Таинственная математика бильярдных столов | Журнал Кванта

В фильме Диснея 1959 года Дональд в MathMagic Земля, Дональд Дак, вдохновленный описаниями рассказчика геометрии бильярда, энергично ударяет по битку, отправляя его рикошетом вокруг стола, прежде чем он наконец попадет в намеченные шары. Дональд спрашивает: «Как вам такое по математике?»

Поскольку прямоугольные бильярдные столы имеют четыре стенки, сходящиеся под прямым углом, бильярдные траектории, подобные траектории Дональда, предсказуемы и хорошо понятны, даже если их трудно реализовать на практике. Однако математики-исследователи до сих пор не могут ответить на элементарные вопросы о возможных траекториях бильярдных шаров на столах в форме других многоугольников (форм с плоскими сторонами). Даже треугольники, простейшие из многоугольников, до сих пор таят в себе загадку.

Всегда ли можно ударить по мячу так, чтобы он вернулся в исходную точку, двигаясь в том же направлении, создавая так называемую периодическую орбиту? Никто не знает. Для других, более сложных форм неизвестно, можно ли перебросить мяч из любой точки стола в любую другую точку стола.

Хотя эти вопросы, кажется, идеально вписываются в рамки геометрии, которую преподают в средней школе, попытки решить их потребовали от некоторых выдающихся математиков мира привнести идеи из самых разных областей, включая динамические системы, топологию и дифференциальную геометрию. Как и в случае с любой великой математической задачей, работа над этими задачами создала новую математику и способствовала развитию знаний в других областях. Однако, несмотря на все эти усилия и проницательность современных компьютеров, эти, казалось бы, простые проблемы упорно не решаются.

Вот что математики узнали о бильярде после эпического запутанного броска Дональда Дака.

Они обычно предполагают, что их бильярдный шар представляет собой бесконечно маленькую безразмерную точку и что он отскакивает от стен с идеальной симметрией, уходя под тем же углом, под которым приземлился, как показано ниже.

Без трения мяч движется бесконечно, пока не достигнет угла, который останавливает мяч, как лузу. Причина, по которой бильярд так сложно анализировать математически, заключается в том, что два почти одинаковых удара, приземлившиеся по обе стороны от угла, могут иметь сильно расходящиеся траектории.

Ключевой метод анализа многоугольного бильярда — не думать о том, что шар отскакивает от края стола, а вместо этого представить, что каждый раз, когда шар ударяется о стену, он продолжает двигаться в новую копию стола, которая переворачивается. край, создавая зеркальное изображение. Этот процесс (см. ниже), называемый разворачиванием бильярдной дорожки, позволяет шару продолжать двигаться по прямой траектории. Сложив воображаемые таблицы обратно на их соседей, можно восстановить реальную траекторию полета мяча. Этот математический трюк позволяет доказать то, что в противном случае было бы сложно увидеть о траектории.

Например, его можно использовать, чтобы показать, почему простые прямоугольные таблицы имеют бесконечное количество периодических траекторий, проходящих через каждую точку. Аналогичный аргумент справедлив для любого прямоугольника, но для конкретики представьте себе таблицу, ширина которой в два раза превышает длину.

Предположим, вы хотите найти периодическую орбиту, пересекающую таблицу n раз в длинном направлении и m раз в коротком направлении. Поскольку каждое зеркальное изображение прямоугольника соответствует мячу, отскакивающему от стены, для того, чтобы мяч вернулся в исходную точку, двигаясь в том же направлении, его траектория должна пересечь стол четное количество раз в обоих направлениях. Так m и n должно быть четным. Разложите сетку из одинаковых прямоугольников, каждый из которых рассматривается как зеркальное отображение своих соседей. Нарисуйте отрезок линии от точки исходной таблицы до такой же точки на копии. n столы далеко в длинном направлении и m столы далеко в коротком направлении. Немного скорректируйте исходную точку, если путь проходит через угол. Вот пример, где n = 2 и m = 6. В сложенном состоянии траектория образует периодическую траекторию, как показано в зеленом прямоугольнике.

Треугольное неравенство

Бильярд в треугольниках, у которых нет красивой прямоугольной геометрии прямоугольников, более сложен. Как вы, возможно, помните из школьной геометрии, существует несколько видов треугольников: остроугольные, у которых все три внутренних угла меньше 90 градусов; прямоугольные треугольники, имеющие угол 90 градусов; и тупоугольные треугольники, у которых один угол больше 90 градусов.

Бильярдные столы в форме остроугольных и прямоугольных треугольников имеют периодические траектории. Но никто не знает, верно ли то же самое для тупоугольных треугольников.

Чтобы найти периодическую траекторию в остроугольном треугольнике, проведите перпендикуляр от каждой вершины к противоположной стороне, как показано слева внизу. Соедините точки, где встречаются прямые углы, чтобы сформировать треугольник, как показано справа.

Этот вписанный треугольник представляет собой периодическую бильярдную траекторию, названную орбитой Фаньяно, названной в честь Джованни Фаньяно, который в 1775 году показал, что этот треугольник имеет наименьший периметр из всех вписанных треугольников.

В начале 1990-х годов Фред Холт из Вашингтонского университета и Григорий Гальперин и его сотрудники из МГУ самостоятельно показал что каждый прямоугольный треугольник имеет периодические орбиты. Один простой способ показать это — отобразить треугольник вокруг одной ноги, а затем другой, как показано ниже.

Начните с траектории, расположенной под прямым углом к ​​гипотенузе (длинной стороне треугольника). Гипотенуза и ее второе отражение параллельны, поэтому соединяющий их перпендикулярный отрезок соответствует траектории, которая будет вечно подпрыгивать взад и вперед: Шар покидает гипотенузу под прямым углом, отскакивает от обоих катетов, возвращается к гипотенузе справа. угол, а затем возвращается по своему маршруту.

