Никогда не повторяющиеся плитки могут защитить квантовую информацию | Журнал Кванта

Если вы хотите выложить пол в ванной плиткой, квадратная плитка — самый простой вариант — она сочетается друг с другом без каких-либо зазоров в сетке, которая может продолжаться бесконечно. У этой квадратной сетки есть свойство, общее со многими другими мозаиками: сдвиньте всю сетку на фиксированную величину, и полученный узор станет неотличим от оригинала. Но для многих математиков такие «периодические» мозаики скучны. Если вы видели один маленький патч, вы видели все.

В 1960-х годах математики начали изучать «апериодические» наборы плиток с гораздо более богатым поведением. Пожалуй, самой известной из них является пара плиток ромбовидной формы, обнаруженная в 1970-х годах физиком-эрудитом и будущим нобелевским лауреатом. Роджер Пенроуз. Копии этих двух плиток могут образовывать бесконечное множество различных узоров, которые будут продолжаться вечно и которые называются мозаиками Пенроуза. Однако как бы вы ни располагали плитки, вы никогда не получите периодически повторяющийся узор.

«Это плитки, которых на самом деле не должно существовать», — сказал Николас Брейкманн, физик из Бристольского университета.

Уже более полувека апериодические мозаики очаровывают математиков, любителей и исследователей во многих других областях. Теперь два физика обнаружили связь между апериодическими мозаиками и, казалось бы, несвязанной отраслью информатики: исследованием того, как будущие квантовые компьютеры смогут кодировать информацию в защитить его от ошибок. В бумаги опубликованные на сервере препринтов arxiv.org в ноябре, исследователи показали, как преобразовать мозаику Пенроуза в совершенно новый тип квантового кода, исправляющего ошибки. Они также построили аналогичные коды на основе двух других видов апериодического мозаики.

В основе переписки лежит простое наблюдение: как в апериодических мозаиках, так и в квантовых кодах, исправляющих ошибки, изучение небольшой части большой системы ничего не раскрывает о системе в целом.

«Это одна из тех прекрасных вещей, которые кажутся очевидными в ретроспективе», — сказал Тоби Кубитт, исследователь квантовой информации из Университетского колледжа Лондона. «Вы говорите: «Почему я не подумал об этом?»

Запретное знание

Обычные компьютеры представляют информацию с помощью битов с двумя различными состояниями, обозначенными 0 и 1. Квантовые биты или кубиты также имеют два состояния, но их также можно объединить в так называемые суперпозиции, в которых их состояния 0 и 1 сосуществуют. Используя более сложные суперпозиции, включающие множество кубитов, квантовые компьютеры может выполнять определенные вычисления намного быстрее, чем любая обычная машина.

Однако квантовые суперпозиции — создания пугливые. Измерьте кубит в состоянии суперпозиции, и он схлопнется до 0 или 1, уничтожая все текущие вычисления. Что еще хуже, ошибки, возникающие из-за слабого взаимодействия между кубитами и их окружением, могут имитировать разрушительные эффекты измерений. Все, что сбивает кубит с пути, будь то любопытный исследователь или случайный фотон, может испортить расчет.

Эта крайняя хрупкость может сделать квантовые вычисления безнадежными. Но в 1995 году прикладной математик Питер Шор открытый умный способ хранения квантовой информации. Его кодировка имела два ключевых свойства. Во-первых, он мог допускать ошибки, которые затрагивали только отдельные кубиты. Во-вторых, в нем предусмотрена процедура исправления ошибок по мере их возникновения, предотвращающая их накопление и срыв вычислений. Открытие Шора стало первым примером квантового кода, исправляющего ошибки, и два его ключевых свойства являются определяющими чертами всех таких кодов.

Первое свойство вытекает из простого принципа: секретная информация менее уязвима, когда она разделена. Шпионские сети используют аналогичную стратегию. Каждый шпион знает очень мало о сети в целом, поэтому организация остается в безопасности, даже если какой-либо человек будет схвачен. Но квантовые коды, исправляющие ошибки, доводят эту логику до крайности. В квантовой шпионской сети ни один шпион вообще ничего не будет знать, но вместе они узнают очень многое.

Каждый квантовый код исправления ошибок представляет собой особый рецепт распределения квантовой информации по множеству кубитов в состоянии коллективной суперпозиции. Эта процедура эффективно преобразует кластер физических кубитов в один виртуальный кубит. Повторите этот процесс много раз с большим массивом кубитов, и вы получите множество виртуальных кубитов, которые можно использовать для выполнения вычислений.

