Când Daniel Larsen era la gimnaziu, a început să creeze cuvinte încrucișate. A trebuit să pună hobby-ul peste celelalte interese ale lui: șah, programare, pian, vioară. S-a calificat de două ori la Scripps National Spelling Bee, lângă Washington, DC, după ce a câștigat competiția sa regională. „Se concentrează pe ceva și este doar bang, bang, bang, până când reușește”, a spus mama lui Larsen, Ayelet Lindenstrauss. Primele sale cuvinte încrucișate au fost respinse de marile ziare, dar el a continuat și în cele din urmă a intervenit. Până în prezent, el deține recordul pentru ca cea mai tânără persoană să publice un cuvinte încrucișate în New York Times, la 13 ani. „Este foarte persistent”, a spus Lindenstrauss.
Totuși, cea mai recentă obsesie a lui Larsen a fost diferită, „mai lungă și mai intensă decât majoritatea celorlalte proiecte ale lui”, a spus ea. Timp de mai bine de un an și jumătate, Larsen nu s-a putut opri să se gândească la o anumită problemă de matematică.
Avea rădăcini într-o întrebare mai largă, una pe care matematicianul Carl Friedrich Gauss o considera printre cele mai importante în matematică: cum să distingem un număr prim (un număr care este divizibil doar cu 1 și cu el însuși) de un număr compus. De sute de ani, matematicienii au căutat o modalitate eficientă de a face acest lucru. Problema a devenit relevantă și în contextul criptografiei moderne, deoarece unele dintre cele mai utilizate criptosisteme de astăzi implică efectuarea de aritmetică cu numere prime enorme.
Cu peste un secol în urmă, în căutarea unui test de primalitate rapid și puternic, matematicienii au dat peste un grup de necăjitori – numere care păcălesc testele făcându-le să creadă că sunt prime, chiar dacă nu sunt. Aceste pseudoprime, cunoscute sub numele de numere Carmichael, au fost deosebit de greu de înțeles. Abia la mijlocul anilor 1990, de exemplu, matematicienii au demonstrat că există o infinitate de ei. A putea spune ceva mai multe despre modul în care sunt distribuite de-a lungul liniei numerice a reprezentat o provocare și mai mare.
Apoi a venit și Larsen cu o nouă dovadă doar despre asta, unul inspirat de lucrările epocale recente într-un domeniu diferit al teoriei numerelor. La acea vreme, avea doar 17 ani.
Scânteia
Crescut în Bloomington, Indiana, Larsen a fost întotdeauna atras de matematică. Părinții săi, ambii matematicieni, l-au introdus pe el și pe sora lui mai mare în subiect când erau tineri. (Acum urmează un doctorat în matematică.) Când Larsen avea 3 ani, își amintește Lindenstrauss, el a început să-i pună întrebări filozofice despre natura infinitului. „M-am gândit că acest copil are o minte matematică”, a spus Lindenstrauss, profesor la Universitatea Indiana.
Apoi, în urmă cu câțiva ani, pe vremea când era cufundat în proiectele sale de ortografie și cuvinte încrucișate, a dat peste un documentar despre Yitang Zhang, un matematician necunoscut care a ieșit din obscuritate în 2013 după dovedind un rezultat de reper care pune o limită superioară a golurilor dintre numere prime consecutive. Ceva a făcut clic în Larsen. Nu se putea opri să se gândească la teoria numerelor și la problema conexă pe care Zhang și alți matematicieni încă sperau să o rezolve: conjectura primelor gemene, care afirmă că există infinit de perechi de numere prime care diferă doar cu 2.
După munca lui Zhang, care a arătat că există infinit de perechi de numere prime care diferă cu mai puțin de 70 de milioane, alţii au sărit înăuntru pentru a coborî și mai mult această limită. În câteva luni, matematicienii James Maynard și Terence tao a dovedit independent o afirmație și mai puternică despre decalajele dintre numere prime. Acest decalaj s-a redus de atunci la 246.
Larsen a vrut să înțeleagă unele dintre matematicile care stau la baza lucrării lui Maynard și Tao, „dar a fost aproape imposibil pentru mine”, a spus el. Hârtiile lor erau mult prea complicate. Larsen a încercat să citească lucrări înrudite, doar pentru a o găsi de asemenea impenetrabilă. A continuat, sărind de la un rezultat la altul, până când, în cele din urmă, în februarie 2021, a dat peste o hârtie pe care i s-a părut frumos și de înțeles. Subiectul său: numerele Carmichael, acele numere compuse ciudate care uneori s-ar putea pretinde drept prime.
