Doi elevi dezvăluie o presupunere matematică larg crezută | Revista Quanta

Summer Haag și Clyde Kertzer au avut mari speranțe în proiectul lor de cercetare de vară. Orbirea unui întreg subdomeniu al matematicii nu a fost una dintre ele.

În mai, Haag își termina primul an de studii superioare la Universitatea din Colorado, Boulder, unde Kertzer era studentă. Amândoi așteptau cu nerăbdare o pauză de la cursuri. Haag plănuia să exploreze noi drumeții și trasee de alpinism. Kertzer, originar din Boulder, a vrut să joace fotbal și să-și pregătească cererea de absolvire. Dar, în calitate de aspiranți ai matematicienilor de cercetare, ei au aplicat și pentru un program de cercetare de vară cu jumătate de normă în grupul de matematician. Katherine Stange.

Stange este un teoretician al numerelor care se descrie pe ea însăși ca un matematician „broască” — cineva care aprofundează în complexitatea unei probleme înainte de a sări la alta. Ea este interesată de „întrebări simple, care par simple, care duc la o bogăție de structură”, a spus ea. Proiectele ei abordează adesea problemele deschise evazive ale teoriei numerelor prin utilizarea computerelor pentru a genera seturi mari de date.

Haag și Kertzer au început programul la cea de-a 23-a naștere a lui Haag, cu un manual de o săptămână despre împachetarea cercurilor apollineene - studiul străvechi al modului în care cercurile se pot strânge armonios într-un cerc mai mare.

Imaginați-vă că aranjați trei monede astfel încât fiecare să se atingă de celelalte. Puteți desena oricând un cerc în jurul lor care să le atingă pe toate trei din exterior. Apoi puteți începe să puneți întrebări: Cum se raportează dimensiunea acelui cerc mai mare cu cea a celor trei monede? Ce dimensiune cerc se va potrivi în decalajul dintre cele trei monede? Și dacă începi să desenezi cercuri care umple progresiv goluri din ce în ce mai mici între cercuri - creând un model fractal cunoscut sub numele de împachetare - cum se raportează dimensiunile acelor cercuri între ele?

În loc să se gândească la diametrul acestor cercuri, matematicienii folosesc o măsură numită curbură - inversul razei. Deci un cerc cu raza 2 are curbura 1/2, iar un cerc cu raza 1/3 are curbura 3. Cu cât cercul este mai mic, cu atât curbura este mai mare.

Matematicienii Renașterii au demonstrat că, dacă primele patru cercuri au o curbură care este un număr întreg, curburele tuturor cercurilor ulterioare din pachet sunt garantate a fi numere întregi. Este remarcabil în sine. Dar matematicienii au dus problema cu un pas mai departe punând întrebări despre ce numere întregi apar pe măsură ce cercurile devin din ce în ce mai mici, iar curburele devin din ce în ce mai mari.

În 2010, Elena Fuchs, un teoretician al numerelor acum la Universitatea din California, Davis, s-au dovedit că curburele urmează o anumită relație care le forțează în anumite găleți numerice. La scurt timp după aceea, matematicienii s-au convins că nu numai curburele trebuie să cadă într-o găleată sau alta, ci și că trebuie folosit fiecare număr posibil din fiecare găleată. Ideea a ajuns să fie cunoscută sub numele de conjectura local-globală.

„O mulțime de lucrări au făcut referire la el ca și cum ar fi deja un fapt”, a spus Kertzer. „Am discutat despre asta ca și cum ar urma să fie dovedit la un moment dat în viitorul apropiat.”

James Rickards, un matematician de la Boulder care lucrează cu Stange și studenții, a scris un cod pentru a examina orice aranjament dorit de împachetare în cerc. Așa că, când Haag și Kertzer s-au alăturat grupului pe 15 mai, s-au gândit că vor crea intrigi grozave ale regulii de încredere de la nivel local la global.

Stange a zburat în Franța pentru o conferință la începutul lunii iunie. Când s-a întors pe 12 iunie, echipa s-a îngrămădit în jurul graficelor care au demonstrat cum câteva găleți păreau să lipsească anumite numere.