Но тупоугольные треугольники остаются загадкой. В своей статье 1992 года Гальперин и его коллеги предложили множество методов отражения тупоугольных треугольников, позволяющих создавать периодические орбиты, но эти методы работали только в некоторых особых случаях. Затем, в 2008 году, Ричард Шварц в Университете Брауна показали, что все тупоугольные треугольники с углы 100 градусов или меньше содержат периодическую траекторию. Его подход заключался в разбиении проблемы на несколько случаев и проверке каждого случая с помощью традиционной математики и компьютера. В 2018 году Якоб Гарбер, Боян Маринов, Кеннет Мур и Джордж Токарский из Университета Альберты расширил этот порог до 112.3 градуса. (Токарский и Маринов провел более десяти лет преследуя эту цель.)

Топологический поворот

Другой подход был использован, чтобы показать, что если все углы рациональны — то есть они могут быть выражены в виде дробей — тупоугольные треугольники с еще большими углами должны иметь периодические траектории. Вместо того, чтобы просто копировать многоугольник на плоской плоскости, этот подход отображает копии многоугольников на топологические поверхности, в виде «бубликов» с одним или несколькими отверстиями в них.

Если вы отразите прямоугольник по его короткой стороне, а затем отразите оба прямоугольника по их самой длинной стороне, создав четыре версии исходного прямоугольника, а затем склеите верхнюю и нижнюю части вместе, а также левую и правую стороны, вы получите пончик. или тор, как показано ниже. Бильярдные траектории на столе соответствуют траекториям на торе, и наоборот.

В знаковой статье 1986 года Говард Мазур использовал этот метод, чтобы показать, что все многоугольные таблицы с рациональными углами имеют периодические орбиты. Его подход работал не только для тупоугольных треугольников, но и для гораздо более сложных форм: скажем, неправильные 100-гранные столы или многоугольники, стенки которых зигзагообразны, образуя укромные уголки и щели, имеют периодические орбиты, если углы рациональны.

Несколько примечательно то, что существование одной периодической орбиты в многоугольнике предполагает существование их бесконечного числа; небольшое смещение траектории даст семейство связанных периодических траекторий.

Проблема освещения

Формы с укромными уголками и щелями вызывают похожий вопрос. Вместо того, чтобы задаваться вопросом о траекториях, которые возвращаются в исходную точку, эта задача спрашивает, могут ли траектории посещать каждую точку данной таблицы. Это называется проблемой освещения, потому что мы можем думать о ней, представляя лазерный луч, отражающийся от зеркальных стен, окружающих бильярдный стол. Мы спрашиваем, всегда ли можно, имея две точки на конкретном столе, направить лазер (в идеале бесконечно тонкий луч света) из одной точки в другую. Другими словами, если бы мы поместили в какую-то точку стола лампочку, которая светит сразу во всех направлениях, осветила бы она всю комнату?

Было два основных направления исследования этой проблемы: поиск форм, которые нельзя осветить, и доказательство того, что большие классы фигур могут быть освещены. В то время как найти необычные формы, которые невозможно осветить, можно с помощью умного применения простой математики, доказать, что многие формы можно осветить, удалось только с помощью тяжелого математического аппарата.

В 1958 Роджер Пенроуз, математик, который впоследствии выиграл 2020 Нобелевская премия по физике, нашел изогнутую таблицу, в которой ни одна точка в одной области не могла осветить ни одну точку в другой области. На протяжении десятилетий никто не мог придумать многоугольник, обладающий таким же свойством. Но в 1995 году Токарский использовал простой факт о треугольниках, чтобы создать блочный 26-сторонний многоугольник с двумя взаимно недоступными точками, как показано ниже. То есть лазерный луч, выпущенный из одной точки, независимо от его направления, не может попасть в другую точку.

Ключевая идея, которую Токарский использовал при построении своей специальной таблицы, заключалась в том, что если лазерный луч стартовал под одним из острых углов треугольника 45–45–90°, он никогда не сможет вернуться в этот угол.

Его неровная таблица состоит из 29 таких треугольников, составленных таким образом, чтобы умело использовать этот факт. В 2019 году Амит Волецкий, тогда еще аспирант Тель-Авивского университета, применил ту же технику к создать форму с 22 сторонами (показано ниже), что, как он доказал, было наименьшим возможным количеством сторон для фигуры, имеющей две внутренние точки, не освещающие друг друга.

Доказать результаты в другом направлении было намного сложнее. В 2014 году Марьям Мирзахани, математик из Стэнфордского университета, стала первой женщиной, выиграть медаль Филдса, самую престижную награду в области математики, за работу над пространствами модулей римановых поверхностей — своего рода обобщение пончиков, которые Мазур использовала, чтобы показать, что все многоугольные таблицы с рациональными углами имеют периодические орбиты. В 2016 году Самуэль Лельевр Университета Париж-Сакле, Тьерри Монтей Французского национального центра научных исследований и Барак Вайс Тель-Авивского университета применили ряд результатов Мирзахани показать что любая точка рационального многоугольника освещает все точки, кроме конечного числа. Могут быть изолированные темные пятна (как в примерах Токарского и Волецкого), но не должно быть темных областей, как в примере Пенроуза, где стенки изогнуты, а не прямые. В Статья Волецкого 2019 г., он усилил этот результат, доказав, что существует лишь конечное число пар неосвещаемых точек.

К сожалению, Мирзахани умер в 2017 году в возрасте 40 лет, после борьбы с раком. Казалось, ее работа далека от трюков в бильярдных. И все же анализ бильярдных траекторий показывает, как даже самая абстрактная математика может быть связана с миром, в котором мы живем.