Toate, în afară de Prime
La mijlocul secolului al XVII-lea, matematicianul francez Pierre de Fermat i-a scris o scrisoare prietenei și confidentului său Frénicle de Bessy, în care a afirmat ceea ce mai târziu va fi cunoscut sub numele de „micuța sa teoremă”. Dacă N este un număr prim, atunci bN - b este întotdeauna un multiplu al N, indiferent de situatie b este. De exemplu, 7 este un număr prim și, ca rezultat, 27 – 2 (care este egal cu 126) este un multiplu al lui 7. În mod similar, 37 – 3 este un multiplu al lui 7 și așa mai departe.
Matematicienii au văzut potențialul unui test perfect pentru a stabili dacă un anumit număr este prim sau compus. Ei ştiau că dacă N este prim, bN - b este întotdeauna un multiplu al N. Dacă ar fi și inversul adevărat? Adică dacă bN - b este un multiplu al N pentru toate valorile de b, trebuie sa N fi prim?
Din păcate, s-a dovedit că, în cazuri foarte rare, N poate satisface această condiție și totuși să fie compozit. Cel mai mic astfel de număr este 561: pentru orice număr întreg b, b561 - b este întotdeauna un multiplu al lui 561, chiar dacă 561 nu este prim. Numerele ca acestea au fost numite după matematicianul Robert Carmichael, căruia i se atribuie adesea primul exemplu în 1910 (deși matematicianul ceh Václav Šimerka a descoperit independent exemple în 1885).
Matematicienii au vrut să înțeleagă mai bine aceste numere care seamănă atât de mult cu cele mai fundamentale obiecte din teoria numerelor, numerele prime. S-a dovedit că în 1899 — cu un deceniu înainte de rezultatul lui Carmichael — un alt matematician, Alwin Korselt, a venit cu o definiție echivalentă. Pur și simplu nu știa dacă există numere care să se potrivească.
După criteriul lui Korselt, un număr N este un număr Carmichael dacă și numai dacă îndeplinește trei proprietăți. În primul rând, trebuie să aibă mai mult de un factor prim. În al doilea rând, niciun factor prim nu se poate repeta. Și al treilea, pentru fiecare primă p care desparte N, p – 1 de asemenea împarte N – 1. Luați în considerare din nou numărul 561. Este egal cu 3 × 11 × 17, deci satisface în mod clar primele două proprietăți din lista lui Korselt. Pentru a arăta ultima proprietate, scădeți 1 din fiecare factor prim pentru a obține 2, 10 și 16. În plus, scădeți 1 din 561. Toate cele trei numere mai mici sunt divizori ai lui 560. Prin urmare, numărul 561 este un număr Carmichael.
Deși matematicienii bănuiau că există infinit de multe numere Carmichael, sunt relativ puține în comparație cu numerele prime, ceea ce le-a făcut dificil de identificat. Apoi, în 1994, Red Alford, Andrew Granville și Carl Pomerance a publicat o descoperire hârtie în care au demonstrat în cele din urmă că există într-adevăr o infinitate de aceste pseudoprime.
Din păcate, tehnicile pe care le-au dezvoltat nu le-au permis să spună nimic despre cum arată acele numere Carmichael. Au apărut în grupuri de-a lungul liniei numerice, cu goluri mari între ele? Sau ai putea găsi întotdeauna un număr Carmichael într-un interval scurt? „Te-ai gândi că dacă poți dovedi că există infinit de multe dintre ele”, a spus Granville, „cu siguranță ar trebui să poți demonstra că nu există decalaje mari între ele, că ar trebui să fie relativ bine distanțate.”
În special, el și coautorii săi au sperat să demonstreze o afirmație care reflectă această idee - care dat fiind un număr suficient de mare X, va exista întotdeauna un număr Carmichael între X și 2X. „Este un alt mod de a exprima cât de omniprezente sunt”, a spus Jon Grantham, un matematician la Institutul pentru Analize de Apărare, care a făcut lucrări conexe.