„Nu investigăm acest fenomen”, a spus Rickards. „Nu încercam să testez că este adevărat. Știam că este adevărat - am presupus că este adevărat. Și apoi, brusc, ne confruntăm cu date care spun că nu este așa.”

Până la sfârșitul săptămânii, echipa era încrezătoare că presupunerea era falsă. Numerele pe care se așteptau să apară nu au făcut-o niciodată. Au făcut o dovadă, iar pe 6 iulie au și-au postat munca la site-ul de preprint științific arxiv.org.

Fuchs își amintește că a vorbit cu Stange la scurt timp după ce dovada a ajuns la loc. „Cât de mult credeți în conjectura de la local la global?” întrebă Stange. Fuchs a răspuns că, desigur, ea a crezut asta. „Apoi ea mi-a arătat toate aceste date și i-am spus: „O, Doamne, este uimitor””, a spus Fuchs. „Vreau să spun, chiar am crezut că conjectura de la nivel local la global este adevărată.”

„Odată ce îl vezi, spui doar „Aha! Desigur!”, a spus Peter Sarnak, un matematician la Institutul pentru Studii Avansate și Universitatea Princeton al cărui observatii timpurii a contribuit la alimentarea conjecturii local-globală.

„Este o perspectivă fantastică”, a adăugat Alex Kontorovich de la Universitatea Rutgers. „Ne batem cu toții că nu l-am găsit acum 20 de ani, când oamenii au început să se joace cu asta.”

În mijlocul molozului lăsat de rezultat, lucrarea a scos la iveală o fisură în fundamentul altor conjecturi în teoria numerelor. Matematicienii au fost lăsați să se întrebe ce credință larg răspândită ar putea fi următoarea cădere.

Istoria giratorie

Ambalajele cercurilor apolinice își iau numele de la probabilul lor inițiator, Apollonius din Perga. Cu aproximativ 2,200 de ani în urmă, geometrul grec a scris o carte numită Tangentele despre cum să construiți un cerc care este tangent la oricare alte trei. Cartea a fost pierdută în timp. Dar aproximativ 500 de ani mai târziu, matematicianul grec Pappus din Alexandria a creat un compendiu care să supraviețuiască prăbușirii imperiului bizantin.

Folosind doar descrierea lui Pappus a Tangentele, matematicienii Renașterii au încercat să retragă lucrarea originală. Până în 1643, René Descartes a descoperit o relație simplă între curburele oricăror patru cercuri care sunt tangente unul la celălalt. Descartes a afirmat că suma tuturor curburelor pătrate este egală cu jumătate din pătratul sumei curburelor. Aceasta înseamnă că, având în vedere trei cercuri, este posibil să se calculeze raza unui al patrulea cerc tangent. De exemplu, dacă aveți trei cercuri cu curburi de 11, 14 și 15, puteți introduce acele numere în ecuația lui Descartes și puteți calcula curbura cercului care s-ar potrivi în interiorul lor: 86.

În 1936, radiochimistul laureat al Premiului Nobel Frederick Soddy a observat ceva ciudat în timp ce făcea pachete cu ruda lui Descartes. Pe măsură ce cercurile deveneau mai mici și curburele mai mari, el se aștepta să obțină numere noduroase cu rădăcini pătrate sau zecimale infinite. În schimb, toate curburele erau numere întregi. Aceasta a fost o consecință destul de simplă a ecuației lui Descartes, dar nimeni nu observase de sute de ani. L-a inspirat pe Soddy publica o poezie în revista științifică Natură, care a început:

Pentru perechi de buze de sărutat poate
Nu implică trigonometrie.
Nu este așa când patru cercuri se sărută
Fiecare pe ceilalți trei.

Posibilul și Inevitabilul

Odată ce s-a stabilit că există pachete pline de numere întregi, matematicienii au încercat să găsească modele în acele numere întregi.