Физические кубиты, составляющие каждый виртуальный кубит, подобны забывчивым квантовым шпионам. Измерьте любой из них, и вы ничего не узнаете о состоянии виртуального кубита, частью которого он является — свойство, называемое локальной неотличимостью. Поскольку каждый физический кубит не кодирует никакой информации, ошибки в отдельных кубитах не испортят вычисление. Информация, которая имеет значение, каким-то образом находится повсюду, но нигде конкретно.

«Вы не можете привязать это к какому-то отдельному кубиту», — сказал Кубитт.

Все квантовые коды, исправляющие ошибки, могут поглощать хотя бы одну ошибку, не оказывая никакого влияния на закодированную информацию, но все они в конечном итоге разрушаются по мере накопления ошибок. Именно здесь вступает в силу второе свойство квантовых кодов, исправляющих ошибки — фактическое исправление ошибок. Это тесно связано с локальной неотличимостью: поскольку ошибки в отдельных кубитах не уничтожают никакой информации, всегда можно исправить любую ошибку с использованием установленных процедур, специфичных для каждого кода.

Взяли на прогулку

Чжи Ли, постдок в Институте теоретической физики «Периметр» в Ватерлоо, Канада, хорошо разбирался в теории квантовой коррекции ошибок. Но эта тема была далека от его мыслей, когда он завязал разговор со своим коллегой. Лэтэм Бойл. Это была осень 2022 года, и два физика находились на вечернем шаттле из Ватерлоо в Торонто. Бойл, эксперт по апериодическим мозаикам, живший в то время в Торонто, а сейчас работающий в Эдинбургском университете, был знакомым лицом на тех маршрутных такси, которые часто застревали в плотном потоке машин.

«Обычно они могут быть очень несчастными», — сказал Бойл. «Это было похоже на величайшее событие всех времен».

До того рокового вечера Ли и Бойл знали о работе друг друга, но области их исследований напрямую не пересекались, и они никогда не разговаривали один на один. Но, как и бесчисленное множество исследователей в несвязанных между собой областях, Ли интересовала апериодическая мозаика. «Очень трудно быть неинтересным», — сказал он.

Интерес перерос в восхищение, когда Бойль упомянул об особом свойстве апериодических мозаик: локальной неотличимости. В этом контексте этот термин означает нечто иное. Один и тот же набор плиток может образовывать бесконечное множество плиток, которые в целом выглядят совершенно по-разному, но невозможно отличить любые две плитки, исследуя любую локальную область. Это потому, что каждый конечный участок любого тайла, независимо от его размера, будет где-то отображаться в любом другом тайле.

«Если я положу вас на ту или иную плитку и дам вам исследовать всю оставшуюся жизнь, вы никогда не сможете понять, положил ли я вас на вашу плитку или на свою», — сказал Бойл.

Ли это казалось дразнящим образом похожим на определение локальной неотличимости при квантовой коррекции ошибок. Он упомянул о связи с Бойлом, который был мгновенно ошеломлен. Математическая основа в этих двух случаях была совершенно разной, но сходство было слишком интригующим, чтобы его можно было игнорировать.

Ли и Бойл задались вопросом, смогут ли они установить более точную связь между двумя определениями локальной неотличимости, построив квантовый код, исправляющий ошибки, на основе класса апериодических мозаик. Они продолжали разговаривать на протяжении всей двухчасовой поездки на шаттле и к моменту прибытия в Торонто были уверены, что такой код возможен — оставалось лишь построить формальное доказательство.

Квантовые плитки

Ли и Бойл решили начать с мозаик Пенроуза, которые были простыми и знакомыми. Чтобы преобразовать их в квантовый код, исправляющий ошибки, им нужно сначала определить, как будут выглядеть квантовые состояния и ошибки в этой необычной системе. Эта часть была легкой. Бесконечная двумерная плоскость, покрытая плитками Пенроуза, подобная сетке кубитов, может быть описана с использованием математической структуры квантовой физики: квантовые состояния представляют собой определенные мозаики вместо 0 и 1. Ошибка просто удаляет один участок шаблона мозаики, подобно тому, как некоторые ошибки в массивах кубитов уничтожают состояние каждого кубита в небольшом кластере.