Dar timp de zeci de ani, nimeni nu a putut dovedi asta. Tehnicile dezvoltate de Alford, Granville și Pomerance „ne-au permis să arătăm că vor fi multe numere Carmichael”, a spus Pomerance, „dar nu ne-au permis să avem foarte mult control asupra locului în care s-ar afla. ”
Apoi, în noiembrie 2021, Granville a deschis un e-mail de la Larsen, atunci în vârstă de 17 ani și în ultimul an de liceu. A hârtie era atașat - și spre surprinderea lui Granville, părea corect. „Nu a fost cel mai ușor de citit vreodată”, a spus el. „Dar când am citit-o, a fost destul de clar că nu se încurca. Avea idei geniale.”
Pomerance, care a citit o versiune ulterioară a lucrării, a fost de acord. „Dovada lui este într-adevăr destul de avansată”, a spus el. „Ar fi o lucrare pe care orice matematician ar fi cu adevărat mândru să o scrie. Și iată un copil de liceu care o scrie.”
Cheia demonstrației lui Larsen a fost munca care îl atrasese în primul rând către numerele Carmichael: rezultatele lui Maynard și Tao privind lacunele prime.
Improbabil - Nu imposibil
Când Larsen și-a propus pentru prima dată să arate că poți găsi întotdeauna un număr Carmichael într-un interval scurt, „se părea că era atât de evident adevărat, cât de greu poate fi de demonstrat?” el a spus. Și-a dat seama repede că poate fi foarte greu. „Aceasta este o problemă care testează tehnologia timpului nostru”, a spus el.
În lucrarea lor din 1994, Alford, Granville și Pomerance au arătat cum să creeze un număr infinit de numere Carmichael. Dar nu au reușit să controleze dimensiunea numerelor prime pe care le-au folosit pentru a le construi. Asta ar trebui să facă Larsen pentru a construi numere Carmichael care au dimensiuni relativ apropiate. Dificultatea problemei l-a îngrijorat pe tatăl său, Michael Larsen. „Nu am crezut că este imposibil, dar am crezut că este puțin probabil să reușească”, a spus el. „Am văzut cât timp petrecea cu el... și am simțit că ar fi devastator pentru el să dea atât de mult din el însuși la asta și să nu o primească.”
Totuși, știa mai bine decât să încerce să-și descurajeze fiul. „Când Daniel se angajează să facă ceva care îl interesează cu adevărat, el se menține din greu și din greu”, a spus el.
Așa că Larsen s-a întors la lucrările lui Maynard - în special, la lucru, arătând că, dacă luați anumite secvențe de suficiente numere, un subset al acelor numere trebuie să fie prime. Larsen a modificat tehnicile lui Maynard pentru a le combina cu metodele folosite de Alford, Granville și Pomerance. Acest lucru i-a permis să se asigure că numerele prime cu care a ajuns vor varia în mărime - suficient pentru a produce numere Carmichael care s-ar încadra în intervalele pe care le dorea.
„El are mai mult control asupra lucrurilor decât am avut noi vreodată”, a spus Granville. Și a reușit acest lucru printr-o utilizare deosebit de inteligentă a operei lui Maynard. „Nu este ușor... să folosiți acest progres pe intervale scurte dintre numerele prime”, a spus Kaisa Matomäki, matematician la Universitatea din Turku din Finlanda. „Este destul de frumos că este capabil să combine asta cu această întrebare despre numerele Carmichael.”
De fapt, argumentul lui Larsen nu i-a permis doar să arate că un număr Carmichael trebuie să apară întotdeauna între X și 2X. Dovada lui funcționează și pentru intervale mult mai mici. Matematicienii speră acum că va ajuta și la dezvăluirea altor aspecte ale comportamentului acestor numere ciudate. „Este o idee diferită”, a spus Thomas Wright, un matematician la Wofford College din Carolina de Sud care lucrează la pseudoprime. „Se schimbă multe lucruri despre cum am putea dovedi lucruri despre numerele Carmichael.”
Grantham a fost de acord. „Acum poți face lucruri la care nu te-ai gândit niciodată”, a spus el.
Larsen, între timp, tocmai și-a început anul în primul rând la Institutul de Tehnologie din Massachusetts. Nu este sigur la ce problemă ar putea lucra în continuare, dar este dornic să afle ce este acolo. „Doar urmez cursuri... și încerc să fiu deschis la minte”, a spus el.
„A făcut toate acestea fără studii de licență”, a spus Grantham. „Îmi pot imagina doar ce va veni cu el la școală absolventă.”