În 2010, Fuchs și Katherine Sanden a propus să construiască pe o hârtie de la 2003. Cei doi au observat că, dacă împărțeai fiecare curbură dintr-un anumit pachet la 24, a apărut o regulă. Unele ambalaje au doar curburi cu resturile de 0, 1, 4, 9, 12 sau 16, de exemplu. Alții lasă doar rămășițe de 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 sau 22. Existau șase grupuri diferite posibile.

Pe măsură ce matematicienii au examinat diferitele categorii de ambalaje, au început să observe că pentru cercuri suficient de mici - cele cu curburi mari - părea că fiecare număr posibil din fiecare categorie a apărut pentru ambalajele de acest tip. Această idee a ajuns să fie numită conjectura local-globală. Demonstrarea că a devenit „unul dintre visele mele ale acestor mici matematicieni”, a spus Fuchs. „Ca, poate, la un moment dat, peste mulți ani, voi putea să o rezolv.”

În 2012, Kontorovich și Jean Bourgain (care a murit în 2018) a demonstrat că practic fiecare număr prezis de conjectura are loc. Dar „practic toate” nu înseamnă „toate”. De exemplu, pătratele perfecte sunt suficient de rare încât, din punct de vedere matematic, „practic toate” numerele întregi să nu fie pătrate perfecte, chiar dacă, de exemplu, 25 și 49 sunt. Matematicienii au crezut că rarele contraexemple care au rămas posibile după lucrarea lui Kontorovich și Bourgain nu au existat de fapt, mai ales pentru că cele două sau trei cercurilor cele mai bine studiate păreau să urmeze atât de bine conjectura local-globală, a spus Kontorovich.

Pornirea acelui cadran

Când Haag și Kertzer au început vara aceasta în Boulder, Rickards a mâzgălit idei pe o tablă din biroul lui Stange. „Avem o listă întreagă”, a spus Rickards. Aveau patru sau cinci puncte de plecare cu care să experimenteze. „Lucruri cu care te poți juca și să vezi ce se întâmplă.”

O idee a fost să se calculeze toate cercurile posibile care conțin două curburi arbitrare A și B. Rickards a scris un program care scoate un fel de registru care raportează ce numere întregi apar pentru partea atunci când A găzduiește.

Pe baza acestui program, Haag a foșnit împreună un script Python care a trasat tone de simulări simultan. A fost ca o tabelă de înmulțire: Haag a ales ce rânduri și coloane să includă în funcție de resturile lor atunci când au fost împărțite la 24. Perechile de numere care apar într-un pachet apolinic împreună au avut pixeli albi; cele care nu au pixeli negri.

Haag a străbătut zeci de parcele - câte unul pentru fiecare pereche de resturi din fiecare dintre cele șase grupuri.

Arătau exact așa cum se aștepta: un perete alb, presărat cu pete negre pentru numere întregi mai mici. „Ne așteptam ca punctele negre să se stingă”, a spus Stange. Rickards a adăugat: „M-am gândit că poate chiar ar fi posibil să demonstrez că se termină”. El a speculat că, uitându-se la diagrame care sintetizează multe pachete împreună, echipa va putea dovedi rezultate care nu au fost posibile atunci când se uită la oricare dintre pachetele de la sine.

În timp ce Stange era plecat, Haag a ajuns să pună la cale fiecare pereche de resturi – aproximativ 120. Nicio surpriză acolo. Apoi a mers mare.

Haag a trasat cum interacționează 1,000 de numere întregi. (Graficul este mai mare decât pare, deoarece implică 1 milion de perechi posibile.) Apoi ea a pornit cadranul de până la 10,000 de ori 10,000. Într-un grafic, rândurile și coloanele obișnuite de pete negre au refuzat să se dizolve. Nu semăna deloc cu ceea ce ar prezice conjectura local-globală.

Echipa sa întâlnit luni după ce Stange s-a întors. Haag și-a prezentat graficele și toate s-au concentrat pe cel cu puncte ciudate. „A fost doar un tipar continuu”, a spus Haag. „Și atunci Kate a spus: „Dacă conjectura local-globală nu este adevărată?””

„Acesta arată ca un model. Trebuie să continue. Deci, conjectura local-globală trebuie să fie falsă”, și-a amintit Stange gândindu-se. „James a fost mai sceptic.”