Следующим шагом было определение конфигураций тайлов, на которые не будут влиять локализованные ошибки, такие как состояния виртуальных кубитов в обычных квантовых кодах, исправляющих ошибки. Решением, как и в обычном коде, было использование суперпозиций. Тщательно выбранное наложение плитки Penrose похоже на раскладку плитки в ванной, предложенную самым нерешительным декоратором интерьера в мире. Даже если часть этого беспорядочного плана отсутствует, это не выдаст никакой информации об общем плане этажа.

Чтобы этот подход работал, Ли и Бойлю сначала пришлось различить два качественно разных отношения между отдельными мозаиками Пенроуза. Учитывая любую мозаику, вы можете создать бесконечное количество новых мозаик, сдвигая ее в любом направлении или вращая. Множество всех мозаик, сгенерированных таким образом, называется классом эквивалентности.

Однако не все мозаики Пенроуза попадают в один и тот же класс эквивалентности. Тайлинг в одном классе эквивалентности не может быть преобразован в тайлинг в другом классе с помощью любой комбинации вращений и трансляций — два бесконечных шаблона качественно различны, но все же локально неразличимы.

Имея это различие, Ли и Бойл наконец смогли создать код, исправляющий ошибки. Напомним, что в обычном квантовом коде, исправляющем ошибки, виртуальный кубит кодируется в суперпозиции физических кубитов. В их коде, основанном на тайлинге, аналогичные состояния представляют собой суперпозиции всех тайлингов внутри одного класса эквивалентности. Если плоскость покрыта такой суперпозицией, существует процедура заполнения пробелов без раскрытия какой-либо информации об общем квантовом состоянии.

«Плитка Пенроуза каким-то образом знала о квантовой коррекции ошибок до изобретения квантового компьютера», — сказал Бойл.

Интуиция Ли и Бойла во время поездки на автобусе оказалась верной. На глубоком уровне два определения локальной неотличимости сами по себе были неразличимы.

Поиск шаблона

Хотя новый код Ли и Бойля математически хорошо определен, его вряд ли можно было использовать на практике. Края плиток в мозаике Пенроуза не падают через равные промежутки времени, поэтому для определения их распределения требуются непрерывные действительные числа, а не дискретные целые числа. С другой стороны, квантовые компьютеры обычно используют дискретные системы, такие как сетки кубитов. Хуже того, мозаики Пенроуза неразличимы только локально на бесконечной плоскости, что плохо переносится на конечный реальный мир.

«Это очень любопытная связь», — сказал Барбара Терхал, исследователь квантовых вычислений в Делфтском технологическом университете. «Но также хорошо спустить его на землю».

Ли и Бойл уже сделали шаг в этом направлении, построив два других кода на основе тайлинга, в которых лежащая в основе квантовая система конечна в одном случае и дискретна в другом. Дискретный код также можно сделать конечным, но остаются и другие проблемы. Оба конечных кода могут исправлять только ошибки, которые сгруппированы вместе, тогда как наиболее популярные квантовые коды с исправлением ошибок могут обрабатывать случайно распределенные ошибки. Пока неясно, является ли это внутренним ограничением кодов на основе тайлинга или его можно обойти с помощью более умного дизайна.

«Можно проделать много последующей работы», — сказал он. Феликс Фликер, физик из Бристольского университета. «Все хорошие газеты должны делать это».

Необходимо лучше понять не только технические детали — новое открытие поднимает и более фундаментальные вопросы. Следующий очевидный шаг — определить, какие еще мозаики также работают как коды. Только в прошлом году математики открыли семейство апериодических мозаик что каждый использует только одну плитку. «Было бы интересно посмотреть, как эти недавние разработки могут быть связаны с проблемой квантовой коррекции ошибок», — написал Пенроуз в электронном письме.

Другое направление предполагает изучение связей между квантовыми кодами, исправляющими ошибки, и некоторыми модели квантовой гравитации. В 2020 бумага, Бойл, Фликер и покойная Мэдлин Диккенс показали, что в геометрии пространства-времени этих моделей появляются апериодические мозаики. Но эта связь возникла из-за свойства мозаики, которое не играет никакой роли в работе Ли и Бойля. Кажется, что квантовая гравитация, квантовая коррекция ошибок и апериодические мозаики — это разные части головоломки, контуры которой исследователи только начинают понимать. Как и в случае с самими апериодическими мозаиками, выяснение того, как эти части сочетаются друг с другом, может оказаться весьма сложной задачей.

«Эти разные вещи связывают глубокие корни», — сказал Фликер. «Этот дразнящий набор связей требует проработки».