajutat la demontarea acestor blocaje. „Alexander Smith ne-a spus cum să construim aceste ferăstraie și ciocane, dar acum trebuie să le facem cât mai ascuțite și cât mai puternice și cât mai adaptabile la diferite situații”, a spus Bartel. „Unul dintre lucrurile pe care le face această lucrare este să meargă foarte mult în această direcție.”
Între timp, toată această muncă a rafinat înțelegerea de către matematicieni a unei singure fațete a grupurilor de clasă. Restul conjecturilor Cohen-Lenstra rămân inaccesibile, cel puțin pentru moment. Dar lucrarea lui Koymans și Pagano „este un indiciu că tehnicile pe care le avem pentru a ataca problemele în Cohen-Lenstra sunt într-un fel în creștere”, a spus Smith.
Lenstra însuși era la fel de optimist. Este „absolut spectaculos”, a scris el într-un e-mail. „Deschide într-adevăr un nou capitol într-o ramură a teoriei numerelor care este la fel de veche ca și teoria numerelor în sine.”
