Введение
Ранее в этом году трое математиков решили превратить лимоны в лимонад — и в итоге сделали большой прогресс над проблемой, над которой математики думали веками.
Все трое как раз заканчивали проект и думали о следующих шагах, когда в конце марта двое из них — Левент Альпёге Гарвардского университета и Ари Шнидман из Еврейского университета в Иерусалиме — заразились Covid-19 отдельно, но почти одновременно. Многие бы взяли перерыв в таких обстоятельствах, но третий член команды, Манджул Бхаргава из Принстонского университета, предложил противоположное. Он предположил, что увеличение их еженедельных встреч в Zoom до трех или четырех раз в неделю может отвлечь его больных сотрудников от их симптомов. Карантин, решили все трое, может стать возможностью спокойно подумать.
Во время этих встреч они рассматривали один из старейших вопросов теории чисел: сколько целых чисел можно представить в виде суммы двух кубических дробей, или, как их называют математики, рациональных чисел? Например, число 6 можно записать как (17/21)3 + (37/21)3, а 13 = (7/3)3+(2/3)3.
Математики десятилетиями подозревали, что половину всех целых чисел можно записать таким образом. Как и в случае с нечетными и четными числами, это свойство, по-видимому, делит целые числа на два равных лагеря: те, которые представляют собой сумму двух кубов, и те, которые таковыми не являются.
Но никто не смог доказать этого или хотя бы дать какую-либо оценку доли целых чисел, попадающих в каждый лагерь. Насколько знали математики, лагерь, состоящий из сумм рациональных кубов, мог быть исчезающе мал — или он мог содержать почти все целые числа. Математики рассчитали что, если так называемая гипотеза Бёрча и Суиннертона-Дайера верна (как широко распространено мнение), около 59% чисел до 10 миллионов являются суммой двух рациональных кубов. Но такие данные могут в лучшем случае подсказать, как может вести себя остальная часть числовой прямой.
В отличие от нечетных и четных чисел, «эти два лагеря неуловимы», сказал Барри Мазур Гарварда. Не существует теста для определения того, какие числа принадлежат к какому лагерю, который, как известно, работает для всех чисел. Математики придумали тесты, которые являются сильными кандидатами, но пока у каждого есть недостаток — либо математики не могут доказать, что тест всегда приводит к выводу, либо они не могут доказать, что вывод правильный.
Трудность понимания сумм кубов и кубических уравнений в целом была «постоянным затруднением для теоретиков чисел», — сказал Бхаргава. Он выиграл медаль Филдса в 2014 году частично за его работа над рациональными решениями к кубическим уравнениям, известным как эллиптические кривые, частным случаем которых являются суммы двух кубов.
Теперь, в бумага опубликованные в Интернете в конце октября, Альпоге, Бхаргава и Шнидман показали, что по крайней мере 2/21 (около 9.5%) и не более 5/6 (около 83%) целых чисел можно записать в виде суммы двух дробей, возведенных в куб.
Вопрос о суммах кубов — не просто курьез. Эллиптические кривые имеют очень сложную структуру, которая выдвинула их в центр многих областей как чистой, так и прикладной математики, что, в частности, позволило криптографам создавать мощные шифры. Гипотеза Бёрча и Суиннертона-Дайера, центральный вопрос в этой области, получила награду в 1 миллион долларов как одна из проблем Премии тысячелетия Института математики Клэя.
Новая работа основана на наборе инструментов, которые Бхаргава разработал за последние 20 лет вместе с сотрудниками, чтобы изучить всю семью эллиптических кривых. Понимание суммы двух кубов означает анализ гораздо меньшей семьи, а «чем меньше семья, тем сложнее задача», сказал Петр Сарнак Института перспективных исследований в Принстоне.
Эта конкретная семья казалась «недосягаемой», добавил Сарнак. «Я бы сказал: «Это выглядит слишком сложно, слишком сложно».
Фазовый переход
В отличие от сумм кубических дробей, которых, кажется, предостаточно, почти никакие целые числа не являются суммой двух квадратных дробей. К началу 1600-х годов математики Альбер Жирар и Пьер де Ферма придумали простой тест для определения того, какие целые числа являются суммой двух квадратов: разложите ваше число на простые числа, затем проверьте показатель степени каждого простого числа, остаток которого равен 3. когда вы делите его на 4. Если все эти показатели четные, ваше число представляет собой сумму двух квадратных дробей; в противном случае это не так. Например, 490 множителей на 21 × 51 × 72. Единственный из этих множителей, который дает в остатке 3 при делении на 4, это 7, а 7 имеет четный показатель степени. Следовательно, 490 — это сумма двух квадратов (для любопытных — равно 7).2 + 212).
Подавляющее большинство чисел не проходят тест четного порядка. Если вы выберете целое число наугад, вероятность того, что это сумма двух квадратных дробей, практически равна нулю. Математики считают, что то же самое верно для сумм двух дробей, возведенных в четвертую степень, или в пятую степень, или в любую степень выше трех. Только с суммами кубов вдруг возникает изобилие.
Математики привыкли к тому, что кубические уравнения ведут себя не так, как уравнения всех других степеней. Среди уравнений, составленных из двух переменных (таких как уравнения суммы двух кубов), уравнения, у которых старший показатель степени равен 1 или 2, как правило, хорошо понимаются — обычно они либо не имеют рациональных решений, либо их бесконечно много, и, как правило, их легко понять. скажи какой. Между тем, уравнения, чей старший показатель равен 4 или выше, обычно имеют только конечное окропление рациональных решений.
