Математики устраняют давнюю угрозу гипотезе об узле

Более 60 лет назад Ральф Фокс поставил задачу об узлах, которая до сих пор не дает покоя математикам. Его вопрос в настоящее время часто формулируется как «гипотеза о срезе ленты», которая утверждает, что две, казалось бы, разные группы узлов на самом деле являются одним и тем же. Предлагая элегантную простоту в мире узлов, она стала одной из самых громких проблем в теории узлов. «Это означало бы, что мир немного более структурирован, чем можно было бы ожидать», — сказал он. Арунима Рэй, математик из Математического института Макса Планка в Бонне.

В течение десятилетий подозревали, что один конкретный узел может быть возможным путем к урегулированию гипотезы. Тем не менее в статья опубликована прошлым летом, пять математиков обнаружили, что этот узел в конце концов не сработает. Хотя аргументы, которые они представили, дадут новое понимание более широкого класса узлов, работа в целом оставляет математиков неуверенными в гипотезе. «Я думаю, что есть законные разногласия по поводу того, окажется ли это правдой или нет», — сказал Кристен Хендрикс, математик из Университета Рутгерса.

Гипотеза о срезе-ленте касается двух типов узлов: срезных узлов и ленточных узлов. Выяснение того, какие узлы являются срезами, является «одним из фундаментальных вопросов, вокруг которых вращается наша тема», — сказал он. Абхишек Маллик, один из авторов новой статьи.

Математический узел можно представить как обычную петлю из нити. Математики называют простую петлю без узла «неузлом». (Хотя это и не узел в обычном смысле этого слова, математики рассматривают узел как простейший пример узла.)

Узлы также определяют границу формы, которую математики называют диском, хотя она не всегда выглядит как диск в обычном смысле этого слова. Самый простой пример, узел, образует границу круга — «диска», который действительно похож на диск. Но петля образует границу не только круга, лежащего плоско на столе, но и чаши, простирающейся в трех измерениях, лежащей вверх дном на столе. Диски, которые определяют узлы, могут быть дополнительно расширены из трех измерений в четыре.

Если на струне есть узел, диски усложняются. В трехмерном пространстве у этих дисков есть сингулярности — точки, в которых они математически плохо себя ведут. Узлы-срезы — это узлы, для которых можно — в четырех измерениях — найти диск без таких сингулярностей. Разрезанные узлы — это «следующая лучшая вещь в развязку», как сказал Питер Тейхнер, также из Института Макса Планка, поставил.

Несмотря на это, диски, ограниченные узлами-срезами в трех измерениях, могут быть уродливыми и трудными для работы. Гипотеза о срезе ленты говорит, что они не обязательно должны быть такими.

Ленточные узлы — это узлы, диски которых напоминают ленты. В трех измерениях эти ленты могут проходить сквозь себя, как обыкновенную ленту можно протянуть через прорезь, проделанную в ее центре. Математически такой переход называется ленточной особенностью. В отличие от других типов особенностей, ленточная особенность может быть легко устранена путем перехода в четыре измерения. Это позволяет математикам легко показать, что все ленточные узлы являются ломтиками.

Обратное утверждение — что каждый узел-срез также является лентой — это гипотеза о срезе-ленте, которая десятилетиями оставалась открытым вопросом. (Чтобы еще больше усложнить ситуацию, узлы-срезы имеют несколько родственных классификаций, в том числе «гладкий срез» и «топологический срез». Эта гипотеза применима только к типу узла «гладкий срез», который математики обычно подразумевают под «срезом».)

Для опровержения гипотезы достаточно найти плавно разрезанный узел, а не ленту. На протяжении десятилетий математики присматривались к кандидату: трос (2, 1) узла «восьмерка», образованный путем протягивания второй нити вдоль узла «восьмерка», а затем слияния двух нитей в один узел.

В 1980 году Акио Каваучи доказал, что этот узел является как рационально, так и алгебраически срезанным, что похоже на плавный срез, но не совсем то же самое. В 1994 году Катура Миядзаки доказал, что это не лента, оставив математикам тревожное открытие. Если бы результат Каваучи можно было усилить, чтобы показать, что узел гладко разрезан, это опровергло бы гипотезу.

Новая статья доказывает, что рассматриваемый узел в конце концов не разрезан, захлопывая эту дверь.

«Гипотеза о перерезанной ленте все еще актуальна», — сказал Хендрикс, тесно сотрудничавший с двумя авторами новой статьи. «Это очень интересно, потому что люди довольно долго пытались понять этот пример».