„Primul meu gând a fost că trebuie să existe o eroare în codul meu”, a spus Rickards. „Vreau să spun, acesta a fost singurul lucru rezonabil la care mă puteam gândi.”

În jumătate de zi, Rickards a venit. Modelul a exclus toate perechile în care primul număr este de forma 8 × (3n ± 1)² iar al doilea este de 24 de ori orice pătrat. Aceasta înseamnă că 24 și 8 nu apar niciodată în același pachet. Cifrele la care te-ai aștepta să apară nu apar.

„Am fost cam amețit. Nu se întâmplă foarte des că ceva te surprinde cu adevărat”, a spus Stange. „Dar asta este magia jocului cu datele.”

Hârtia de iulie conturează o dovadă riguroasă că tiparul pe care l-au observat continuă la nesfârșit, infirmând presupunerea. Dovada se bazează pe un principiu vechi de secole numit reciprocitate pătratică care implică pătratele a două numere prime. Echipa lui Stange a descoperit cum se aplică reciprocitatea ambalajelor în cerc. Ea explică de ce anumite curburi nu pot fi tangente unele la altele. Regula, numită obstrucție, se propagă în întregul ambalaj. „Este doar un lucru cu totul nou”, a spus Jeffrey Lagarias, un matematician de la Universitatea din Michigan, care a fost co-autor al lucrării din 2003. „Au găsit-o în mod ingenios”, a spus Sarnak. „Dacă aceste numere ar apărea, ar încălca reciprocitatea.”

Căderea

O serie de alte presupuneri în teoria numerelor ar putea fi acum puse la îndoială. La fel ca și conjectura local-globală, ele sunt greu de dovedit, dar s-a dovedit deja că sunt valabile pentru aproape toate cazurile și, în general, se presupune că sunt adevărate.

De exemplu, Fuchs studiază triplele lui Markov, seturi de numere care satisfac ecuația x² + y² + z² = 3xyz. Ea și alții au arătat că anumite tipuri de soluții sunt conectate pentru numere prime mai mari de 10³⁹². Toată lumea crede că modelul ar trebui să continue până la infinit. Dar în lumina noului rezultat, Fuchs și-a permis să simtă o stropire de îndoială. „Poate că îmi lipsește ceva”, a spus ea. „Poate că tuturor lipsește ceva.”

„Acum că avem un singur exemplu în care este fals, întrebarea este: este fals și pentru aceste alte exemple?” spuse Rickards.

Există și conjectura lui Zaremba. Se spune că o fracție cu orice numitor poate fi exprimată ca o fracție continuă care utilizează numai numerele între 1 și 5. În 2014, Kontorovich și Bourgain au arătat că conjectura lui Zaremba este valabilă pentru aproape toate numerele. Dar surpriza legată de împachetarea cercurilor a subminat încrederea în conjectura lui Zaremba.

Dacă problema de împachetare este un prevestitor al lucrurilor care vor veni, datele computaționale pot fi instrumentul anulării acesteia.

„Întotdeauna mi se pare fascinant când o nouă matematică se naște doar din doar privind datele”, a spus Fuchs. „Fără el, este foarte greu de imaginat că [ei] ar fi dat peste asta.”

Stange a adăugat că nimic din toate acestea nu s-ar fi întâmplat fără proiectul de vară cu mize mici. „Serendipitatea și o atitudine de explorare jucăușă au ambele un rol atât de mare în descoperire”, a spus ea.

„A fost pură coincidență”, a spus Haag. „Dacă nu aș fi fost suficient de mare, nu am fi observat.” Lucrarea este de bun augur pentru viitorul teoriei numerelor. „Puteți obține înțelegerea matematicii prin intuiție, prin dovezi”, a spus Stange. „Și ai foarte multă încredere în asta pentru că ai petrecut mult timp gândindu-te la asta. Dar nu poți contrazice datele.”

Nota editorului: Alex Kontorovich este membru al Revista Quantaconsiliul științific consultativ al lui. El a fost intervievat pentru această poveste, dar nu a contribuit altfel la producerea ei.