Кубические уравнения, напротив, могут иметь конечное число решений, бесконечно много решений или вообще не иметь их. Эти уравнения представляют собой своего рода фазовый переход между показателями ниже 3 и выше, отображая явления, которые никогда не наблюдаются в этих других условиях. «Кубики разные во всех отношениях, — сказал Мазур.
В отличие от уравнений с более низкими показателями, кубы поразительно трудно понять. Не существует всеобъемлющего метода для поиска или даже подсчета рациональных решений кубических чисел, который, как было доказано, всегда работает.
«Даже со всеми вычислительными мощностями, которые у нас есть, если вы дадите мне эллиптическую кривую с очень большими коэффициентами, я не обязательно буду знать, сколько у нее рациональных решений», — сказал Вэй Хо, бывший ученик Бхаргавы, который в настоящее время приглашенный профессор в Институте перспективных исследований.
В задаче о сумме двух кубов задействованные дроби могут быть огромными: например, число 2,803 представляет собой сумму двух кубических дробей, каждый из знаменателей которых состоит из 40 цифр. А когда мы рассматриваем числа, исчисляемые миллионами, сказал Бхаргава, многие из дробей «будут включать больше цифр, чем может поместиться на всей бумаге в этом мире».
Матрицы отображения
Поскольку эллиптические кривые настолько неуправляемы, теоретики чисел ищут способы связать их с более управляемыми объектами. В апреле этого года, когда Альпоге и Шнидман боролись с Covid, они и Бхаргава опирались на работу, которую последний ранее проделал с Хо, и выяснили, что всякий раз, когда уравнение суммы кубов имеет рациональные решения, есть способ построить по крайней мере одну особую двойку. × 2 × 2 × 2 матрица — четырехмерный аналог более привычной двумерной матрицы. «Мы начали разрабатывать план по подсчету этих матриц 2 × 2 × 2 × 2», — написали трое.
Для этого команда использовала два классических предмета, каждый из которых изучался более века. Одним из них является «геометрия чисел», которая включает в себя подсчет точек решетки внутри различных геометрических фигур. Эта тема переживает ренессанс в области эллиптических кривых за последние 20 лет, во многом благодаря работе Бхаргавы и его сотрудников.
Другой метод, известный как метод круга, возник в работе легендарного индийского математика Шринивасы Рамануджана и его давнего сотрудника Г. Х. Харди в начале 20 века. «Это первое крупное применение сочетания метода круга с этими методами геометрии чисел», — сказал Хо. «Эта часть очень крутая».
Используя эти методы, трио смогло показать, что по крайней мере для 1/6 всех целых чисел не существует матрицы 2 × 2 × 2 × 2. Это означает, что для этих чисел уравнение суммы кубов не имеет рациональных решений. Таким образом, не более 5/6 целых чисел, или около 83%, могут быть суммой кубов двух дробей.
В обратном направлении они обнаружили, что по крайней мере 5/12 всех целых чисел имеют ровно одну совпадающую матрицу. Заманчиво заключить, что эти числа являются суммой двух кубов, но это не следует автоматически. Каждое число, представляющее собой сумму двух кубов, имеет матрицу, но это не обязательно означает, что верно обратное: каждое число с матрицей является суммой двух кубов.
Альпёге, Бхаргава и Шнидман нуждались в том, что исследователи эллиптических кривых называют обратной теоремой — что-то, что берет информацию о кубическом уравнении и использует ее для построения рациональных решений. Обратные теоремы составляют процветающую область теории эллиптических кривых, поэтому троица обратилась к двум специалистам-практикам в этой области — Эшай Бурунгейл Техасского университета в Остине и Принстона. Бурунгейл и Скиннер смогли показать, что, по крайней мере, в некоторых случаях, если целое число имеет единственную ассоциированную матрицу, то это число должно быть суммой двух рациональных кубов. Их теорема, которая, по сути, доказывает соответствующую часть гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера, представлена в статье в виде трехстраничного приложения, которое Сарнак сам по себе описывает как чудесное.
Бурунгейл и Скиннер не доказали свою теорему для каждого целого числа ровно одной матрицей — им пришлось наложить техническое условие, которое сократило подмножество 5/12 до 2/21, или примерно 9.5% всех целых чисел. Но Бхаргава надеется, что Бурунгейл и Скиннер или другие исследователи в их области достигнут остальных 5/12 (всего около 41%) в ближайшее время. «Их техники неуклонно совершенствуются, — сказал Бхаргава.
Доказательство полной гипотезы о том, что ровно половина всех целых чисел является суммой двух кубов, в конечном итоге потребует работы с набором чисел, которые имеют более одной связанной матрицы. Этот набор, который Бхаргава называет «очень туманным», включает в себя как числа, являющиеся суммой двух кубов, так и числа, не являющиеся таковыми. По его словам, обработка таких чисел потребует совершенно новых идей.
На данный момент исследователи счастливы, что наконец-то решили вопрос для значительной части целых чисел, и готовы продолжить изучение методов доказательства. «Это одна из тех прекрасных вещей: вы можете очень легко объяснить результат, но инструменты очень и очень находятся на переднем крае теории чисел», — сказал Сарнак.