Новое доказательство основано на так называемом разветвленном двойном покрытии. Вы можете визуализировать разветвленное двойное покрытие, представив полую сферу, например баскетбольный мяч. Чтобы сделать разветвленное двойное покрытие баскетбольного мяча, разрежьте его сверху вниз по одной из линий долготы. Теперь потяните за одну сторону резины, где вы разрезали, растягивая ее вдоль экватора, пока материал не обернется вокруг. После того, как вы закончите это преобразование, у вас будет баскетбольный мяч, сделанный из двух взаимозаменяемых слоев материала, отсюда и «двойное покрытие». (В этом сценарии резину можно растягивать и скручивать как угодно, не ломая и не сминая.)

«Разветвленный» в «разветвленном двойном покрытии» происходит от причуды трансформации. Поскольку вы растянулись по горизонтали, в самой верхней и нижней точках шара остается только один слой, северный и южный полюса. Эти точки называются точками ветвления, и их наличие превращает двойное покрытие в разветвленное двойное покрытие.

Что касается узлов, разветвленное двойное покрытие собирается таким образом, что точки ветвления являются самим узлом: точками, которые, как северный и южный полюса баскетбольного мяча, закрываются только один раз.

«Исторически, просмотр двойных разветвленных крышек был стандартным инструментом торговли», — сказал он. Дженнифер Хом, математик из Технологического института Джорджии, который работал с двумя авторами новой статьи. Это потому, что подобно баскетбольному мячу, окружающему воздушный шар, разветвленная двойная оболочка узла-среза окружает определенную четырехмерную форму. Если математики смогут показать, что разветвленное двойное покрытие узла не окружает правильную четырехмерную форму, они смогут исключить возможность того, что узел является разрезным.

Но это не совсем работает для троса (2, 1) узла «восьмерка»: его разветвленная двойная оболочка действительно окружает правильный тип четырехмерной формы. Показ того, что трос (2, 1) узла восьмерки не является разрезным, зависит от часто упускаемой из виду симметрии формы.

Когда вы растягиваете поверхность баскетбольного мяча, чтобы сформировать разветвленное двойное покрытие, вы можете представить, что делаете что-то похожее на трехмерный воздушный шар внутри. Когда вы натягиваете резину вокруг мяча, просто тяните за собой воздух. Точно так же, как два слоя резины взаимозаменяемы, в воздушном шаре есть два полушария, оба из которых заканчиваются в одном и том же месте. Другими словами, симметрия снаружи шара распространяется внутрь.

Точно так же симметрии на разветвленном двойном покрытии узла-среза достигают внутри четырехмерного пространства. Математики обычно игнорируют эту симметрию, когда пытаются показать, что узлы не являются срезными. Но в данном случае это было необходимо. Если бы авторы новой работы смогли показать, что такой симметрии не существует, они смогли бы сделать вывод, что узел не разрезной.

«Поскольку вопрос не относится к какой-либо симметрии, вы можете подумать: ну, как симметрия появляется на картинке, чтобы что-то о ней говорить? Но каким-то волшебным образом в этом случае появляется симметрия и решает проблему за вас», — сказал Маллик, автор новой статьи с Ирвинг Дай Стэнфордского университета, Чон Хван Пак из Корейского передового института науки и технологий, Мэтью Стоффреген Мичиганского государственного университета и Сонгюнг Кан Института фундаментальных наук в Южной Корее.

«Мы знали, что там есть эта структура. Но отчасти причина, по которой люди не изучали ее, заключается в том, что у нас не было возможности отслеживать эту структуру», — сказал Рэй. «Вам нужен модный, мощный инструмент, чтобы обнаружить это».

Чтобы привести аргумент, команде пришлось использовать глубокую, сложную математику, связанную с узлом и окружающим его пространством, полагаясь на симметрии даже более тонкие, чем симметрии разветвленного двойного покрытия. В два предыдущие документы, Дай, Маллик и Штоффреген рассчитали некоторые из этих свойств. Когда прошлым летом Канг нанес визит в Штоффреген в штате Мичиган, все еще думая о тросе (2, 1) узла «восьмерка», исследователи быстро поняли, что эти формулы решат проблему его тонкости. «Есть интуиция, которая подсказывала мне, что это вычисление должно работать», — сказал Канг. «И, просто вычислив его, мы сможем решить эту проблему прямо сейчас».

В конце июля их статья была размещена в Интернете, доказывая, что узел на самом деле не был разрезанным. Идеи, изложенные в статье, сказал Пак, должны быть применимы ко многим узлам, чья тонкость в настоящее время находится под вопросом. «Это только начало», — сказал он. Хотя эта статья посвящена конкретному узлу, Парк сказал, что разработанные ими инструменты будут работать для гораздо более общих семейств узлов. Однако отсутствие срезов исходного узла гарантирует, что гипотеза о срезе ленты пока останется неразрешенной.